xn >M, siis ¨oeldakse, et jada {xn}piirv¨a¨artus on +1ja t¨ahistatakse lim n!+1 xn = +1. Definitsioon 4 Jada, millel on l˜oplik piirv¨a¨artus, nimetatakse koonduvaks jadaks. Definitsioon 5 Jada nimetatakse {xn}nimetatakse ¨ulalt t˜okestatuks, kui leidub arv M, et iga n 2N korral xn 6M. Definitsioon 6 Jada nimetatakse {xn}nimetatakse t˜okestatuks, kui leidub selline arv M >0, et 8n 2N(|xn|6M). Lause 1 Konstantse jada piirv¨a¨artus on see konstant.Lause 2Iga koonduv jada on t˜okestatud. Lause 4 Kui jada {xn}koondub arvuks a, siis selle jada ¨uldliige on esitatav kujul xn = yn + a, kus yn −!0. Lause 5 Iga ¨ulalt t˜okestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Definitsioon 7 Jada {xn}osajadaks {yn}nimetatakse jada, mis on saadud jadast {xn}l˜opliku v˜oi l˜opmatu hulga jada elementide v¨aljaj¨atmise teel. Teoreem 1 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast t˜okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 6 (Cauchy kriteerium)
Definitsioon 11. Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma m¨ a¨ aramispiirkonnas on kasvav v~oi kahanev. N¨aidetes 4, 5 ja 9 on antud rangelt monotoonsed funktsioonid. N¨aites 1 esitatud funktsioon y = x2 (x [-1; 1]) ei ole monotoonne, kuid on rangelt kahanev l~oigul [-1; 0] ja rangelt kasvav l~oigul [0; 1]. Definitsioon 12. Funktsiooni f nimetatakse u ¨lalt t~ okestatud (vastavalt alt t~ okestatud ) funktsiooniks hulgal X1 X, kui leidub selline reaalarv M (vastavalt m), et iga x X1 korral kehtib v~ orratus f (x) M (vastavalt m f (x)). Funktsiooni f , mis on nii alt kui ka u¨lalt t~ okestatud hulgal X1 , nimetatakse t~ okestatud funktsiooniks hulgal X1 . Kui funktsioon f on t~ okestatud hulgal X, siis t¨ahistatakse seda l¨uhidalt
4)). J¨arelikult X on T2 -ruum ja seega ka T0 -ruum ning T1 -ruum. 6.1 Eralduvuse aksioomid ja j¨areldusi neist 63 N¨aitame, et X on T4 -ruum. Valime ruumist X mittel˜oiku- vad kinnised alamhulgad A ja B, A∩B = ∅. Leiame hulkadele A ja B mittel˜oikuvad u ¨mbrused U (A) ja U (B). Iga x ∈ A jaoks defineerime mittenegatiivse arvu dB (x) = inf { d(x, y) | y ∈ B }. Kuna reaalarvude hulk { d(x, y) | y ∈ B } on alt t˜okestatud arvuga 0 ja igal alt t˜okestatud reaalarvude hulgal leidub alu- mine raja, siis dB (x) eksisteerib ja dB (x) ≥ 0. Hulk X B on lahtine ja v˜orduse A ∩ B = ∅ t˜ottu x ∈ X B. Seega leidub lahtine kera B(x; r) nii, et B(x; r) ⊂ X B. J¨arelikult dB (x) ≥ r > 0, dB (x) > 0 ja saab vaadelda lahtist kera U (x) = B(x; 0, 5 · dB (x)), mis on samuti punkti x u ¨mbruseks.
tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad, l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨ artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨ artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2
tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad, l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2
paikne hulgas G. Lahtised ja kinnised hulgad. Kui hulk koosneb ainult sisepunktidest, siis nimetatakse seda hulka lahtiseks. Kui hulk sisaldab k~oiki oma rajapunkte, siis nimetatatakse seda hulka kin- niseks. Lahine kera on lahtine hulk ja kinnine kera on kinnine hulk. Sidusa hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse sidusaks, kui selle hulga iga kahte punkti saab u ¨hendada pideva murdjoonega, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. T~okestatud hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse t~okestatuks, kui leidub (kin- nine v~oi lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4)Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. Mitmem~ o~ otmelised muutuvad suurused. Olgu x1 , x2 , . . . , xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1 , x2 , . . . , xm moodustatud j¨arjestatud s¨ usteemi P = (x1 , x2 , . . . , xm ) nimetatakse m-m~
Funktsioon (x) on lõpmatult kahanev suurus protsessis x a siis ja ainult siis, kui 1 /(x) on lõpmatult kasvav suurus samas protsessis. Sõnastada teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest L~opmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise p¨o¨ordarvud. Tõkestatud funktsiooni definitsioon. Funktsiooni (x) nimetatakse t~okestatuks, kui selle funktsiooni v¨a¨artuste hulk on t~okestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. Kui suurus on l~opmatult kahanev ja suurus on t~okestatud, siis nende korrutis on l~opmatult kahanev. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 1. Kui eksisteerib l~oplik nullist erinev piirv¨a¨artus lim xa (x)/ (x), siis nimetatakse suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim xa
2 2 ehk valides x v¨a¨artuse a-le piisavalt l¨ahedase, on+ kuitahes v¨aike, st + on l~opmatult kahanev suurus. M¨ arkus. Teoreem 4.2 kehtib ka kolme, nelja v~oi enama l~opmatult kaha- neva liidetava korral. Definitsioon 4.3. muutuvat suurust y nimetatakse t~okestatuks punkti a u ¨mbruses (a - ; a + ) kui niisugune konstant N > 0, et x (a - ; a + ) korral |y| < N Teoreem 4.3. T~okestatud suuruse y ja l~opmatult kahaneva suuruse korrutis y on l~opmatult kahanev suurus. T~oestus. Eelduse kohaselt selline N > 0, et punkti a u ¨mbruses |y| < N . Et on l~opmatult kahanev suurus, siis > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| < , siis || < . Aga siis N |y| = |||y| < · N = ,
Darboux ¨ ulem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux' summade seos. 10. M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu: k~overtrapetsi pindala leidmine. = ()() + ()() 11. N¨aidata, et integreeruv funktsioon on t ~okestatud. 12. N¨aidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) v¨alja arvatud l ~oplikus arvus punktides, siis 23). (Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju). Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n-järku Taylori valemi 13. M¨a¨aratud integraali lineaarsuse omadus t ~oestusega.
koondub parajasti siis, kui integraalide jada {∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥} on ülalt t~okestatud. Seega tingimusest järeldub, et päratu reaga∑𝑘=1 . Leiame, et lim 1 = lim = lim 2 = ∞ kui α > 1, 0, kui α < 1, 2, kui α = 1. Rakendame lauset 𝑘 α 𝑘→∞ 𝑘α 𝑘→∞ 𝑘 2+2 𝑘→∞ 1+ 2 𝑘
annaabi.ee 
