Märkame, et see funktsioon seab hulga igale elemendile vastavusse kindla positiivse täisarvu (10 partiile vastab 3000 eurot, 11 partiile 3300 eurot jne kuni 100 partiile vastab 30 000 eurot). Definitsioonis märgitud hulgaks Y võib seega võtta näiteks positiivsete täisarvude hulga või vahemiku. Funktsiooni muutumispiirkonnaks aga on hulk {3000, 3300, 3600, ..., 30 000} Milline on selle tulufunktsiooni graafik? Mis juhtub määramis ja muutumispiirkonnaga, kui müüa on võimalik ka mittetäielikke partiisid? Milline on siis funktsiooni graafik 4 Pakkumis- ja nõudlusfuktsioonid Nõutav kogus Q (või QD ) on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse Q=f (p) või QD=f (p) ja nimetatakse nõudlusfunktsiooniks. Pakutav kogus Q (või QS) on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse kujul
y = sin x y = x2 tõkestamata funktsioon (küll aga alt tõkestatud) 7 Pöördfunktsioon Olgu funktsiooni y = f (x) määramispiirkond X ja muutumis- piirkond Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X, nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. 5 5 2x+ 1 1 1 x- 2x+ 1 2 2 10 5 0 5 10 10 5 0 5 10 x 5 5
eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon- olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f 1(y). 10. Punkti ümbrus- punkti x0 ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku, millesse see punkt kuulub: ( a; b): a < x0 < b 11. Muutuva suuruse piirväärtus- arvu a nim. muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu puhul saab näidata sellist muutuva suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused rahuldavad võrratust | x a | < 12
kahanevaks, kui a < b f(a) > f(b); iga a, b A korral. Näiteks on funktsioon y = ln x kasvav funktsioon, funktsioon y = -2x + 1 aga kahanev funktsioon. Pöördfunktsiooni definitsioon Olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f -1(y) . Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooni tähistuse x = f -1(y) asemel kasutatakse ka kuju y = f -1(x) (vahetatakse sõltuva ja sõltumatu muutuja tähistused). Funktsiooni pöördfunktsiooni pöördfunktsioon on funktsioon ise, st. (f -1)f -1(x) = f(x). Kehtib ka seos (f -1)f(x) = x Pöördfunktsiooni näited (1) Näide Funktsioonil y = sin x, X =R
j. Funktsioon f on piirkonnas X kahanev, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, s.t kui x 1< x 2 , siis f (x 1)> f ( x 2) . 3. Funktsiooni graafik- Funktsiooni y=f(x) graafikuks nimetatakse kõigi niisuguste punktide (x,f(x)) hulka, kus x ∈ X. Lühidalt funktsiooni graafik=((x,f(x)): x ∈ X ) 4. Olgu funktsiooni f ühene funktsioon määramispiirkonnaga X ja muutumispiirkonnaga Y. Siis tema −1 −1 pöördfunktsiooni f määramispiirkond on Y ja muutumispiirkond on X ja f on defineeritud kui: f −1 (y) = x ⟺ f(x) = y. a. Pöördfunktsiooni leidmine: Näide: f(x)=4x-160 b. Kirjutame y=f(x) – y=4x-160 c. Avaldame x – 4x=y-160 → x=y/4+40
hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon - olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f 1(y). 10. Punkti ümbrus - punkti x0 ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku, millesse see punkt kuulub: ( a; b): a < x0 < b 11. Muutuva suuruse piirväärtus - arvu a nim. muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu puhul saab näidata sellist muutuva suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused rahuldavad võrratust | x a | < 12
funktsiooni järjest rakendamisel. Näiteks kui 𝑦 = 𝑓(𝑢) = √𝑢 𝑗𝑎 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1, siis y on funktsioon x-ist, st 𝑦 = 𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 2 + 1) = √𝑥 2 + 1 f – väline funktsioon (antud juhul ruutjuur); g – sisemine funktsioon. Arvutamisel liigutakse seest väljapoole. 8. Pöördfunktsioon (definitsioon). Näited. Kuidas leida pöördfunktsioone? Olgu funktsioon f (ühene) funktsioon määramispiirkonnaga X ja muutumispiirkonnaga Y . Siis tema pöördfunktsiooni f−1 määramispiirkond on Y ja muutumispiirkond on X ja f −1 on defineeritud kui f(x) = y f-1(y) = x Eesmärk: Argumendi ja väärtuste rolli vahetus funktsioonis (vahetame x ja y väärtused) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline joone y=x suhtes. Pöördfunktsiooni leidmine: a) Kirjuta funktsioon kujul y = f(x) b) Avalda x c) Vaheta x ja y ning saadki tulemusesk pöördf-ni y = f-1(x) Näide 1
32.Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis ja muutumispiirkond Funktsiooni pöördfunktsioon on funktsioon -1, mis seab igale muutumispiirkonna väärtusele y vastavusse need väärtused x määramispiikonnast. Olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y. Kui iga yY korral leidub täpselt üks xX, nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f (x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. 33.Funktsiooni piirväärtus 34.Funktsiooni piirväärtus, kui argument läheneb lõpmatusele Kui muutuja x läheneb lõpmatusele, siis nimetatakse teda lõpmatult kasvavaks suuruseks ja kirjutatakse: x . 35.Tõkestamatult kasvav funktsioon 36.Tõkestamatult vähenev funktsioon 37.Summa piirväärtus 38.Korrutise piirväärtus 39.Põhiteoreemid piirväärtuse kohta 40.Mida nimetatakse Euleri arvuks (arvuks e)? E = 2,718281828 41.Pideva funktsiooni mõiste 42
m-m~o~ otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on ruumi Rm punktid. Muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) k~oigist v~oimalikest v¨a¨ artustest moodus- tatud ruumi Rm alamhulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Mitmemuutuja funktsiooni m~ oiste. Olgu antud m-m~o~ otmeline muutuv suurus P = (x1 , x2 , . . . , xm ) muutumispiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuv suurus z. m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale v¨a¨ artusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z u ¨he kindla v¨a¨ artuse. Muutujat P nimetatakse seejuures s~ oltumatuks muutujaks ehk argu- mendiks, muutujat z s~ oltuvaks muutujaks ja hulka D m¨ a¨ aramispiirkonnaks. 5) Mitmemuutuja funktsiooni graafik.
• Põhiriba signaali korral diskreetimissagedus fs ≥ 2fm 61. Mis on signaali kvantimine Kvantimine on signaali väärtuste ümardamine määratud täpsuseni Kvantimise nivoode/tasemete arvu määrab kui pika koodiga me signaali väärtusi soovime esitada, meil on nüüd nb bitist koosnev kahendarv (kahendkood) Sidetehnikas on digitaliseerivaks signaaliks enamasti pinge u(t) Kvantimissammu väärtus q on määratud digitaliseeritava analoogpinge u(t) muutumispiirkonnaga (Umin kuni Umax) ning tulemuse kirjeldamiseks kasutatavate bitide arvuga nb alljärgnevalt Kvantimisega kaasneb alati pöördumatu informatsioonikadu, mida iseloomustab kvantimismüra võimsusega 62. Kuidas on seotud signaali kvantimise nivood ja koodi bittide arv Kvantimise nivoode/tasemete arvu määrab kui pika koodiga me signaali väärtusi soovime esitada, meil on nüüd nb bitist koosnev kahendarv (kahendkood) 63. Mida näitab kvantimismüra
seadused, mis välistavad teatud tegevusvariandid; mis mõjutavad alternatiivide elluviimise tulemusi: ilmastikutingimused, mis soodsal juhul kujundavad hea saagi. - Näide: Kaks väliskeskkonna tegurit: inimeste ostujõud (jääb samaks või kasvab) ning turukonkurents (tuleb turule juurde või ei tule konkurente juurde). Võimalikke väliskeskkonna seisundeid on 4. 54. Selgitage diskreetse ja pideva muutumispiirkonnaga väliskeskkonna tegurite olemust. Tooge näiteid mõlema teguritüübi iseloomustamiseks. - Diskreetselt muutuva teguri korral on olukord suhteliselt lihtne – teguril on väärtusi mingi piiratud hulk. Näide: Astmelise tulumaksu määrad: maksuvabastus, 25%, 33%, 50%. - Tunduvalt keerulisem on olukord pidevalt muutuvate väliskeskkonna tegurite väärtuste analüüsimisel. Formaalselt on neil teguritel väärtusi lõpmatu hulk
2ne ja 3mas predikaatvalem lihtsustuksid: Predikaadid on võrdväärsed (ekvivalentsed) , kui nende __ tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku. ∀x [ H (x) ∨ H (x) ] ∀ x ∃ y [ D (x , y) ] näide: Olgu naturaalarvulise muutumispiirkonnaga ühekohalised predikaadid: ülesanded: P (x) ≡ " x jagub 3-ga " Q (x) ≡ " x jagub 4-ga " Näidata kahekohalise predikaadi P (x , y) tõesuspiirkond: S (x) ≡ " x jagub 12-ga " T ( x ) = P ( x ) ∧ Q (x ) P (x , y) ≡ x 2 — y 2 = 0 . . . . siis: S ( x) ≡ T ( x) vastus: (x = y) ∨ (x = - y)
annaabi.ee 
