st x1 = g(x0), x2 = g(x1), jne. Harilik iteratsioonimeetod on ühesammuline meetod. Uurime meetodi viga: Olgu x* võrrandi (1) täpne lahend, st x* = g(x*). Lähendi xn tõeline viga on |xn – x*|. Kui Limn→∞|xn – x*| = 0, Siis koondub lähend xn täpseks lahendiks x*, st xn → x*. Oluline tingimus sellise koondumies jaoks on: |g’(x)| ≤ q ≤ 1. (3) Teoreem: Leidugu võrrandi (1) lahendit x* sisaldav vahemik (a, b), milles on täidetud võrratus (3). Olgu funktsioon g(x) selline, et ∀x ∈ (a, b) korral g(x) ∈ (a, b). Olgu x0 ∈ (a, b). Siis koondub hariliku iteratsioonimeetodiga arvutatud lähendite jada xn täpseks lahendiks x*. Lisaks kehtib veahinnang n q | xn – x*| ≤ 1−q | x1 − x0 |. (4) Tõestus:
5 Seega |xn - x | q |xn-1 - x | q2 |xn - x | . . . qn |x0 - x | , st kehtib hinnang |xn - x | qn |x0 - x | . (1.24.7) Kui q < 1, siis hinnangust (1.24.7) järeldub, et Algoritmil (1.24.3) põhinevat võrrandi (1.24.2) lahendamise meetodit nimetatakse harilikuks iteratsioonimeetodiks. 6 Teoreem: Leidugu võrrandi (1) lahendit x* sisaldav vahemik (a, b), milles on täidetud võrratus (3). Olgu funktsioon g(x) selline, et x (a, b) korral g(x) (a, b). Olgu x0 (a, b). Siis koondub hariliku iteratsioonimeetodiga arvutatud lähendite jada xn täpseks lahendiks x*. Lisaks kehtib veahinnang n q | xn x*| 1-q | x1 - x0 |. (4) Tõestus:
Kuidas kaosest saab kord Peame siirduma esialgu fantaasiamaailma. Olgu meil ruum kus õhk on normaaltingimustel. Normaaltemperatuuriks loetakse 0 ºC Normaalrõhuks loetakse 101,3 kPa (760 mmHg). Võtame ruumi ühest osast õhku ja eraldame sellest hapniku. Olgu meil hapnikku normaaltingimustel 1 cm3. Oletame, et õnnestub määrata kõikide aineosakeste kiirus gaasis teatud ajahetkel. Leidugu osake, mille kiirus on vaid 10 cm/s. Mikromaailma mõistes see osake praktiliselt seisab paigal. Leidugu ka osake, millest suurema kiirusega ei liigu antud ansambli ükski osake 10 km/s. Kuna ansamblis on osakesi tohutu palju (2,7 1019 aineosakest), siis on ka andmetabel tohutult pikk. Arvuti, kuhu need andmed mahuksid peaks olema määratult suure mälumahuga. Esindatud on kõikvõimalikud kiirused vahemikus 10 cm/s kuni 10 km/s.
f ( x, y , z,...) Seda tähistatakse: wx = f x ( x, y , z ,...) = . x Funktsiooni osatuletise leidmiseks antud punktis leitakse kõigepealt antud funktsiooni osatuletis ning seejärel omistatakse osatuletise kui uue funktsiooni muutujatele etteantud punkti koordinaadid. Kõrgemat järku osatuletised Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) ning leidugu z x ja z y . Siis 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) z xx = ( z x ) x = z xxy = ( z x ) = z yx = ( z y ) = z yy = ( z y ) y = . x 2 y xy x
muutumisel. 34. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks argumendi x järgi nim vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist argumendi x järgi tähistatakse sümbolitega: Analoogselt, kui x on konstantne ja y saab lubatava muudu y, siis saame vaadeldava funktsiooni osamuudu argumendi y järgi. Leidugu funktsioonil z=f(x,y) osatuletised z'x ja z'y ja olgu need pidevad funktsioonid määramispiirkonna punktis (x,y). Sellisel juhul leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz, mis avaldub kujul: kus dx=x, dy=y 35. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''xx , z''yy , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised võrdsed.
funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse: 5. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul [a;b] 6. Nimetada integraali omadusi. 1) 2) 3) 4) 5) kui f(x)g(x) iga x korral 7. Newton-Leibnizi valem? Olgu f(x) lõigul [a;b] integreeruv ja leidugu tal sellel lõigul algfunktsioon F(x), siis: TEOORIAKÜSIMUSED nr 7 1. Defineerida päratu integraal. Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st lõpmatuseni (rajades miinus lõpmatusest a-ni) nimetatakse piirväärtust 2. Kirjeldada, mida geomeetriliselt näitab päratu integraal , kui f (x) > 0 piirkonnas [(a,). Päratu integraal on arvuliselt võrdne lõiguga OD, joonega f(x)=Re-ix ja x-teljega piiratud lahtise kujundi pindalaga 3
integraaliks lõigus [ a; b ] 35. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul {a,b}. S= f(x)dx, f(x)>=0. 36. Nimetada määratud integraali omadusi. 1) Aditiivsus: kui 2) Lineaarsus: kui 3) Monotoonsus: kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus {a,b} ja f(x)<= g(x) iga 37. Newton-Leibnizi valem. Olgu f(x) lõigul integreeruv ja leidugu tal sellel lõigul algfunktsioon F(x). Siis Sageli kasutatakse ka tähistust: 38. Defineerida päratu integraal. Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st lõpmatuseni (rajades miinus lõpmatusest a-ni) nimetatakse piirväärtus : Kui mõlemad rajad on lõpmatud, siis võtame suvalise punkti ja saame kirjutada: 2)Kirjeldada, mida geomeetriliselt näitab päratu integraal _a^?f (x)dx? , kui f (x) > 0 piirkonnas [(a,).
limx a g ( x) 0 juhtudel, kus lim x a f(x)= lim x a g(x)= 0 (määramatus tüüpi ) või 0 lim x a f ( x) = lim xa g ( x ) = (määramatus tüüpi ). Teoreem 14. Leidugu punkti a selline ümbrus U(a)= (a- , a+ ), >0, milles funktsioonid f ja g on diferentseeruvad iga x a korral ning olgu g'(x) 0 vaadeldavas ümbruses. Kui f(a) = g(a )= 0, siis f ( x) f ( x) lim = lim (*) x a g ( x ) x a g ( x ) eeldusel, et piirväärtus võrduse paremal pool eksisteerib. Analoogiline reegel (valem (*)) kehtib ka siis, kui lim x a f ( x) = lim x a g ( x) =
ehk tuletise pöördfunktsiooni. Määratud integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni f(x) graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x=a ja x=b piiratud pindalaga, kui f(x) reaalarvuline muutuja x on pidev ja funktsioon on tõkestatud lõigus [a, b] Newtoni-Leibnizi valem: Olgu funktsioon f(x) lõigus [a, b] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon F(x). Siis . Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks. Näide. Loeng 2 · Taustkeha ja kohavektor. taustkeha ,,keha", kust kohavektor lähtub. Kohavektori muutumine väljendab uuritava keha liikumist taustkeha suhtes. Taustkehas lähtub enamasti
Lause 5.28 Olgu F : [a, ∞) → R kasvav funktsioon. Lõplik piirväärtus lim F (x) leidub x→∞ parajasti siis, kui hulk {F (x) : x ∈ [a, ∞)} on ülalt tõkestatud. Sealjuures, kui nii on, siis lim F (x) = sup{F (x) : x ∈ [a, ∞)}. x→∞ Tõestus. Tarvilikkus. Leidugu piirväärtus L = lim F (l), siis mingi reaalarvu N ∈ [a, ∞) l→∞ korral garanteerib nõue x > N selle, et kehtib L − 1 < F (x) < L + 1 (selgitage!)z Nüüd iga x ∈ [a, ∞) korral F (x) 6 L + 1 (miks?)z, mis tähendabki, et F väärtuste hulk on ülalt tõkestatud. Piisavus. Olgu F väärtuste hulk ülalt tõkestatud, siis eksisteerib L = sup{F (x) : x ∈ [a, ∞)}. Näitame, et lim F (x) = L
Vargamäel ja ei ole suures laias maailmas teisi niisuguseid kirikukelli. Ainult ühel meistril ja selgi ainus kord elus, on õnnestunud valada nii imelised kirikukellad. Ilmas on muid ilusaid ja kalleid asju, aga seal ei ole kuski niisugust pühapäevahommikut ja kirikukelli, sest pole ju neid soid ja rabu, mis annaksid kelladele õige helina. Indrek teab seda nüüd, sest ta on linnas elanud ja teiste kirikute kelli kuulnud. Ja sellepärast tundub talle, et leidugu maailmas ükskõik kuipalju aardeid, ometi jääb ta vaeseks, sest tal pole kustki võtta Vargamäe pühapäevahommikut, ega kirikukelli... Mõni seda teab, kui kaua Indrek nõnda õueväravas oleks seisnud, kui mitte poleks tulnud isa hobustekoplist ja küsinud: ,,Mis siis sina seal nii väga vahid?" ,,Ei midagi, kuulasin ainult kirikukelli," vastas Indrek. Isa jäi seisma, nagu tahaks ka tema kuulata, kas tõesti kellad löövad täna hommikul nõnda, et
annaabi.ee 
