V =Sp h Ülesanded 1. Kuubi serva pikkus on 8dm. Leia kuubi täispindala, ruumala, põhja diagonaal ja kuubi diagonaal. 2. Risttahuka põhiservad on 6cm ja 8cm. Kõrgus on kolm korda suurem kui pikem põhiserv. Leia risttahuka täispindala, ruumala, põhja diagonaal ja risttahuka diagonaal. 3. Korrapärase nelinurkse püstprisma põhja ümbermõõt on 48mm. Prisma kõrgus on pool põhiservast. Leia prisma täispindala, ruumala, põhja diagonaal, külgtahu diagonaal ja prisma diagonaal. 4. Püstprisma põhjaks on täisnurkne kolmnurk kaatetitega 3m ja 4m. Prisma kõrgus on neli korda pikem kui põhja hüpotenuus. Leia prisma täispindala ja ruumala. 5. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 16cm ja kõrgus 15cm. Leia püramiidi täispindala ja ruumala. 6. Korrapärase nelinurkse püstprisma külgtahu diagonaal pikkusega 18dm moodustab põhiservaga nurga 620. Leia prisma täispindala ja ruumala. 7
17 204 4·5 Sp = 2 =10 cm2 St= 204+ 2 · 10=224 cm2. Püramiid P on põhja ümbermõõt M on külgtahu apoteem 1 Ruumala V = 3 Sp·h Pm Külgpindala Sk = 2 Täispindala St = Sk + Sp Näide 1 Leia püramiidi ruumala kui püramiidi põhjaks on ristkülik külgedega 4 cm ja 7cm ja püramiidi kõrgus on 5 cm. Sp = 4 · 5 = 20cm2 1 1 V = 3 · 20 · 5 =33 3 cm3 Näide 2
külgtahud Püramiidi pindala Põhja pindala apoteem nar m Sp = 2 Külgpindala nam Sk = 2 Täispindala St=Sp+Sk Püramiidi ruumala E 1 V = Sp H 3 H D C A B Leia korrapärase kuusnurkse püramiidi täispindala ja ruumala, kui põhiserv on 3 cm, põhja apoteem 2,6 cm, püramiidi kõrgus 5 cm ja külgtahu apoteem 5,5 cm. Lahendus Kirjutan välja andmed. Leian põhjapindala Sp Leian külgpindala Sk Leian täispindala St Leian ruumala V Kirjutan vastuse
Püramiidil ei ole diagonaale. Diagonaallõike saame, kui lõigata püramiidi tasandiga, mis läbib püramiidi tippu ja üht põhja diagonaali. Püramiidi nimetatakse korrapäraseks, kui selle põhjaks on korrapärane hulknurk ja püramiidi põhja projektsioon asub põhja keskpunktis. Korrapärase püramiidi kõik külgtahud on võrdsed. Teljeks nimetatakse sirget, mis läbib korrapärase püramiidi tippu ja põhja keskpunkti. Apoteemiks nimetatakse korrapärase püramiidi külgtahu kõrgust. Püramiidi põhjaga paralleelne lõige on põhjaga sarnane hulknurk. Püramiidi põhja pindala ja põhjaga paralleelse lõike pindala suhtuvad nagu vastavate püramiidi kõrguste ruudud. ABCD ~ KLMN AB BC CD DA = = = =K KL LM MN NK 2 S h = S1 h1 1 Sk = nam 2 1 S t = na ( m + k ) 2 1 V = S ph 3 ABCD püramiidi põhi KLMN püramiidi põhjaga paralleelne ristlõige
Korrapärane püramiid Püramiidi nimetatakse korrapäraseks, kui tema põhjaks on korrapärane hulknurk ja kõik külgservad on võrdsed. Joonisel on korrapärane püramiid, mille põhjaks on ruut. Püramiidi tipp on S, põhi on ruut ABCD, külgtahud on ABS, BCS, CDS, ja ADS, külgservad on AS, BS, CS, DS, põhiservad on AB, BC, CD ja AD kõrgus on SO. Mis on püramiidi apoteem ? Korrapärase püramiidi tipust tõmmatud külgtahu kõrgust nimetatakse püramiidi apoteemiks. Külgpindala Püramiidi külgtahkude pindalade summa on püramiidi külgpindala. Korrapärase püramiidi 1 külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu ja püramiidi S k = Pm apoteemi poole korrutisega. 2 Põhja pindala Korrapärase püramiidi põhjaks on korrapärane hulknurk. Korrapärase 1 hulknurga pindala
rööpkülikud St = 2h(a + b) + 2ab · Vastastahud on sina võrdsed ja V = Sp × h, paralleelsed · Diagonaalid lõikuvad ühes punktis, poolituvad selles punktis PÜRAMIID Põhjaks hulknurk Külgetahkudeks kolmnurgad ühise tipuga Põhiservad püramiidi põhjaservad Külgservad külgtahkude ühised servad KORRAPÄRANE PÜRAMIID Põhjaks korrapärane hulknurk Kõrguse aluspunkt ühtib põhja keskpunktiga Külgservad võrdsed Külgtahu kõrgus=apoteem Sp = a x b Sk = P x m : 2 V = Sp × h : 3 TÄNAME TÄHELEPANU EEST!
Kera S 4 R 2 4 V R3 R 3 NÄITEÜLESANDED. 1) Püramiidi põhjaks on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on 4 cm ja haar 8 cm. Kõik külgtahud moodustavad püramiidi põhjaga kahetahulised nurgad 60o. Leidke püramiidi külgpindala. Lahendus. C Tähistame püramiidi kõrguse H = OC. Külgtahu, mille aluseks on 4 cm apoteem on BC ja külgtahu, mille aluseks on 8 cm apoteem on AC. Kolmnurgad AOC ja BOC on võrdsed KNK (külg- H nurk-külg) tunnuse põhjal. Seega on võrdsed m külgtahkude apoteemid (tähistame m). m Saame avaldada külgpindala 8
ristumiskohal - siis on näha taevas hele rist. 22-kraadine haloring on kõige sagedasem halonähtus, mis esineb tavaliselt nii Päikese kui Kuu ümber. Selle põhjuseks on jääkristallide kuju - nad on kõige sagedamini kuuetahulised prismakesed. Enamasti on nad õhu turbulentsi tõttu segi paisatud, nii et kristallide välispinnalt peegeldunud valgus hajub enamvähem võrdselt kõigis suundades. Sel viisil segi paisatud prismadesse läbi külgtahu sisenenud valgusest kaldub kõige rohkem kiiri oma esialgsest suunast umbes 22° kõrvale. Lowitzi kaared on heledad kaarjad sabad pikkusega umbes 20 kraadi. Valgussambad on halonähtused, mis tekivad nii allpool kui ülalpool päikese- ja kuuketast. Nad tekivad juhul, kui horisontaalsetelt plaadikestelt ja vertikaalsete prismade otstelt peegeldunud päikesekiired tekitavad vertikaalse valge samba Päikese kohal. Külmadel
1 3 cos 2 cos 3 V-ruumala, n-külgede arv, H-kõrgus, h- põhitahu kõrgus m-külgtahu kõrgus, moodustaja Trapets P= a + b + c + d Kolmnurga Kolmnurga Kiirteteoreem Kolmnurkade sarnasustunnused: b ( a + b) h kesklõik mediaanid u v OA AC OC Kaks kolmnurka on sarnased, kui...
suurem: umbes 0,577 külje pikkust Võrdkülgse kolmnurga sise- ja ümberringjoone keskpunkt ühtivad, muude kolmnurkade puhul see nii ei ole. 4 raadius- ringjoone või sfääri punkti keskpunktiga ühendav sirglõik; ka selle pikkus. (Väike Entsüklopeedia, lk 796) 5 Apoteem, 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik (ka selle pikkus). - 2. korrapärase püramiiditipust põhiservale tõmmatud ristlõik (ka selle pikkus ehk külgtahu kõrgus) (Väike Entsüklopeedia, lk 60 9 5. Teravnurkne kolmnurk Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 10 6. Nürinurkne kolmnurk Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. Kolmnurga ABC üks nurk on nürinurk. 11 7. Erikülgne kolmnurk
2 cos α 3 V-ruumala, n-külgede arv, H-kõrgus, h- põhitahu kõrgus m-külgtahu kõrgus, moodustaja Trapets P= a + b + c + d Kolmnurga Kolmnurga Kiirteteoreem Kolmnurkade sarnasustunnused: b ( a + b) h kesklõik mediaanid u v OA AC OC Kaks kolmnurka on sarnased, kui…
kolmnurgad; külgservad: kolmnurkade ühised erinevus, põhi on korrapärane kuusnurk, küljed, põhiservad: hulknurga küljed; kõrgus: ümberringjoone raadius on R=2cm, leida põhja keskpunkti ja tipu vaheline lõik; servade pikkused. korrapärane püramiid: põhi on korrapärane põhiserv x cm hulknurk ja kõrguse aluspunkt on selle külgserv 3x cm hulknurga keskpunkt; korrapärase püramiidi NB n=6 korral põhiserv=ümberringjoone tipust tõmmatud külgtahu kõrgus on püramiidi raadius apoteem põhiserv 2cm vaata külgserv 3 2cm=6cm NB näiteks torni katus, heinakuhja varikatus 35.Püramiidi pindala - täispindala St=Sk+Sp; Ül.1236 külgpindala Sk=Pm:2, kus põhja ümbermõõt Torn, põhi ruut n=4, külg a=6m, P=na ja m on püramiidi apoteem (külgtahuks püramiidikujuline katus, külgtahu kõrgus
kolmnurgad; külgservad: kolmnurkade ühised erinevus, põhi on korrapärane kuusnurk, küljed, põhiservad: hulknurga küljed; kõrgus: ümberringjoone raadius on R=2cm, leida põhja keskpunkti ja tipu vaheline lõik; servade pikkused. korrapärane püramiid: põhi on korrapärane põhiserv x cm hulknurk ja kõrguse aluspunkt on selle külgserv 3x cm hulknurga keskpunkt; korrapärase püramiidi NB n=6 korral põhiserv=ümberringjoone tipust tõmmatud külgtahu kõrgus on püramiidi raadius apoteem põhiserv 2cm vaata külgserv 3 2cm=6cm NB näiteks torni katus, heinakuhja varikatus 35.Püramiidi pindala - täispindala St=Sk+Sp; Ül.1236 külgpindala Sk=Pm:2, kus põhja ümbermõõt Torn, põhi ruut n=4, külg a=6m, P=na ja m on püramiidi apoteem (külgtahuks püramiidikujuline katus, külgtahu kõrgus
0,33n 0,67 21 0,33n 0,33 21 mille lahendamisel saame, et vähim n väärtus on 63. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 38 KOLMNURKNE PÜRAMIID a – põhiserv b – külgserv m – külgtahu apoteem b H – püramiidi kõrgus b m - nurk külgtahu ja põhja vahel - nurk külgserva ja põhiserva b H vahel a N1
Mitu lahendit on võrrandil f ( x ) = 0 . B-9 Naine sõitis jalgrattaga itta kiirusega 8 km/h risttee ületas ta kell 11 00. Mõne aja möödudes sõitis samast ristteest üle mees mopeediga, suunaga põhja. Leia mitu minutit läbis mees risttee hiljem naisest, kui kell 1530 oli mehe ja naise vaheline kaugus 39 km ja kell 1630 juba 55 km. B-10 Leia korrapärase kolmnurkse püramiidi ruumala, kui külgserv on 2 6 ja külgtahu ümberringjoone raadius on 0,8 15 . B-11 Ristkülikus ABCD on külje AD pikkus 25, nurgal
Kaldrööptahuka ruumala V = S p h = S r l ( S r - ristlõike pindala, l - külgserv), püströöptahuka ruumala V = S p h = abh sin . 6.2 Püramiid 42 1 Korrapärase n-nurkse püramiidi külgpindala S k = nam , kus a on püramiidi põhiserv 2 ning m on apoteem (külgtahu kõrgus). 1 Ruumala V = S p h . 3 6.3 Tüvipüramiid na + nb Korrapärase tüvipüramiidi külgpindala S k = m (m tüvipüramiidi apoteem). 2 1 ( )
püströöptahuka ruumala V S p h abh sin . 6.2 Püramiid 42 1 Korrapärase n-nurkse püramiidi külgpindala S k nam , kus a on püramiidi põhiserv 2 ning m on apoteem (külgtahu kõrgus). 1 Ruumala V S ph . 3 6.3 Tüvipüramiid na nb Korrapärase tüvipüramiidi külgpindala S k m (m – tüvipüramiidi apoteem). 2 1
võtta eeltoodu kohaselt c = b 3t = 250 3×6 = 232 mm; c 232 235 235 = = 38,7 > 42 = 42 = 42 = 42 × 0,81 = 34 vt tabel 3.1(1) t 6 fy 355 - seega ristlõige kuulub 4. klassi. Teras 1 21 Survetsoonis oleva plaadi (meie näites nelikanttoru külgtahu), mille ristlõike brutopindala on Ac, efektiivpindala leitakse valemiga (3.3): Ac,eff = Ac , kus on vähendustegur, mis arvestab tahu väljamõlkumise mõju. Vähendusteguri võib kahelt servalt toetatud plaatidel (I- või H-profiili sein, nelikanttoru külgtahk jne) leida valemiga (3.4): p - 0,055 (3 + ) = 2 1,0 , p fy b/t
kus p oli dielektriku külgtahul indutseeritud polarisatsioonilaengu pindtihedus. Et saadud valem võimaldab arvutada summaarset elektrivälja tugevust ainult risttahukakujulises dielektrikus, mis asub homogeenses elektriväljas ja mille külgtahud on risti elektrivälja tugevuse vektoriga, peame saadud valemit veel üldisema juhu jaoks teisendama. Et vasakul külgtahul indutseeritud laeng on q p S , parempoolsel külgtahul indutseeritud laeng q p S , kus S on külgtahu pindala, siis võime vaadelda seda risttahukat kui dipooli, mille dipoolmomendi moodul on vastavalt valemile (11.1) p qd p Sd pV , kus d on risttahuka paksus ja V ruumala. Tulemust ruumalaga V jagades saame valemi (11.5) põhjal risttahuka polarisatsioonivektori mooduli P p, 8 s.t. risttahuka polarisatsioon on võrdne otstahul indutseeritud polarisatsioonilaengu
annaabi.ee 
