............6 9.Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand.......................................................................... 7 10.Lineaarne diferentsiaalvõrrand...............................................................................................7 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid................................................ 7 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4
1.Kordse integraali mõiste. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj ϵ Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = ƒ (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks ∆S1,∆S2,…,∆Sn.Tähistagu ∆Si samaaegselt nii i- ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise
1. Kahekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma definitsioon jne). Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: s1, s2, s3,..., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P 1),...,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1:
.. + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada puhul, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkoonas si. Seda piirväärtust nimetatakse funktsioonif (x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga f ( P)ds ehk D n f ( x, y)dxdy s.t lim diamsi 0 f ( P )s = f ( x, y )dxdy Piirkonda D nimetatakse
y '(, ) y '(, ) sin cos Muutuja vahetuse esimeses valemis esineb jakobiaani (J) absoluutväärtus. Kuna polaarkaugus on mittenegatiivne , siis J(, )== . Järelikult (x,y)dxdy= (a + cos , b + sin ) d d D D 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu. Olgu antud aine pindtihedus (P) kogupiirkonnas D. Jaotame piirkonna D osapiirkondadeks S1, S2, ..., Sn ja valime igas osapiirkonnas Si ühe punkti Pi. Tähistagu Si samaaegselt nii I-ndta tükki kui i-nda tüki pindala. Olgu S i mass mi. Kui osapiirkond Si on väike, siis võib aine pindtiheduse Si peal lugeda ligikaudselt konstatntseks ja võrdseks arvuga (Pi)Si saame funktsiooni integraalsumma n mn= (Pi)S, mis võrdub ligikaudselt piirkonna D massiga i=1 11
f * ( P)dS = dx f * ( P)dy = osahulk ning Pi punkt, kusjuures PiSi. osapiirkondadeks. Olgu Sk võrratustega xi-1xxi+1 ja yj-1yyj+1 m d Eeldame, et f(x,y)0. Moodustame silindri Zi, mille põhjaks on Si ja määratud. Olgu Sk ühtlasi ka tüki Sk pindala. Tähistame xi=xi-xi-1 ja
2 2 tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks, st mujal kui kriitilises punktis kahe muutuja funktsioonil lokaalset definistsioonist ei sõltu piirväärtus piirkonna D osapiirkondadeks jaotamise viisist. Seega võime esimeseks D, mille rajajoon Г on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: ∮Г 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 = ∬𝐷 (𝑌𝑥 − 𝑋𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦, kusjuures ekstreemumit ei ole. Aga see tingimus ei ole piisav ekstreemumi olemasoluks. Näites 2 vaadeldud funktsiooni 𝜕𝑧 𝜕𝑧
§2. KAHEKORDSED INTEGRAALID 1. Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tõlgendus Def. Piirkonna D diameetriks nimetatakse arvu d (D ) = sup d (P, Q ) . P ,QD Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) , mis on määratud kinnises tõkestatud piirkonnas D R 2 . Jagame piirkonna D teatavate joontega osapiirkondadeks D1 ,..., Dn nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid sisepunkte. Valime punktid Pi Di i = 1,..., n . Def. Kui sõltumata piirkonna D alajaotusest ja punktide Pi valikust eksisteerib lõplik piirväärtus n lim f (Pi )S (Di ) = I , kus = max d (Di ) , 0 1 i n i =1
ruumala
VQ = limVn = f ( P ) dS
n 0
D
18. kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletatud vastav valem
Olgu ristkülikukujuline piirkond D antud võrratustega axb ja cyd. jaotame lõigu
[a,b] osalõikudeks punktidega a=x0
Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse Kus on kõrgemat järku lõpmata väike suurus võrreldes vektori (x, y) pikkusega (x, y) 2 piirprotsessis (x, y) (0,0). integraali geomeetriline sisu. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib lim(max dj0) f(Pj)Sj mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj C Dj valikust, siis seda J(, , Z) = 2sin piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse f(x,y)dS. Tavaliselt c [0, ), c [0, 2pi) ja c [0, pi). Lühidalt f(x,y)dS = f(P)dS = fdS, st f(P)dS := lim(max dj0) f(Pj)Sj, kus f(Pj) = f(xj,yj). Kui eksisteerib fdS, siis öeldakse, f(x,y,z)dxdydz = ' f(cos sin , sin sin , cos ) 2sin dddz.
D Siin me lähtusime teadmisest, et ellipsi pindala on ab. 1.9 Kolmekordne integraal. Olgu nüüd xyz-ruumis R 3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu piirkonnas V defineeritud pidev kolme muutuja funktsioon u f x, y, z . Näiteks võime oletada, et f x, y, z 0 korral esitab see funktsioon mingi aine jaotustihedust piirkonnas V. Sarnaselt kahekordse integraaliga, jaotame piirkonna V mingil viisil osapiirkondadeks V i ja valime igas osapiirkonnas punkti P i V i . Moodustame integraalsumma n i 1 f Pi Vi ja suurendame osapiirkondade V i (see on ka osa V i ruumala) arvu piiramatult nii, et V i suurim läbimõõt läheneks nullille. Definitsioon. Kolmekordseks integraaliks piirkonnas V nimetatakse piirväärtust n
f (Pk )sk k=1 nimetetakse kahe muutuja funktsiooni f (x, y) integraalsummaks piirkonnas D. Geomeetriliselt vastab sellele prismade ruumalade summa. Piirkonna sk diameetriks nimetatakse selle piirkonna punktide vahelist suurimat kaugust - diam sk = max |P Q|. P,Qsk Jaotus osapiirkondadeks on suvaline. Igal osapiirkonnal on oma diamee- ter. Neist suurimat t¨ahistame s¨ ubmoliga , st = max diam sk . 1kn Definitsioon 1. Kui eksisteerib piirv¨aa¨rtus n lim f (Pk )sk 0 k=1
annaabi.ee 
