kujutamisel funktsiooniga f. Kui analüütiliselt esitatud funktsiooni y=f(x) korral ei ole fun-ni katkevuspunktiks. määramispiirkond fikseeritud, siis fun-ni määramispiironnaks X loetakse kõigi nende argumendi Ühepoolne pidevus. Def. Fun-n y = f (x) nimetatakse pidevaks paremalt punktis a, kui limxa+ x väärtuste hulka, mille korral antud eeskiri y=f(x) omab mõtet. Lihtsustatuna Y=f(X). y =0 ja pidevaks vasakult punktis a, kui limx0- y =0 Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nim. paarisfunk- ks, kui x X : f(-x) = f(x). Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nim. paarituks 9. Def. Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. funk-ks, ku x X : f(-x) = -f(x). Tähistatakse f(x) C(X). Funktsiooni f nim
tehete ja liitfunktsioonide moodustamise abil, n: y = x2 + 2x + 2, y = log(2x-3). Pôhielementaarfunktsioonid: f(x) = c; xa;ax;logax; sinx;...;...arccotx. Liitfunktsioonid: y=f(t) ja t = g(x) y = f[g(x)] y on argumendi x liitfunktsioon. 29. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub y=f(x) piirväärtus limx0(y/x) = limx0[f(x0+x) f(x0)]/ x, siis seda piirväärtust nim. funkts. tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f'(x0). Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx. 30. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooni tuletis kui on antud y=f(t) ja t=g(x) ja y=f[g(x)]. Eeldusel, et leidub g'(x0) ja f'(t0), siis leidub ka f'(x0) = f'(t0)*g'(x0). 31
x Võrratus (*) kehtib ka siis, kui x (- , 0), sest selles esinevad funktsioonid on 2 paarisfunktsioonid. Kuna teoreemi 6 põhjal lim x0 cos x = 1, samuti lim x0 1 = 1, siis teoreemi 5 põhjal (keskmine muutuja omadus) saame seostest (*), et sin x limx0 = 1. x (esimene tähtis piirväärtus). 2) Vaatleme piirväärtust 1 x limx (1 + ) . x On tõestatud, et see piirväärtus eksisteerib, tähistame ta sümboliga "e". Seega 1 x limx (1 + ) = e.
2 2 2 siis v~orratuste ahel (1.5.3) omandab kuju (cos x) (sin x) x tan x , 2 2 2 millest saame x 1 cos x . sin x cos x Kuna limx0+ cos x = 1 ja limx0+ 1/ (cos x) = 1, siis viimasest ahelast j¨areldub M¨arkuse 1 p~ ohjal limx0+ x/ (sin x) = 1. M¨argime, et x sin x lim =1 lim = 1. x0+ sin x x0+ x 46 Seega limx0+ (sin x) /x = 1. Arvestades, et (sin x) /x on paarisfunktsioon, saame limx0- (sin x) /x = 1. J¨
selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest, vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki et lõigul [a; b] leidub vähemalt üks punkt c kus f(c) = 0. 13. Funktsiooni tuletise mõiste: Def. F.-i y=f(x) tuletiseks nim. piirväärtust y'=lim x0 y/x= limx0 f(x+x)-f(x)/ x. Kui vaadelda ühepoolseid piirväärtusi tingimustel x0-0 või x0+0, siis saame vasempoolse või parempoolse tuletise. *Kui f.-l on tuletis mingis punktis, siis on ta pidev selles punktis. Vastupidine väide on vale. Näide. Leian f.-i y=sinx tuletise. (sinx)´= lim delx0 dely/delx= lim delx0 (sin(x+delx)-sinx)/delx= lim delx0 (2sin(((delx)/2)cos(x+ (delx)/2))/delx= lim delx0 2(((delx)/2)cos(x+(delx)/2))/delx= lim delx0 cos(x+(delx)/2)=cosx.
p(t)=p*+[p(0)-p*]e-k(b+d)t . Tasakaaluks on vaja, et k(b+d)0, st k0. +k tähendab, et defitsiidi (qD qS 0) korral hind suureneb, sest p'0 , p hakkab lähenema oma tasakaaluväärtusele, defitsiit väheneb, kuni saavutatakse p*. Antud näites dp/dt=k(qD qS ) turg tasakaalustub ise väärtuse p* korral. 38. Diferentsiaalvõrrandi arvuline lahendamine y'=f '(x)=limx0 (y/x) ; y'(y/x), kui x on väike, siis y'x y; y1-y0= yy'x; y1=x0+y' x ; y'=F(x,y). Kui x on väike, siis y1=y(x1) ; y1y0+y'(x0)* x ; ; y1y0+F(x0, y0 )x (1) Näide: y'=(dy/dx)=x . Antud: y(1)=2. (1 on x0 ja 2 on y0). dy=xdx y=(x2/2)+C 2=1/2+C C=3/2. Erilahend y=(x2+3)/2 ; y(1,01)=[(1,01)2+3]2=2,01005
Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G kui ta on pidev selle piirkonna kõigis punktides. Pideva kahemuutuja funktsiooni graafik on pidev pind, st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni. 4. Funktsiooni osatuletised Funktsiooni z = f(x, y) osatuletiseks x-i järgi z/x nim piirväärtust limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena. Funktsiooni z=f(x,y) teist järku osatuletised defineeritakse selle funktsiooni esimest
Järelikult vastavate pindalate arvutusvalemite kohaselt: 1 1 1 sin x < x < tan x , 2 2 2 Millest sin x < x < tan x Jagame selle võrratuse iga liikme läbi arvuga sin x, tulemuseks saame: x 1 sin x 1< < milest järeldub: cos x < < 1 (1.1) sin x cos x x Kuna punkt a = 0 asub elementaarfunktsioon y= cos x määramispiirkonnas, siis teoreemist (1*) järeldub, et limx0=cos0 = 1. Rakendades võrratusele (1.1) keskmise muutuja omadust, saamegi võrduse (**) M.O.T.T LISA: TEOREEM 1* kui punkt a kuulub elementaarfunktsiooni f määramispiirkonda, siis limxaf(x) = f(a). 1 lim (1 + ) x = e x x 8. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid, nende rakendamine piirväärtuste leidmisel Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui lim xa (x)= 0.
¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 2 / 16 Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused ¨ Naide ¨ (Naide) Nii funktsioonidel f1 (x) = x 2 kui ka f2 (x) = |x| on lokaalne miinimum punktis 0. f1 (x) = (x 2 ) = 2x, seega f1 (0) = 0 ja on tegemist statsionaarse punktiga. f2 (x) = (|x|) = sgn x , seega f2 (0) ei eksisteeri kuna f2 (0+) := limx0+ sgn x = 1 ja f2 (0-) := limx0- sgn x = -1. Funktsioonid g1 (x) = x 3 ja g2 (x) = |x| + 2x on kasvavad iga x R korral. Samal ajal g1 (0) = 0 ja g2 (0) ei eksisteeri (g2 (0+) = 3 ja g2 (0-) = 1). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 3 / 16 Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused ¨
. . . 45 4.7 Funktsiooni katkevusviise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8 Pidevate funktsioonide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kontrolltöö teemad 1. Jada tõkestamatu kasvamine ja tõkestamatu kahanemine. Jada piirväärtus lihtsamal juhul. 2. Piirväärtuse tehetega seotud omadused. Piirväärtuse arvutamine. sin(x) 3. Piirväärtuse limx0 x = 1 kasutamine. 4. Funktsiooni pidevuse uurimine. Eksamiteemad 1. Jada tõkestamatu kasvamine ja tõkestamatu kahanemine. 2. Piirväärtuse intuitiivne mõiste. Lõpmatud piirväärtused, ühepoolsed piirväärtused. 3. Piirväärtuse omadused (teoreemide 4.2-4.6 sõnastused). x
n¨aeme, et puudub piirv¨a¨artus lim , st funktsioonil y = |x| puudub x0 x tuletis kohal x = 0. 2.3 Mo~nede po ~hiliste elementaarfunktsioonide tuleti- sed Selles alampunktis leiame definitsiooni (2.1) abil elementaarfunktsioonide tu- letisi. Alustame konstantsest funktsioonint y = c. Siis f (x) = c ja f (x + 0 x) = c ning y = c - c = 0. Konstandi tuletis c = limx0 = 0. Siit x saame esimese reegli: konstandi tuletis v~ordub nulliga: c = 0. Teiseks vaatleme naturaalarvulise astendajaga astmefunktsiooni y = xn . Antud juhul f (x) = xn , f (x + x) = (x + x)n ja funktsiooni muut y = (x + x)n - xn . Newtoni binoomvalemi abil y = xn + nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn - xn = nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn
annaabi.ee 
