P(u; v) ning funktsioon z = z(x; y) on diferentseeruv punktis (x(P); y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P); y(P)) = z(u; v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu; zv = zxxv + zyyv 8) Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. Funktsiooni u = f (x1; ... ; xn) gradiendiks punktis P(x1; ... ; xn) nimet selle funktsiooni osatuletistest koosnevat vektorit 9. Olgu ühemuutuja funktsioon y=f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn). 11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand
tarbimisest võib loobuda, kui täiendavalt tarbida üks ühik kaupa X. tähendab, et X kauba tarbimise suurendamisel ühe võrra saab kasulikkuse esialgse taseme säilitada, kui vähendada kauba Y tarbimist 3 võrra. 32. Selgitada, mida tähendab geomeetriliselt tingliku ekstreemumi ülesande max min z= f(x,y) g(x, y) = 0 lahendamine. · Moodustada Lagrange'I funktsioon · Leida selle osatuletised · Osatuletistest tekitada süsteem, kus leida Lagrange'I funktsiooni statsionaarsed punktid · Kandes punktid graafikule ja kontrollida neid geomeetriliselt · Joonestades esialgse funktsiooni nivoojoone, mis leitud punkte läbib + lisaks mõned nivoojooned, et kasvamine selgitada · Pannes statsionaarse punkti koordinaadid, mis lõikub nivoojoonega, asemele esialgsesse võrrandisse saame lahendi 33. Millisel juhul saab kahte maatriksit liita, lahutada.
(f ) 2 f (f ) 2 f segatul. = = f yx = = f xy y (x) yx x(y ) xy Märkus 1: n muutuja funktsioonil võib esineda n esimest järku osatuletist. Nad iseloomustavad funktsiooni muutumise kiirust vastava koordinaattelje sihis. Kui wi > 0 siis funktsioon kasvab i- nda koordinaadi kasvades, kui wi < 0 siis funktsioon kahaneb i-nda koordinaadi kahanedes. Märkus 2: esimest järku osatuletistest arvutatud osatuletisi nimetatakse teist järku osatuletisteks. Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi. Tähis on wij ...k . Schwarz´i teoreem pidevate funktsioonide segatuletised on võrdsed fxy=fyx Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist:
suhte (sisu sama, mis ühe muutuja korral). f ( x; y + y ) - f ( x; y ) lim y Tuletis y järgi analoogiliselt y 0 . Geomeetriliselt näitab osatuletis x järgi pinna (funktsiooni z = f (x;y) graafiku) puutujatasandi tõusu x telje sihis. Kõrgemat järku osatuletis. Arvutades osatuletised osatuletistest saame teist (ja kõrgemat) järku osatuletised. Teist järku '' 2z z xx , z x'' 2 , z x 2 , 2 osatuletist x järgi tähistame kas x , tavaliselt eelistame teisena esitatud kirjapilti. Segaosatuletiseks nimetame teist (või kõrgemat) järku osatuletist, kus tuletis on võetud z '' vähemalt kahe muutuja järgi, näiteks: xy
Vektor grad (A) on funktsiooni nivoopinna normaalvektor punktis A. teiste sõnadega: grad A) ristub punkti A läbiva nivoopinna (x, y, z)=C puutujatasandiga punktis A. [tuletis funktsiooni u = (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas võrdub nulliga] 22) Nabla. Vektorvälja divergents. Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor. Keerisevaba väli. · Nabla ehk Hamiltoni operaator, mis koosneb ainult osatuletistest. Seega Hamiltoni operaator funktsioonist (P) võrdub selle funktsiooni gradiendiga, st ( P) =grad (P). · Vektorvälja divergents olgu antud vektorväli F(P)=(F1(P), F2(P),...,Fm(P)). Moodustame nabla ja F(P) skalaarkorrutise * F (P) = F1(P)+ F2(P) + ...+ F3(P) x1 x2 xm tegemist on skalaarväljaga
Vektor grad (A) on funktsiooni nivoopinna normaalvektor punktis A. teiste sõnadega: grad A) ristub punkti A läbiva nivoopinna (x, y, z)=C puutujatasandiga punktis A. [tuletis funktsiooni u = (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas võrdub nulliga] 22) Nabla. Vektorvälja divergents. Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor. Keerisevaba väli. · Nabla ehk Hamiltoni operaator, mis koosneb ainult osatuletistest. Seega Hamiltoni operaator funktsioonist (P) võrdub selle funktsiooni gradiendiga, st ( P) =grad (P). · Vektorvälja divergents olgu antud vektorväli F(P)=(F1(P), F2(P),...,Fm(P)). Moodustame nabla ja F(P) skalaarkorrutise * F (P) = F1(P)+ F2(P) + ...+ F3(P) x1 x2 xm tegemist on skalaarväljaga
22) Nabla. Vektorvälja divergents. Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor. Keerisevaba väli. Nabla. Eemaldades funktsiooni f (P ) gradiendist gradf (P ) = f (P ), f (P ), . . . , f (P ) x1 x2 xm funktsiooni f (P ), j¨a¨ab j¨argi j¨argmine s¨umboolne vektor, mis koosneb ainult osatuletistest: = , , ... , . (6.40) x1 x2 xm Seda vektorit nimetatakse Hamiltoni operaatoriks e nablaks. Seega Hamiltoni operaator funktsioonist f (P ) v~ordub selle funktsiooni gradiendiga, st f (P ) = gradf (P ) . Olgu antud vektorv¨ali F (P ) = (F1 (P ), F2 (P ), . . . , Fm (P )). Moodustame nabla
(xj)u:=f(x1,...,xj-1,xj +xj,xj+1,...,xn)- f(x1,...,xj-1,xj,xj+1,...,xn) . Funktsiooni u=f(x1, ..., xn) gradiendiks punktis P(x1, ..., xn) nimetatakse selle funktsiooni osatuletistest koosnevad vektorit (grad f) Kui eksisteerib piirväärtus lim ((xj)-->0) (xj)u / xj ,siis seda piirväärtust (P) = (f/x1(P), f/x2(P), ..., f/xn(P)). Hamiltoni operaatoriks ehk nablaoperaatoriks nimetatakse operaatorit := (/x1, nimetatakse funktsiooni u = f (x1 , . . . , xn ) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xj (j 1,..
Analoogselt h( y 0 ) on null või f f ei eksisteeri. Kuid g ( x ) = ja h ( y ) = . x y Seega need osatuletised punktis P on nullid või ei eksisteeri. M.O.T.T. 15. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi piisavad tingimused. Vaatleme funktsiooni z = f ( x, y ) Def. 15.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) Hesse determinandiks nimetatakse selle teist järku osatuletistest moodustatud determinanti. 2 f 2 f 2 x 2 xy f f f (15.1) 2 2 2 H ( x, y) = 2 = - f 2 f x 2 y 2 xy xy y 2 Teoreem 15.1. (Ekstreemumi piisavad tingimused) Olgu punkt P( x 0 , y 0 ) funktsiooni z = f ( x, y ) kriitiline punkt, milles z ( x0 , y 0 ) = z ( x 0 , y 0 ) = 0 (15.2) x y Sel juhul:
teisendus on pööratav, st F −1F f = f . Fourier’ teisenduse omadusi: • F f(t + t0) = e i ωt0 fb(ω) • F f(αt) = 1 /α fb( ω/ α ) , α . , xn) gradiendiks punktis P(x1, . . . , xn) nimetatkse selle funktsiooni osatuletistest koosnevat vektorit (grad f)(P) = ( +∞ 1
Täpselt f 2, 01; 4 100 2, 01 2 sin 4 100 2, 945106 2, 945 z f z f Funktsiooni z f x, y osatuletistest z x (või f x x, y , x , x ja z y (või f y x, y , y , y
annaabi.ee 
