lausega 2. T~oestame veel omaduse 5). Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga A - B := A + (-B) Maatrikstehete omadusi illustreerib h¨asti j¨argmise teoreemi t~oestus. orrandi A + X = B ainus lahend on X = B - A. Teoreem 4. V~ oestus. N¨aitame k~oigepealt, et B - A on v~orrandi lahend: T~ A + (B - A) = A + B + (-A) = A + B + (-1)A = 1A + (-1)A + B = [1 + (-1)]A + B = 0A + B = 0 + B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t A + Y = B. Siis Y = 0 + Y = (-A + A) + Y = -A + (A + Y ) = -A + B = B + (-A) = B - A ¨tlebki, et lahend B - A on ainus. mis u J¨ areldus 5. V~
S 2011/2012 18. Elektrokeemia 11 Nullvoolupotentsiaali arvutamine Summaarse reaktsiooni E leitakse kui elektroodide potentsiaalide vahe: posi- tiivsemast suurusest lahutatakse negatiivsem. Fe/Cu elemendi korral on see 0,37(0,44)=0,81 V. Summaarse reaktsiooniv~orrandi saamiseks p¨oo¨ratatakse oks¨udeerumisreaktsiooni v~orrand u¨mber ja saadud poolreaktsioonid liidetakse. Fe - Fe2+ + 2 e- Cu2+ + 2 e- - Cu Fe + Cu2+ - Fe2+ + Cu Reaktsiooni summaarse nullvoolupotentsiaali p~ohjal saab arvutada reaktsiooni G vastavalt eeltoodud valemile -G = zF Eg .
Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨ahistatakse Im(z) = b. K˜oigi kompleksarvude hulk t¨ahistatakse s¨umboliga C. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvude ajaloost Itaalia matemaatikud Gerolamo Cardano (1501 - 1576) ja Niccolo Fontana Tartaglia (1499/1500 - 1557) uurisid kuupv˜orrandi ax3 + bx + c = 0 lahendamist. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl √ ˇ Sveitsi matemaatik Leonhard Euler (1707-1803) v˜ ottis −1 t¨ahistamiseks kasutusele t¨ahe i. Teist ja kolmandat j¨
tuletise kaudu. L~oikaja AP t~ous on ¯ p = tan. T¨aisnurkselt kolmnurgalt APQ n¨aeme, et ¯ p = tan =f(x) - f(a)/x - a . Vaatleme nu¨u¨d piirprotsessi x a. Kui x a, siis P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous ¯ p puutuja t~ousule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p = lim xa ¯ p = lim xa f(x) - f(a) /x a = f'(a) saamegi puutuja v~orrandi y - f(a) = f'(a)(x - a). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) norxmaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Normaalsirge v~orrandi tuletamiseks peame arvutama tema t~ousu p = tan. Kuna = + /2 ja tan = f'(a), siis p = tan = tan( +/2)= -1/tan= -1/f'(a) y - f(a) = -1/f'(a) * (x - a) Diferentseeruvuse geomeetriline sisu.
Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene. Iga y korral leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult u ¨he arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult u ¨he arvu (so -3) kuup jne. Lahendades v~orrandi y = x3 muutuja x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = 3 y. Seevastu ruutfunktsioon y = x2 ei ole u ¨ ks¨ uhene. Iga y > 0 korral leidub kaks x-i nii, et valitud y on m~olema x-i ruut. Arv 4 nii -2 kui 2 ruut. V~orrandi y = x2 lahendamisel saame kaks funktsiooni x = y ja x = - y ehk u ¨he mitmese funktsiooni x = ± y
Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene. Iga y korral leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult u ¨he arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult u ¨he arvu (so -3) kuup jne. Lahendades v~orrandi y = x3 muutuja x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = 3 y. Seevastu ruutfunktsioon y = x2 ei ole u ¨ks¨uhene. Iga y > 0 korral leidub kaks x-i nii, et valitud y on m~olema x-i ruut. Arv 4 nii -2 kui 2 ruut. V~orrandi y = x2 lahendamisel saame kaks funktsiooni x = y ja x = - y ehk u ¨he mitmese funktsiooni x = ± y.
vastavad funktsiooni erinevad v¨ a¨artused y, siis p¨o¨ordfunktsioon x = f -1 (y) on u ¨hene. Leiame N¨aites 4 esitatud funktsiooni y = log(1 - x) p¨o¨ordfunktsiooni: y = log(1 - x) 10y = 1 - x x = 1 - 10y f -1 (y) = 1 - 10y . ¨ Definitsioon 14. Oeldakse, et funktsioon y = f (x) (x X) on esitatud v~orrandi F (x, y) = 0 abil ilmutamata kujul, kui x X : F (x, f (x)) = 0. Ilmutamata kujul esitatud funktsiooni y = f (x) korral k~oneldakse ka v~orrandi F (x, y) = 0 lahendina hulgal X defineeritud ilmutamata funktsioonist. Ilmutamata funktsioon v~oib olla kas u ¨hene v~oi mitmene. Punktihulka {(x, y) | F (x, y) = 0 } nimetatakse v~orrandiga F (x, y) = 0 antud ilmutamata funktsiooni graafikuks. 16
Kui xa, siis P l¨aheneb punktile A l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p= tan = 0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis
Kui xa, siis P l¨aheneb punktile A l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p= tan = 0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis
1 ch x ex + e-x cth x = = = x . th x sh x e - e-x H¨uperboolse kootangensi graafik on joonisel 1.27. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = (-; 0) (0; ) ja muutumispiirkond Y = (-; -1) (1; ). Leiame funktsiooni y = sh x p¨o¨ordfunktsiooni. Selleks avaldame v~orran- ex - e-x dist y = muutuja x. Korrutades v~orrandi m~olemad pooled suuru- 2 sega 2e saame e - 2yex - 1 = 0, st ruutv~orrandi ex suhtes, millest x 2x ex = y + y 2 + 1. 18 y 1 -2 2 x -1 Joonis 1.27: h¨
annaabi.ee 
