Vali üks või enam: lausekvantorit olemasolu kvantorit tõekvantorit ühtegi kvantorit ei saa eitada Küsimus 7 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Vali üks või enam: distributsioon ekvivalents disjunktsioon konjunktsioon implikatsioon inversioon Küsimus 8 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Vali üks: hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust Küsimus 9 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . kõige esimesena tehakse loogikaavaldises INVERSIOON ...selle järel järgmisena tehakse KONJUNKTSIOON ..
Küsimus 5 ja 6 !! otsusta, kas see väide on tõene või vale: "Tautoloogia" on lause, mille tõeväärtus on alati VALE. Vali üks: Tõene Väär Küsimus 2 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Vali üks: hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Answer: 5 Küsimus 4 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet!
lausekvantorit olemasolu kvantorit Question 2 Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Correct Mark 1 out of 1 Select one: hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" Question 3 Vali loetelust õige alternatiivne nimetus nendele loogikatehetele. Correct
Lausearvutus on klassikalise loogika lihtsaim osa, mis tegeleb lihtlausete vaheliste seoste uurimisega ning mille abil on võimalik välja selgitada, kuidas liitlause tõeväärtus sõltub osalausete tõeväärtustest.Lausearvutust kasutatakse väga paljudes valdkondades, rakendusalad ulatuvad arutluste analüüsist filosoofias liittingimuste konstrueerimiseni programmeerimises. Predikaatarvutus on lausearvutuse laiendus, milles kasutatakse täiendavalt redikaadi, inviidi ja kvantori mõisteid. Lausearvutus Lausemuutujad: A, B, C, ... Loogikatehted: &, V, , , Kirjavahemärgid: () Loogikatehted Konjunktsioon - &, AND Konjunktsioon kahe lause vahel on tõene täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on tõesed. Disjunktsioon – V, OR Disjunktsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on väärad. Implikatsioon -, IF...THEN... Implikatsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui tema vasakpoolne osalause on tõene
Kui kõik operandid on väärad. 37.Neljast traditsioonilise loogika põhireeglist… ? Küllaldase aluse seadus. 38.Teadmatusele tigenvat demagoogilist võtet nim…? Ed arantum?aranteim? 39.Loogilises ruudus peab olemasolu impordi vea võimalusega arvestama siis, kui … ? … osaeitava väite tõesus. 40.Binaarse predikaadi ees paikneb 2 kvantorit… Millal tohib neid kvantoreid vahetada? Milline on väär? Olemasolukvantor tõstetakse üldisus-kvantori ette või vastupidi 41.Terminit (mõisteväljendit), mida võib kasutada viitamaks erinevatele tähendustele nimetatakse Ekvivookseks 42.Üldjaatav ja üldeitav väide erinevad alati teineteisest …. Väite kvaliteedi tõttu. 43.Suurtermin on termin (mõisteväljend), mis esineb kategoorilise süllogismi … Suuremas eelduses ja lõppjärelduses 44.Ilma eituseta olemasolukvantori rakendamine lunaarsele predikaadile tekitab … Osajaatav või osaeitav lause. 45
P&1=p P&0=0 P & -p = 0 loogiline vastuolu (samaselt väär) Pv1=1 Pv0=p P v –p = 1 loogiline tautoloogia (samaselt tõene) P -> p = 1 Implikatsiooni eitus: -(p -> q) = p & -q Predikaatarvutus Objekt, mille kohta midagi väidetakse – subjekt e indiviid See, mida indiviidide kohta väidetakse – predikaat Predikaat ise ei oma tõeväärtust, aga ta muutub kas tõeseks või vääraks kui talle omastada mingisugune hulk/väärtus. Kvantori rakendamine vabale muutujale (predikaadis) – hulga v kogusemääraja 1) A – üldisuskvantor – kõik, iga, suvaline, mistahes, alati, kõikjal, mitte ükski, mitte midagi 2) E – olemasolukvantor – mõni, mõned, leidub vähemalt üks, on olemas keegi/miski, millalgi, kusagil Valem on kinnine (lause on lõpetatud), kui kõik tema muutujad on seotud. Vastasel juhul on valem lahtine (pole tõeväärtust, lõpetamata lause).
elemendid, et iga xiM korral P(1, ... , )=t o P(1, ... , ) = {t, kui x1, ..., xi-1, xi+1, ..., xn on hulga M sellised elemendid, et mingi xiM korral P(1, ... , )=t, vastasel juhul P(1, ... , )=v Lõpliku indiviidide piirkonna puhul saab kvantorite rakendamise taandada lausearvutuse tehetele: o Kui = {1, ... , }, siis P(1, ... , )= P(1, ... , -1, 1, +1, ... , ) & ... & P(1, ..., -1, , +1, ... , n) o Olemasolu kvantori saab samal viisil väljendada disjunktsioonide kaudu Konstantsümbolid (a, b, c, ...) tähistavad vaadeldava hulga mingeid kindlaid elemente Funktsionaalsümbolid (f, g, h, ...) tähistavad vaadeldaval hulgal määratud funtksioone Predikaatsümboleid kasutatakse elementide omaduste ja nendevaheliste seoste kirjapanemiseks Termid on parajasti need, mida saab koostada järgnevate reeglite abil: o Iga indiviidmuutuja on term
BAASHULGAKS(domain). Hulga M elemente( x kuulub hulka M) nimetatakse selle predikaadi indiviidideks. Hulgal M määratud kahekohaline predikaat ehk BINAARNE PREDIKAAT Pxy on kujutis, mis seab igale idiviidide järjestatud paarile(x;y), kus x kuulub hulka M, vastavusse ühe kindla tõeväärtusega (tõene või väär). UNIVERSAALHULGAKS ehk UNIVERSAALSEKS HULGAKS nimetatakse hulka, mis sisaldab alamhulkadena kõiki antud probleemi või arutluse raames vaadeldavaid hulki. Kvantori ulatuses paiknevat valemit nimetatakse ka KVANTORILE ALLUVAKS VALEMIKS. Muutuja esinemine predikaatarvutuse valemis on SEOTUD, kui muutuja esineb mõne kvantori ulatuses. Kui muutuja esinemine ei ole seotud, siis on see muutuja esinemine VABA. Muutuja ON valemis SEOTUD, kui kõik tema esinemised valemis on seotud. VASTASEL JUHUL on muutuja VABA Valem on KINNINE, kui kõik tema muutujad ON SEOTUD. VASTASEL JUHUL nimetatakse valemid LAHTISEKS.
LAUSEARVUTUS Küsimus 1 Õige Hinne 1,00 / 1,00 otsusta, kas see väide on tõene või vale: "Tautoloogia" on lause, mille tõeväärtus on alati VALE. Tõene Väär Küsimus 2 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Vali üks: hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . Vastus 1 kõige esimesena tehakse loogikaavaldises INVERSIOON Vastus 2 ...selle järel järgmisena tehakse KONJUNKTSIOON
sõnade hulk terminites on limiteerimata. Näit., Enamus spordisaali kogunenud fänne elas tormiliselt kaasa korvpalli- võistlusele. Toodud lauses: "enamus" on operaatorsõna, "spordisaali kogunenud fänne" - subjekt ja "elas tormiliselt kaasa korvpallivõistlusele" - predikaat. Tänapäeval modernses loogikas, kus loogika keel on maksimaalselt formaliseeritud, s.t. sedavõrd formaliseeritud, et domineerib sümboolika, kasutatakse ka operaatorsõna väljendamiseks kvantori märki. Seda, mõistagi, juhul, kui kogu otsustus on avaldatud märkide keeles (sümboolikas). Kvantor (tuletatud ld.k. quantum) tähistab kogust, hulka, määra. Kvantori märgid (sümbolid) on: - näitab subjekti täismahulisena, nimetatakse üldkvantoriks, ja - näitab subjekti piiritlemata mahus, nimetatakse eksistentsikvantoriks. Kvantori märkide kasutamisega tutvume vastavalt vajadusele edaspidi. 2
• Kvantorid Üldistuse ja abstraktsiooni väljendamiseks Predikaatarvutuse arutlus kehtib mingi valdkonna objektide kohta Valdkonna objektide hulka kokku nimetatakse universumiks. - Üldisuskvantor (universal quantifier) - universumi kõikide objektide kohta käiva väite esitamiseks. Muutuja on valemis seotud, kui ta esineb koos kvantoriga ja avaldises kvantori mõjupiirkonnas ja vastasel juhul on muutuja valemis vaba. Muutuja väärtustamisel saadavat lauset nim. väärtustatuks ja väärtustamata lause eksemplariks. 3.2 Predikaatloogika süntaks ja semantika Indiviidtermid on indiviidkonstantide sümbolid ja indiviidmuutujad • Süntaks(induktiivselt) Atomaarne valem e. aatom on kujul L, kus L on 0-kohaline predikaatsümbol e.lausemuutuja 1. Atomaarne valem on valem 2
Predikaatarvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: · Kui P on n-kohaline predikaatsümbol ja t1,t2,...,tn on termid, siis P(t1,t2,...,tn) on predikaatarvutuse valem. · Kui F on pvalem 5, siis ¬ F on pvalem · Kui F ja G on pvalemid, siis (F&G), (FG), (FG) ja (FG) on pvalemid · Kui x on indiviidmuutuja ja F on pvalem, siis on pvalemid. Vabad ja seotud muutujad. Indiviidmuutuja x esineb valemis F seotult, kui ta asub mingi kvantori mõjupriikonnas, st osavelmit õ moodustavas valemis G. Ülejäänud esinemisi nim. vabadeks. Kui indiviidmuutuja x esineb valemis F vabalt, siis märgime sellist valemit mõnikord ka tähisega F(x). Keele signatuur: konstant-, funktsionaal- ja predikaatsümbolid. Signatuur fikseerib termides ja valemites lubatud mitteloogiliste sümbolite hulgad. 5 predikaatarvutuse... 8
See kehtib ka väite ehk kokkuleppelise otsustuse kohta. Atributiivse lihtväite komponendid on alljärgnevad: väite subjekt on mõiste, mille mahu objektide kohta midagi väidetakse; väite predikaat on mõiste, mille mahu elemendiks olemist antud väite subjekti mahu elementidele omistatakse; väite kvantor rakendub subjektile, määrates, kas predikaadiga öeldu kehtib kõigile subjekti mahu elemetidele (rakendub üldiselt) või mingile osale neist (rakendub osaliselt). Kvantori üldist või osalist rakendumist nimetatakse ka väite kvantiteediks (kas üldine või osaline); väite koopula väljendab predikaadi preditseerimist subjektile, koopulaks on kas jaatus (predikaadi mahu elemendiks olemise omistamine subjekti elementidele kvantoriga etteantud määral) või eitus (predikaadi mahu elemendiks mitteolemise omistamine subjekti elementidele). Eitust või jaatust nimetatakse ka väite kvaliteediks.
See kehtib ka väite ehk kokkuleppelise otsustuse kohta. Atributiivse lihtväite komponendid on alljärgnevad: väite subjekt on mõiste, mille mahu objektide kohta midagi väidetakse; väite predikaat on mõiste, mille mahu elemendiks olemist antud väite subjekti mahu elementidele omistatakse; väite kvantor rakendub subjektile, määrates, kas predikaadiga öeldu kehtib kõigile subjekti mahu elemetidele (rakendub üldiselt) või mingile osale neist (rakendub osaliselt). Kvantori üldist või osalist rakendumist nimetatakse ka väite kvantiteediks (kas üldine või osaline); väite koopula väljendab predikaadi preditseerimist subjektile, koopulaks on kas jaatus (predikaadi mahu elemendiks olemise omistamine subjekti elementidele kvantoriga etteantud määral) või eitus (predikaadi mahu elemendiks mitteolemise omistamine subjekti elementidele). Eitust või jaatust nimetatakse ka väite kvaliteediks.
Samamoodi nõuavad intuitsionistid, et ``A või B'' tõestamiseks tuleb tõestada eraldi kas A või B: üldisest tõestusest, et vähemalt üks neist kehtib, ei piisa. Seetõttu ei aktsepteeri intuitsionistid reeglit A ÚØA, sest üldjuhul pole ju teada, kas mingil konkreetsel juhul on tõestatav A või ØA. Intuitsionistlik loogika ei erine klassikalisest loogikast mitte ainult olemasolu kvantori ning või- ja ja-tehete piiratuse poolest: järgmine klassikalise loogika jaoks tõene ja ainult järeldustehet sisaldav väide (nn. Peirce'i reegel) ei ole intuitsionistlikult tõestatav: ((A B) A) A. Intuitsionismi filosoofiline tuum on abstraktsete platooniliste tõdede mitteaktsepteerimine: intuitsionisti jaoks on tõde ainult see, mille jaoks on konstrueeritud tõestus. Sellest ka koolkonna nimi - intuitsionism tähistab intuitiivselt selget ja
. ." Kui predikaadile P (x) on rakendatud kvantorit, siis ta omandab kohe tõeväärtuse (tõene või vale) ja ta tõeväärtus ei olene enam Kvantorid ∀ ja ∃ on omavahel seotud järgneva samaväärsusega: predikaatmuutujale x omistatud konkreetsest väärtusest. __ __ ∀ x P ( x) ≡ ∃ x P ( x) Kvantori rakendamise tulemuseks on seega uus, tõeväärtusega lause. Kvantorit saab rakendada ka sellisele lausele, millele on juba eelnevalt näide: kvantorit rakendatud: Rakendame eelnevalt vaadeldud predikaadile ∀x ∃y ( x + y = 9 )
Näide: Definitsioon: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille diagonaalid poolitavad teineteist. Olemasolu ja üldistuse kvantorid Paljudes matemaatika lausetes esinevad sõnad ,,kõik," ,,iga," ,,leidub," ,,eksisteerib," ,,on olemas," ,,vähemalt üks.". Osa neist lausetest on tõesed, osa väärad. Selliste lausete kirjutamisel kasutatakse loogikas kahte märki. Üks neist on olemasolu kvantor (loetakse ka ,,leidub"), teine üldisuse kvantor (loetakse ka ,,iga"). Kvantori märgi taha tuleb alati kirjutada muutuja, millele see kvantor rakendub. Näide: x, x3 - 27 = 0 tähendab, et leidub x, mille korral x3 - 27 = 0. Üldisel kujul: ,,Leidub x, mille korral kehtib P(x)" ehk ,,vähemalt ühel objektil x on omadus P(x)" ,,Leiduma" = leidub vähemalt üks objekt (s.t võib leiduda ka mitu), mis rahuldab antud tingimust. Väljendit ,,leidub täpselt üks" tähistatakse tavaliselt sümboliga !. Näiteks,
Muutuvid suurusi t¨ahistatakse t¨ahestiku l~oput¨ahtedega x, y, z, ... . T¨aisarvuliste muutujate t¨ahistamiseks kasutatak- se t¨ahti i, j, k, l, m ja n. Funktsioone t¨ahistatakse t¨ahtedega f, g, h ja nende kreeka vastetega (fii), (psii) (hii). Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuses on muutuvateks suurusteks reeglina (kui ei ole tehtud t¨aiendavat eeldust) reaalarvulised muutujad. Kirjaviisi x X loetakse: suurus x kuulub piirkonda X. ¨ Uldlevinud on kahe nn kvantori - universaalsuskvantori ja olemasolu- kvantori kasutamine. S¨ umbolit loetakse teksti sees "iga"ja s¨ umbolit loetakse "eksisterib"v~oi "leidub". Kirjaviisi x > 0 [a; b] loetakse: iga positiivse x v¨a¨artuse korral leidub l~oik [a; b]. 1.1.2 Funktsiooni m~ oiste ja esitusviisid Definitsioon 1.1. Kui igale muutuja x v¨a¨artusele mingisugusest piirkonnast X on vastavusse seatud u ¨ks muutuja y kindel v¨a¨artus piirkonnast Y , siis
annaabi.ee 
