F= moodustatud mingi konkreetne järjestus Pn=n! Öeldakse, et kui kompleksarvude hulgaks, ning tema elemente nimetatakse Kõik ruutvormid on muutujate regulaarse tisenduse väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse. Vastasel juhul räägitalse, et kompleksarvudeks. Arve kujul a+bi, kus a ja b on mistahes reaalarvud ja i imaginaarühik, 2. =0 £(*a)=£(a) lineaarkujutuse tulemusena viidavad kanoonilisele kujule. Seejuures ilmneb,
Reaalarvud on järjestatavad suuruse järgi, s. o. iga kahe reaalarvu x ja y kohta kehtib parajasti üks seostest: x < y, x = y, x > y. 8 Kompleksarvud Võrrandil x2 + 1 = 0 pole lahendit reaalarvude vallas, kuna - 1 pole reaalarvude vallas defineeritud. Arvu, mille ruut on 1, nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i, s. t. i = - 1 Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja arvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Näiteks on kompleksarvud 5 - 4i, - 2i 9 Kompleksarvud Näide: x 2 - 6 x + 13 = 0 x1, 2 = 3 ± 9 - 13 = 3 ± - 4 Kuna i = - 1, siis x1, 2 = 3 ± 4 (-1) = 3 ± 2 (-1) = 3 ± 2i 10
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste: Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed a + bi = c + di <=> a = c ja b = d Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i. Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a bi. Näiteks 7+5i ja -7- 5i. Tehted kompleksarvudega:
· Hulk C osutub algebralise süsteemi mõttes kommutatiivseks korpuseks. · hulk C osutub ka vektor ruumiks (baasi temas moodustavad 1 ja i). · seega i on kaldsümmeetriline maatriks · Def2: Hulka C, mille elementideks on kõik sellised (2*2) järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral peadiogonaalil paiknevad arvud on omavahel võrdsed ning kõrvaldiagonaalil asuvad arvud on teineteisest märgi poolest erinevad nim kompleksarvude hulgaks ja tema elemente nim kompleksarvudeks. · Tehetes kompleksarvudega peame meeles pidama järgmisi omadusi: · Suurust // nim kompleksarvu mooduliks ja teda arvutame valemiga: · Kehtivad omadused (1-7) · Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada ja tõlgendada punktidena tasandil, kus on fikseeritud ristkoordinaadistik (Cartesiuse koordinaadistik) · Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele vastava kompleksarvu kaugusena koordinaat telgede alguspunktist.
· a + (-a) = (nullmaatriks) · (a * b) * c = a * (b * c) · a*b=b*a · a * (b + c) = a * b + a * c · E*a=a · Kui a ei ole nullmaatriks siis a-1 * a = E Lõpus olev tõestus võib tulle töösse EULERI VALEM: e i = cos + i * sin i on kaldsümmeetriline maatriks DEF 2: hulka C, mille elementideks on 2x2 järku maatriksid, kus iga maatriksi korral tema peadiag elemendid on võrdsed ning kõrvaldiag elemendid on vastandarvud nim kompleksarvude hulgaks ning neid nim kompleksarvudeks Arvutustes komplekarvudega tuleb arvestada järgmiste arvutusseadustega: Kehtivad järgmised omadused: Kompleksarvu geomeetriline kuju = kompleksarvu argument/amplituut |a|= r (moodul) Cos = a/b sin = b/a = r (cos + i sin ) kolmpleksarvu a moodul on geomeetriliselt tõlgendatav sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena nullpunktist. Kompleksarvu 5 esitust 1) Algebraline =a+b*i 2) Vektor = (a;b) 3) Maatriks =
Samas moodustab antud hulk vektorruumi ja baasiks on arv 1, i. i = -1 = ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks. Arv i on sisu poolest ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks. Def2 Hulka C, mille elementideks on sellised ( 2 × 2) järku ruutmaatriksid, kus peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid on üksteise vastandarvud nimetatakse kompleksarvude hulgaks ja elemente kompleksarvudeks. Algebralistes tehetes kompleksarvudega tuleb arvestada järgmiste eeskirjadega: 1) = a + bi = : a = c; b = d = c + di 2) + = ( a + c) + ( b + d) i 3) - = ( a c) + ( b d) i 4) = (ac bd) + (ad + bc) i 5) / = ac + bd/ c2 + d2 + (bc ad) i / c2 + d2 Kompleksarvu = c di nimetatakse lähtekompleksarvu kaaskompleksarvuks = c + di = = (c + di ) (c di ) = c2 + d2 Suurust || = ( c2 + d2 ) nimetatakse kompleksarvu mooduliks.
poolitamisel ja nende omavahelisel kombineerimisel, nagu näiteks 15-nurka. Lahtine oli aga küsimus, kas ka teisi koorapäraseid n-nurki saab konstrueerida sirkli ja joonlauaga ning kas nende kõigi jaoks on võimalik leida üldist seaduspärasust. Gauss leidis lahenduse, kusjuures ta avastas selle geomeetria probleemi seose arvuteooriaga. Gauss tõestas, et iga algebralise võrrandi kõik lahendid on arvud kujuga a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i = - 1 . Arve kujul a+ib nimetatakse kompleksarvudeks. Gaussi surnukeha lahati. Vaadati ka veel üle teadusliku täpsusega tema sisikonna tähtsamad organid. Osutus et Gaussi aju kaalus kolm naela ehk 1492 grammi. 1855 aastal algusest alates hakkas teda vaevama peale südamelaienemise ka astma, ilmnesid vesitõve nähud. 23 veebruaeril 1855 a. Levis Göttingenis kurb teade et Gauss oli varahommikul surnud. Tema sõbrad ja tuttavad ruttasid observatooriumi ja leidsid väikeses, väga lihtsas,
(reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks z = 2 2 + 32 = 13 · Punktile P vastava kompleksarvu moodul · Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus-
Seega z = a + ib. Arvu z kaaskompleksarvu märkimiseks kasutatakse sümbo-lit z . Kirjutis Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimeta- takse z + z = 2a tähendab seda, et kompleksarvu ja selle kaaskompleksarvu summa on võrdne kompleksarvu kahekordse reaalosaga. kompleksarvudeks 2 . Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse tavaliselt tähega Æ. Kui kaks reaalarvu pole võrdsed, siis saab alati neid arve võrrelda ja järjestada suuruse järgi. Kompleksarve aga ei saa järjestada suuruse järgi. Näiteks ei saa määrata, kumb
· Ratsionaalarvud koosnevad murdudest. R arvude omadused: tihe, ei ole pidev, kinnine kõige aritmeetiliste tehete suhtes. · Reaalarvud - Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. On pidev, on järjestatavad suuruse järgi, saab kujutada arvteljena (tee joonis) · Kopleksarvud - Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Arvu, mille ruut on 1, nimetatakse imaginaarühikuks. Näiteks on kompleksarvud 5 - 4i. 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. Reaalarvu x absoluutväärtuseks (ehk mooduliks, tähistatakse |x|) nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi: |x| = x , kui x on suurem võrdne nullist ja |x| = -x kui x on väiksem nullist. Absoluutväärtuse omadused |x + y| |x| + |y|
annaabi.ee 
