Seda valikut saab piiramatult jätkata ja tekib lõpmatu jada. Tõestame selle väite matemaatilise induktsiooni abil. Olgu nüüd >1 suvaline naturaalarv. Teeme induktsiooni oletuse, et me oleme hulgast juba välja valinud elemendid 1,...,. Siis {1,...,} ning võrdus ei kehti, sest muidu oleks hulk lõplik. Seega saame valida elemendi +1{1,...,}, kusjuures taas {1, ...,+1}, sest võrduse korral oleks hulk lõplik. Sellega on induktsiooni samm teostatud ja tulemusena oleme saanud loenduva osahulga 1={1,2,3,4,...}. Jada elemendid on paarikaupa erinevad, sest konstruktsiooni järgi erineb iga valitud element kõigist eelmistest. Järelikult on 1 hulga loenduv osahulk, sest jada moodustati hulga elementidest. Teoreem 4. Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on loenduv. Tõestus. Olgu loenduv hulk ja tema lõpmatu osahulk. Teoreemi 2 põhjal saame hulga elemendid esitada paarikaupa erinevate elementidega lõpmatu jadana: ={1,2,3,4,...}. Kui
0 , muidu Iga rekursiivne funktsioon on ka rekursiivselt loenduv ja tal leidub rekursiivne täiend. 4. D = {x | Wx on tühi} Tegemist on rekursiivselt loenduvat täiendi funktsiooniga. Xd x x Wx pole tühi . D pole rekursiivselt loenduv, millest järeldub et ta pole rekursiivne ega rekursiivne täiend funktsioon. 5. E = {x | Wx sisaldab vähemalt 3 elementi} Tegemist on rekursiivselt loenduva funktsiooniga. Xe x saame anda vastuse 1 . E pole rekursiivselt loenduv, millest järeldub et ta pole rekursiivne ega rekursiivne täiend funktsioon.
2 Juhuslikud suurused 2.1 Juhusliku suuruse mõiste Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust, mis antud tingimustes võib omandada ühe oma võimalikest väärtustest või väärtusvahemikest. Juhuslikke suurusi tähistatakse suurte tähtedega X; Y; Z; … ja nende konkreetseid väärtusi vastavate väikeste tähtedega x1,x2,…,y1,y2,… . Juhuslikud suurused liigitatakse diskreetseteks ja pidevateks. Diskreetne juhuslik suurus võib katse või vaatluse tulemusena omandada lõpliku või loenduva hulga väärtusi. Näiteks: üliõpilaste arv auditooriumis, täringu viskel saadud silmade arv jne. Pidev juhuslik suurus omandab mistahes väärtusi mingist lõplikust või loenduvast vahemikust. Näiteks: mistahes seadme tööiga, auto kütusekulu 100 km. 2.2 Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduseks nimetatakse vastavust tema kõigi võimalike väärtuste x1, x2, …,xn ja nende tõenäosuste p1,p2, …,pn vahel
Nüüd saame hulga X esitada lõpmatu jadana nii X ={f (1) , f (2), f (3) , ... } . X ={x 1 , x 2 , x 3 ,... } f : N X , kus f (n)=xn Vastupidi, kui , siis funktsioon iga nN korral, on bijektsioon. Seega X on loenduv. Teoreem Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduva osahulga. TÕESTUS Olgu X suvaline lõpmatu hulk (seega ta pole lõplik, sealhulgas X ). Seetõttu leidub temas elemente ja järgnevalt kirjeldamegi, kuidas hulga X elemente valides saab moodustada paarikaupa erinevate elementidega lõpmatu jada. x1 X 1. Valime elemendi . See on võimalik, sest X ei ole tühi. ¿ ¿ 2
kaart, A : punane kaart) sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus- sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenäosusteooria seisukohalt on tõenäosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast : 1.Normeeritusaksioom: 0 P(A) 1 2 Liitmisaksioom: vastastikkku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = Ø (-aditiivsus) 3.Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) 0) Tõenäosuse määramisviisid: Klassikalised: Kombinatoorne; Geomeetriline; statistiline mitteklassikalised: subjektiivne/intersubjektiivne; kuuluvusfunktsiooni väärtus,..
Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus, selle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 6. Tõenäosuste korrutamise omadused (tõestusega) Diskreetse lõpliku arvu lause. P(AB)=P(A)P(B/A) väärtustega juhusliku suuruse keskväärtus on summa 7. Vastandsündmuse tõenäosus, selle tõestus klassikalise tõenäosuse puhul. P( )=1-P(A) Tõestus: (loenduva arvu väärtustega juhusliku Olgu kõigi elementaarsündmuste ehk kõigi juhtude arv n suuruse keskväärtus avaldub loenduv summana) ja sündmuse A toimumiseks soodsate juhtude arv m. Siis Omadused: Olgu X, Y ja X 1, X2, ... , Xn juhuslikud sündmuse toimumiseks soodsate juhtude arv on n-m ja suurused. Siis 1. E(c) = c, kui c on constant 2. E(cX)=cE(X) 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y), E(X1+X2+...
Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon F(x)=P(X
f(xi)=1 Jaotustabel
F(x)=P(X
Tähis: A B, öeldakse ka, et hulgad A ja B on ekvivalentsed. Kehtivad omadused: · refleksiivsus: A A · sümmeetrilisus: kui A B, siis B A · transitiivsus: kui A B ja B C, siis A C Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse loenduvaks hulgaks. · Järelikult on loenduvad parajasti need hulgad, mis on esitatavad jadana {a0, a1, a2, . . .}. · Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat osahulka. · Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on samuti loenduv. Cantor-Bernsteini teoreem Definitsioon Ütleme, et hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust, kui leidub injektsioon f : A B. Teoreem (Cantor-Bernsteini teoreem.) Kui hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust ja hulga B võimsus ei ületa, hulga A võimsust, siis hulgad A ja B on sama võimsusega. Teoreemi teine sõnastusvariant. Kui A B C ja A C, siis A B C. Teoreem
4 6 ERALDUVUSE AKSIOOMID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.1 Eralduvuse aksioomid ja j¨areldusi neist . . . . . . . . . . 60 6.2 Hausdorffi ruumi omadusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 ¨ 6.3 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 7 KOMPAKTSUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.1 Kompaktsuse definitsioon ja lihtsamaid j¨areldusi . 68 7.2 Kompaktsus loenduva baasiga ruumides . . . . . . . . . .72 7.3 Kompaktsus meetrilistes ruumides . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.4 Heine-Boreli teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 7.5 Kompaktsus ja pidevad kujutused . . . . . . . . . . . . . . . .83 ¨ 7.6 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 8 SIDUSUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8
kaart, B: punane kaart) Iga sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenaosusteooria seisukohalt on tõenaosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast: 1. Normeeritusaksioom: 0 £ P(A) £ 1 2. Liitmisaksioom: vastastikku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = O (-aditiivsus) 3. Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) > 0) Tõenäosuse määramise viisid: 1) Klassikalised (kombinatooren, geomeetriline, statistiline) 2) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunktsiooni väärtus...)
Liigid: pidev ja diskreetne. Olulised aspektid: vektori komponentide arv, vektori komponentide vastastikune sõltuvus/sõltumatus, jaotusseadus. Diskreetse kahekomponendilise vektori jaotus antakse kahemõõtmelise jaotustabelina või valemina , mis iga väärtuspaari jaoks fikseerib selle tõenäosuse pij=P(X=xi,Y=yj). Seejuures X võimalike väärtuste diskreetne hulk ja Y võimaike väärtuste diskreetne hulk võivad sisaldada lõpliku või loenduva hulga väärtusi ning tõenäosuste kogumi jaoks peavad kehtima omadused pij>=0 ja summa(pij)=1(normeeritus). Kahe juhusliku suuruse paarina (X,Y) esitatud kahekomponendilise pideva vektori jaotusseadus on kahe muutuja x ja y funktsioon, mida saab esitada jaotusfunktsioonina või jaotustihedusena. Jaotusseaduse omadused: monotoonssus, normeeritus, ristküliku tõenäosus. Kaht juhuslikku suurust nim sõltumatuteks, kui nende kahemõõtmeline jaotusseadus
P ( H k| A )= n sündmusega Hk. ∑ (P ( H i) ∙ P ( A|H i ) ) i=1 DISKREETNE JUHUSLIK SUURUS 21. Mis on juhuslik suurus? Juhuslik suurus on suurus, mis sõltuvalt juhusest võib omandada erinevaid väärtusi. 22. Mis on erinevus diskreetse ja pideva juhusliku suuruse vahel? Diskreetseks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omandada lõpliku arvu või loenduva hulga väärtusi. Pidevaks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omandada lõpmatu hulga väärtusi(reaalarvud mingite reaalarvude vahemikust). 23. Mis on diskreetse juhusliku suuruse jaotus, kuidas seda anda? Diskreetse juhusliku suuruse jaotuseks nimetatakse eeskirja P(X), mis seab igale juhusliku suuruse väärtusele vastavusse selle väärtuse omandamise tõenäosuse. Seda võib anda
valemid F1, F2, ... , Fn on tõesed, on ka valem G tõene Valemeid F ja G nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igas interpretatsioonis valemite vabade muutujate kõikidel väärtustel Churchi teoreem: ei leidu algoritmi, mis suudaks suvalise predikaatloogika valemi puhul kindlaks teha, kas valem on samaselt tõene Igasuguse lõpliku võimsusega ja loenduva hulga interpretatsioonide vaatlemine on vajalik, sest saab konstrueerida valemi, mis on tõene parajasti siis, kui kandjas on n elementi, ja saab konstrueerida kehtestatava valemi, mis on väär igas lõpliku kandjaga interpretatsioonis Kui signatuur on lõplik või loenduv, siis loenduvast suuremate kandjate vaatlemine pole vajalik t on juba olemasolev sisse toodud tähis ja c on uus konstant, mis tuuakse sisse
)z, siis {ak | k ∈ N} on ülalt tõkestatud hulk. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {ak | k ∈ N} =: c. See- juures c 6 bn iga n korral (selgitada!)z, järelikult c ∈ [an , bn ] suvalise n ∈ N puhul. Seega ∞ T [an , bn ] 6= ∅. n=1 Lause 1.29 abil tõestame nüüd reaalarvude hulga R mitteloenduvuse. Lause 1.30 Ükski vahemik (a0 , b0 ) ⊆ R ei ole loenduv hulk. Seega on ka hulk R mitteloenduv. Tõestus. Võtame vahemikus (a0 , b0 ) suvalise loenduva alamhulga E = {x1 , x2 , . . .} ja näitame, et E 6= (a0 , b0 ). Selleks kasutame järgmist lihtsat tähelepanekut (kontrollida!)z: (∗ ) antud vahemiku (a, b) ja punkti x ∈ R korral saab leida lõigu [c, d] ⊆ (a, b) omadusega x∈ / [c, d] . Selle kohaselt valime kõigepealt lõigu [a1 , b1 ] ⊆ (a0 , b0 ) omadusega x1 ∈ / [a1 , b1 ]. Edasi leiame lõigu [a2 , b2 ] ⊆ (a1 , b1 ) nii, et x2 ∈ / [a2 , b2 ] jne. Kui a1 , b1 , . .
annaabi.ee 
