Tõenäosusteooria ja statistika eksam (0)

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❤✉❧❦ Ω
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A = Ω\A ♥✐♠✳ ❆ ✈❛st❛♥❞sü♥❞♠✉s❡❦s✳ ❙✳t sü♥❞✲
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P (A) = N
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P (A) = mΩ
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Pn(A) = n
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✭❛✮ Ω, ∅ ∈ F
∞
✭❜✮ ❑✉✐ Ai ∈ F, i = 1, 2, . . . , s✐✐s ❦❛
Ai ∈ F
i=1
✭❝✮ ❑✉✐ A ∈ F✱ s✐✐s ❦❛ ¯
A ∈ F
✶✻✳ ❚õ❡♥ä♦s✉s❡ ü❧❞✐♥❡ ❞❡✜♥✐ts✐♦♦♥ ✲ ❚õ❡♥ä♦s✉s❡❦s ♥✐♠✳ ❢✉♥❦ts✐♦♦♥✐ P ✱ ♠✐s
✐❣❛❧❡ sü♥❞♠✉s❡❧❡ A ∈ F s❡❛❜ ✈❛st❛✈✉ss❡ ❛r✈✉ P ()A✱ ♥✐✐✱ ❡t ♦♥ tä✐❞❡t✉❞
❥är❣♠✐s❡❞ ♥õ✉❞❡❞✿
✭❛✮ P 1.P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F
✭❜✮ P 2.P (Ω) = 1, P (∅) = 0
✭❝✮ P 3. ❑✉✐ sü♥❞♠✉s❡❞ A1, A2, . . . ♦♥ t❡✐♥❡t❡✐st ✈ä❧✐st❛✈❛❞✱ s✐✐s
∞
∞
P (
Ai) =
P (Ai)
i=1
i=1
✶✼✳ ❚õ❡♥ä♦s✉sr✉✉♠✐❦s ♥✐♠❡t❛t❛❦s❡ ❦♦❧♠✐❦✉t (Ω, F, P )
✷
❖♠❛❞✉s❡❞✴r❡❡❣❧✐❞
✶✳ ❉✉❛❛❧s✉ss❡♦s❡❞✿
✭❛✮
A ∪ B = ¯
A ∩ ¯
B
✭❜✮
A ∩ B = ¯
A ∪ ¯
B
✷✳ ❑♦♠❜✐♥❛t♦♦r✐❦❛ ♣õ❤✐r❡❡❣❡❧ ✲ ❑✉✐ ❡s✐♠❡s❡❧❡ ❦♦❤❛❧❡ ♦♥ ✈õ✐♠❛❧✐❦ ✈❛❧✐❞❛ n1
❡❧❡♠❡♥❞✐ ✈❛❤❡❧✱ ♣är❛st ü❦s❦õ✐❦ ♠✐❧❧✐s❡ ❡❧❡♠❡♥❞✐ s❛❛♠✐st t❡✐s❡❧❡ ❦♦❤❛❧❡ ✈õ✐✲
♠❛❧✐❦ ✈❛❧✐❞❛ n2 ❡❧❡♠❡♥❞✐ ✈❛❤❡❧ ❥♥❡ ♥✐♥❣ ♣är❛st ü❦s❦õ✐❦ ♠✐❧❧✐s❡ ❡❡❧✈✐✐♠❛s❡
❡❧❡♠❡♥❞✐ s❛❛♠✐st ♦♥ ✈✐✐♠❛s❡❧❡ ❦♦❤❛❧❡ ✈õ✐♠❛❧✐❦ ✈❛❧✐❞❛ nk ❡❧❡♠❡♥❞✐ ✈❛❤❡❧✱
s✐✐s ❦♦❦❦✉ ♦♥ ✈õ✐♠❛❧✐❦ s❛❛❞❛ n1 · n2 · · · · · nk ❡r✐♥❡✈❛t ❦✲❡❧❡♠❡♥❞✐❧✐st ❥är❥❡s✲
t❛t✉❞ ❦♦❣✉♠✐t✳
✸✳ P❡r♠✉t❛ts✐♦♦♥✐❞ ✲ ❏är❥❡❦♦r❞ ♦♥ ♦❧✉❧✐♥❡✳
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 2 · 1
✹✳ ❱❛r✐❛ts✐♦♦♥✐❞ ✲ ❏är❥❡❦♦r❞ ♦♥ ♦❧✉❧✐♥❡✳ ❱❛r✐❛ts✐♦♦♥ ♥ ❡❧❡♠❡♥❞✐st ❦ ❦❛✉♣❛✿
n!
V k ≡ (n)
n
k = n · (n − 1) · · · · · (n − k + 1) = (n − k)!
✺✳ ❑♦♠❜✐♥❛ts✐♦♦♥✐❞ ✲ ❏är❥❡❦♦r❞ ♣♦❧❡ ♦❧✉❧✐♥❡✱ ❦♦♠❜✐♥❛ts✐♦♦♥ ♥ ❡❧❡♠❡♥❞✐st ❦
❦❛✉♣❛✿
n
n!
k
k!(n − k)!
✻✳ ▲❡♠♠❛ ✶ ✲ ❖❧❣✉ A ❥❛ B ♠✐♥❣✐ sü♥❞♠✉s❡❞✳ ❙✐✐s ❦❛ ❤✉❧❣❛❞ A ∪ B, A ∩ B ❥❛
A \ B ♦♥ sü♥❞♠✉s❡❞✳
✷✳ ♥ä❞❛❧
❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✐❞
✶✳ ❚✐♥❣❧✐❦ tõ❡♥ä♦s✉s ✲ ❖❧❣✉ P (B) > 0✳ ❙✐✐s sü♥❞♠✉s❡ A t✐♥❣❧✐❦✉❦s tõ❡♥ä♦s✉✲
s❡❦s t✐♥❣✐♠✉s❡❧✱ ❡t sü♥❞♠✉s B ♦♥ t♦✐♠✉♥✉❞ ♥✐♠❡t❛t❛❦s❡ s✉❤❡t✳
P (AB)
P (A|B) = P(B)
✷✳ ❙ü♥❞♠✉st❡ tä✐ssüst❡❡♠ ✲ ❑✉✐ ❡❧❡♠❡♥t❛❛rsü♥❞♠✉st❡ ❤✉❧❦ Ω ♦♥ ❥❛♦t❛t✉❞
t❡✐♥❡t❡✐st ✈ä❧✐st❛✈❛t❡❦s sü♥❞♠✉st❡❦s B1, B2, . . . , Bn ♥✐✐✱ ❡t Bi ∩ Bj = ∅
n
(i = j) ❥❛
Bi = Ω✱ s✐✐s ö❡❧❞❛❦s❡✱ ❡t ♦♥ ❛♥t✉❞ sü♥❞♠✉st❡ tä✐ssüst❡❡♠
i=1
B1, . . . , Bn✳
✸
✸✳ P♦s✐t✐✐✈s❡❧t✴♥❡❣❛t✐✐✈s❡❧t ❦♦rr❡❧❡❡r✐t✉❞ sü♥❞♠✉s❡❞ ✲ ❑✉✐ ❦❡❤t✐❜ ✈õr❞✉s
P (A|B) > P (A)
s✐✐s ö❡❧❞❛❦s❡✱ ❡t A ❥❛ B ♦♥ ♣♦s✐t✐✐✈s❡❧t ❦♦rr❡❧❡❡r✐t✉❞ ✈❛st✉♣✐❞✐s❡❧ ❥✉❤✉❧ ♦♥
t❡❣❡♠✐st ♥❡❣❛t✐✐✈s❡❧t ❦♦rr❡❧❡❡r✐t✉❞ sü♥❞♠✉st❡❣❛✳
❖♠❛❞✉s❡❞✴r❡❡❣❧✐❞
✶✳ ❚õ❡♥ä♦s✉s❡ ♦♠❛❞✉s❡❞✿
✭❛✮ ❑✉✐ A ∩ B = ∅✱ s✐✐s P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
❚õ❡st✉s✳ ❏är❡❧❞✉❜ ♦ts❡s❡❧t tõ❡♥ä♦s✉s❡ ❞❡✜♥✐ts✐♦♦♥✐ ✸✳ ♣✉♥❦t✐st✳
✭❜✮ ❚õ❦❡st❛t✉s✿ ✐❣❛ sü♥❞♠✉s❡ A ∈ F ❦♦rr❛❧ P (A) ≤ 1
❚õ❡st✉s✳ ❊t A ∪ ¯
A = Ω ♥✐♥❣ s❡❡❥✉✉r❡ ❧✐✐❞❡t❛✈❛❞ ♦♥ t❡✐♥❡t❡✐st ✈ä❧✐s✲
t❛✈❛❞✱ s✐✐s tõ❡♥ä♦s✉s❡ ❛❞✐t✐✐✈s✉s❡ tõtt✉ P (A) + P (B) = P (Ω) = 1✳
❆❦ts✐♦♦♠✐ P✶ tõõt✉ ❛❣❛ ❦õ✐❦ tõ❡♥ä♦s✉s❡❞ ♦♥ ♠✐tt❡♥❡❣❛t✐✐✈s❡❞✱ s❡❡❣❛
❦❛ P (¯(A)) ≥ 0✱ ♠✐❧❧❡st ❥är❡❧❞✉❜❦✐✱ ❡t P (A) ≤ 1
✭❝✮ ❱❛st❛♥❞sü♥❞♠✉s❡ tõ❡♥ä♦s✉s✿ P ( ¯
A) = 1 − P (A)
❚õ❡st✉s✳ ❏är❡❧❞✉❜ ❡❡❧♠✐s❡s tõ❡st✉s❡s ❥är❡❧❞❛t✉❞ ✈õr❞✉s❡st P (A) +
P (B) = P (Ω) = 1✳
✭❞✮ ▼♦♥♦t♦♦♥s✉s✿ ❦✉✐ A ⊂ B✱ s✐✐s P (A) ≤ P (B)✳
❚õ❡st✉s✳ ❑✉✐ A ⊂ B✱ s✐✐s ❥är❡❧✐❦✉❧t ♦♥ B ❡s✐t❛t❛✈ t❡✐♥❡t❡✐st ✈ä❧✐st❛✈❛t❡
sü♥❞♠✉st❡ s✉♠♠❛♥❛ B = A ∪ (B\A)✳ ❚õ❡♥ä♦s✉s❡ ❛❞✐t✐✐✈s✉s❡ tõtt✉
P (B) = P (A) ∪ P (B\A)✳ ❊t ❛❣❛ P (B\A) ≥ 0✱ s✐✐s P (B) ≥ P (A)
✭❡✮ ❱❛❤❡ tõ❡♥ä♦s✉s✿ P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B)
❚õ❡st✉s✳ A = (A\B) + (A ∩ B) ❥❛ ❧✐✐❞❡t❛✈❛❞ ♦♥ ü❦st❡✐st ✈ä❧✐st❛✈❛❞✱
s✐✐s s❛❛♠❡ P (A) = P (A\B) + P (A ∩ B) ❊r✐❥✉❤t✿ ❑✉✐ B ⊂ A✱ s✐✐s
A ∩ B = B ❥❛ P (A\B) = P (A) − P (B)
✭❢✮ ❙✉✈❛❧✐s❡ ❦❛❤❡ sü♥❞♠✉s❡ tõ❡♥ä♦s✉s P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩
B)
❚õ❡st✉s✳ ❑✉♥❛ A∪B = B∪(A\B)✱ ♥✐♥❣ s❡❡❥✉✉r❡s B∩(A\B) = ∅✱ s✐✐s
tõ❡♥ä♦s✉s❡ ❛❞✐t✐✐✈s✉s❡ tõtt✉ s❛❛♠❡✱ ❡t P (A ∪ B) = P (B) + P (A\B)✳
❘❛❦❡♥❞❛❞❡s ✈❛❤❡ tõ❡♥ä♦s✉s❡ ✈❛❧❡♠✐t s❛❛♠❡✱ ❡t P (A ∪ B) = P (A) +
P (B) − P (A ∩ B)
✭❣✮ ❇♦♦❧❡✬✐ ✈ õrr ❛t✉s✿ P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)
❚õ❡st✉s✳ ❏är❡❧❞✉❜ ✈❛❤❡t✉❧t ❡❡❧♠✐s❡st ♦♠❛❞✉st❡st
✭❤✮ Ü❧❞✐♥❡ ❧✐✐t♠✐s❧❛✉s❡✿
n
n
Ai =
P (Ai) −
P (Ai ∩ Aj)+
i=1
i=1
i 0✳ ❙✐✐s
❜✐♥♦♦♠❥❛♦t✉s❡ tõ❡♥ä♦s✉s❡❞ ❦♦♦♥❞✉✈❛❞ P♦✐ss♦♥✐ ❥❛♦t✉s❡ tõ❡♥ä♦s✉st❡❦s✳
✻✳ ♥ä❞❛❧
✾
❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✐❞
✶✳ ❏✉❤✉s❧✐❦ s✉✉r✉s✿ ❋✉♥❦ts✐♦♦♥ X : Ω → R✱ ♠✐❧❧❡ ❦♦rr❛❧ ♦♥ tä✐❞❡t✉❞ t✐♥✐♠✉s✱
❡t
∀x ∈ R ❦♦rr❛❧ ❤✉❧❦ {ω : X(ω) ≤ x} ∈ F
✷✳ ❏✉❤✉s❧✐❦✉ s✉✉r✉s❡ X ❥❛♦t✉s❢✉♥❦ts✐♦♦♥✐❦s ♥✐♠❡t❛t❛❦s❡ ❢✉♥✲✐
F (x) = P {X ≤ x}x ∈ R
✸✳ ❏✉❤✉s❧✐❦❦✉ s✉✉r✉st ❳ ♥✐♠ ♣✐❞❡✈❛❦s✱ ❦✉✐ t❡♠❛ ❥❛♦t✉s❢✉♥❦ts✐♦♦♥ ❛✈❛❧❞✉❜
✐♥t❡❣r❛❛❧✐♥❛
t
FX (t) =
fX (x)dx
∞
❖♠❛❞✉s❡❞✴r❡❡❣❧✐❞
✶✳ ❏❛♦t✉s❢✉♥✲✐ ✻ ♦♠❛❞✉st
✭❛✮ 0 ≤ F (x) ≤ 1∀x ∈ R ❚õ❡st✉s✳ ❏är❡❧❞✉❜ s❡❧❧❡st✱ ❡t ✐❣❛ tõ❡♥ä♦s✉s
♣❛✐❦♥❡❜ ✵ ❥❛ ✶ ✈❛❤❡❧✳
✭❜✮ F (x) ♦♥ ♠♦♥♦t♦♦♥s❡❧t ❦❛s✈❛✈✿ x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ❚õ❡st✉s✳
❚✉❧❡♥❡❜ tõ❡♥ä♦s✉s❡ ♠♦♥♦t♦♦♥s✉s❡st✱ s❡st x1 ≤ x2 ❦♦rr❛❧ ❦❡❤t✐❜ {X ≤
x1} ⊂ {X ≤ x2}
✭❝✮ ❊❦s✐st❡❡r✐✈❛❞ ♣✐✐r✈äärt✉s❡❞ limx→−∞ = 0 ❥❛ limx→∞ = 1
✭❞✮ ❏❛♦t✉s❢✉♥ ♦♥ ♣❛r❡♠❛❧t ♣✐❞❡✈✿ limx→−a+ F (x) = F (a)∀a ∈ R
✭❡✮ P (a