Seega tuletise definitsiooni p~ohjal F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse positiivse arvuga x - x1 saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. V~otame piirv¨a¨artuse: F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 V~orratused n¨aitavad, et f'(x1) 0 ja f'(x1) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f'(x1) = 0. Seega on lemma t~oestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus
3 Iga X = (xij ) korral hulgast M at(m, n) valemi (1.5) kohaselt tema vastandmaatriksiks on -X = (-xij ). Seega X + (-X) = (xij + (-xij )) = (oij ) = , (-X) + X = (-xij + xij ) = (oij ) = . 4 Iga X = (xij ) ja Y = (yij ) korral hulgast M at(m, n), t¨anu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij ) = (yij + xij ) = Y + X = X + Y = Y + X. Sellega omadused 1 - 4 on t~oestatud. Kasutades vastandmaatriksi m~oistet, saab maatriksite liitmise abil de- fineerida maatriksite lahutamise. Definitsioon 1.13. Maatriksite X, Y M at(m, n) vaheks, t¨ ahistame X - Y abil, nimetatakse maatriksit X - Y := X + (-Y ). 12 1.3. Maatriksi korrutamine reaalarvuga Selles punktis me defineerime reaalarvu ja mistahes m~o~otmetega maatriksi korrutise. Definitsioon 1.14
5) kohaselt tema vastandmaatriksiks on −X = (−xij ). Seega X + (−X) = (xij + (−xij )) = (oij ) = θ, (−X) + X = (−xij + xij ) = (oij ) = θ. ♠ 4◦ Iga X = (xij ) ja Y = (yij ) korral hulgast M at(m, n), t¨anu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij ) = (yij + xij ) = Y + X =⇒ X + Y = Y + X. ♠ Sellega omadused 1◦ − 4◦ on t˜oestatud. Kasutades vastandmaatriksi m˜oistet, saab maatriksite liitmise abil de- fineerida maatriksite lahutamise. Definitsioon 1.13. Maatriksite X, Y ∈ M at(m, n) vaheks, t¨ ahistame X − Y abil, nimetatakse maatriksit X − Y := X + (−Y ). 12 1.3. Maatriksi korrutamine reaalarvuga Selles punktis me defineerime reaalarvu ja mistahes m˜o˜otmetega maatriksi korrutise.
n n ( ) Esitame selle jada kahe jada korrutisena n = n n , kus n = n1 ja n = sin n1 . Nagu me eelnevalt n¨agime, on n l~opmatult kahanev, st n 0. Peale selle, kuna siinuse v¨a¨artused paiknevad l~oigul [-1, 1], siis saame | sin x| 1 iga x korral, millest j¨areldub, et |n | 1. Seega on jada n t~okestatud suvalise konstandiga K > 1. Rakendades ¨asjat~oestatud v¨aidet korrutisele n saame, et n on l~opmatult kahanev, st n 0. 2.4 Funktsiooni piirv¨ a¨ artus. Olgu antud funktsioon f argumendiga x. Kui argument x on j¨arjestatud, siis saame me j¨arjestada ka funktsiooni v¨a¨artused f (x), lugedes funktsiooni kahest v¨ a¨ artusest j¨argnevaks selle, mis vastab argumendi j¨argnevale v¨a¨artusele. 32
n = sin . n n Esitame selle jada kahe jada korrutisena n = n n , kus n = n1 ja n = sin n1 . Nagu me eelnevalt n¨agime, on n l~opmatult kahanev, st n 0. Peale selle, kuna siinuse v¨a¨artused paiknevad l~oigul [-1, 1], siis saame | sin x| 1 iga x korral, millest j¨areldub, et |n | 1. Seega on jada n t~okestatud suvalise konstandiga K > 1. Rakendades ¨asjat~oestatud v¨aidet korrutisele n saame, et n on l~opmatult kahanev, st n 0. 2.4 Funktsiooni piirv¨ a¨ artus. Olgu antud funktsioon f argumendiga x. Kui argument x on j¨arjestatud, siis saame me j¨arjestada ka funktsiooni v¨a¨artused f (x), lugedes funktsiooni kahest v¨a¨artusest j¨argnevaks selle, mis vastab argumendi j¨argnevale v¨a¨artusele. 32
[a;b] [a;c] [c;b] Kui l~oigul [a; b] maksimaalse osal~oigu pikkus 0, siis m~olemal tekkinud l~oigul maksimaalsete osal~oikude pikkused l¨ahenevad samuti nullile. Seega, v~ottes saadud v~orduse m¨alemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessi 0, saa- me v¨aite. Kui c asub v¨aljaspooll~oiku [a; b], n¨aiteks c > b > a, siis t~oestatud juhu p~ohjal c b c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a b Siit b c c f (x)dx = f (x)dx - f (x)dx
Ci - g (ai ) = . (6.29) xi Kuna (xi )xi ja on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aikesed suurused xi suhtes protsessis xi 0 siis v~orduse (6.29) parem pool l¨aheneb nullile kui xi 0. Seega peab vasak pool (mis on konstantne) v~orduma nulliga. Seega Ci - g (ai ) = 0 ehk Ci = g (ai ). L~opuks, kuna g (ai ) = fxi (A), saamegi valemi (6.25). Sellega on u ¨laltoodud v¨aide t~oestatud. 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. Tasandit, mille v~orrandiks on (6.32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu- jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)). z = f (a, b) + fx (a, b)(x - a) + fy (a, b)(y - b) . (6.32) Pinna z = f (x, y) normaalvektoriks punktis B nimetatakse vektorit, mis
(3.1) T¨ahistame G = int(X A). Siis G on hulk ruumist X, mille korral A ⊂ X G ⊂ cl(A). Siit hulga X G kinnisuse ning omaduse 10 t˜ottu cl(A) = X G, G = X cl(A) ehk int(X A) = X cl(A). T¨ahistame F = cl(X A). Siis F on kinnine hulk ruumist X, mis seoste (3.1) t˜ottu rahuldab seoseid int(A) ⊂ X F ⊂ A. Hulga X F lahtisuse ja teoreemi 3.1 omaduse 3.1 t˜ottu X F = int(A), F = X int(A) ehk X int(A) = cl(X A). Omadus 60 on t˜oestatud. 70 Kasutades t¨aiendite v˜otmise reegleid (vt. Morgani reeg- leid), teoreemi 3.1 omadust 60 ja k¨aesoleva teoreemi omadust 60 , saame cl(A ∪ B) = X (X cl(A ∪ B)) = X int(X (A ∪ B)) = = X int((X A)∩(X B)) = X (int(X A)∩int(X B)) = = (X int(X A)) ∪ (X int(X B)) = = cl(X (X A)) ∪ cl(X (X B)) = cl(A) ∪ cl(B). Teoreem 3.12 Kui hulga X igale alamhulgale A on vastavusse pandud hulk A ∈ P(X) nii, et on t¨
x0 ) > 0, seega f (x) > f (x0 ). Fikseerime x0 vasakpoolses u ¨mbruses punkti x (x0 -; x0 ). L~oigul [x; x0 ] on t¨aidetud Lagrange'i teoreemi eeldused, st leidub selline (x; x0 ), et f (x0 ) - f (x) = f ()(x0 - x). Eelduse kohaselt f () > 0 ja x valiku t~ottu x0 - x > 0. Korrutis f ()(x - x0 ) > 0, seega f (x0 ) > f (x). Seega iga x > x0 korral f (x) > f (x0 ) ja iga x < x0 korral f (x) < f (x0 ), st funktsioon on punktis x0 kasvav. 3. v¨aide on t~oestatud. Olgu x0 funktsiooni f (x) kriitiline punkt. Koondame teoreemi 2 v¨aited tabelisse. 17 x < x0 x > x0 j¨areldus f (x) > 0 f (x) < 0 funktsioonil f (x) on punktis x0 lokaalne maksimum f (x) < 0 f (x) > 0 funktsioonil f (x) on punktis x0 lokaalne miinimum f (x) > 0 f (x) > 0 funktsioon on punktis x0 kasvav f (x) < 0 f (x) < 0 funktsioon on punktis x0 kahanev
Oletame vastuv¨ aiteliselt, et leiduvad -1 nullitegurid, s.t = 0 ja a = o. Siis K ning a = 1a = (-1 )a = -1 (a) = -1 o = o mis on vastuolus oletusega, et a = o. Tulemus (vastuolu) u ¨tleb, et korrutises a = o peab v¨ ahemalt u¨ks teguritest olema null. = : Olgu = 0 v~ oi a = o. Siis a = o eespool t~ oestatud Lausete 6 ja 7 p~ohjal. 3.14 N¨ aide Avaldada vektorid x, y vektorite a, b kaudu, kui x - 4y = a 2x + 3y = b Esitame s¨ usteemi maatrikskujul 1 -4 x a = 2 3 y b 1 -4 1 34 Olgu A = 2 3 . Siis A-1 = 11 -2 1 ning
annaabi.ee 
