Lause: Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f (x) 0 antud parameetriliste võrranditega { Kusjuures on rangelt monotoonne ja pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul .Kui ja siis joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul ∫ Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) ≥ 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Tuletame valemi pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . .. . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [ , ] ühe punkti pi. Tähistame: Vaatleme osalõigule [xi−1, xi] toetuvat kõvertrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle küljed tõmmatud katkendliku joonega). Kui xi on väike, siis muutub pidev funktsioon f osalõigul [ , ] vähe
Igal osalõigul arvutame töö eraldi, kasutades selleks ülaltoodud valemit. Seejärel liidame osalõikudel tehtud tööd kokku saades töö tervel lõigul [a, b]. Niiviisi saame ligikaudse töö valemi. 34. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Tähistame xi = xi - xi-1 . Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad:
Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). Kõvertrapetsi pindala leidmise valem. Newton-Leibnitzi valem. Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon l~oigul [a, b], siis kehtib valem:
d a lim Y ( bc U 30) Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata. Olgu funktsioon lõigul 0 , 1. Eeldame, et 0. Vaatleme joontega , , / 0 piiratud kõvertrapetsit. LIISI KINK 15 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Tähistame selle kujundi pindala sümboliga Y. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu 0 , 1 osalõiguks punktidega U , , , ..
(Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega).Kui funktsioonid ja on kujul p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit integreeruvad lõigul [, ] ja () 0, siis leidub konstant [, ], kus avaldisse p(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(an-1 + bnx0) ... )) =
Valemi (5.17) paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 järgmise täpse valemi töö jaoks: 38. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). / Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Tähistame xi = xi - xi-1 . Vaatleme osalõigule [xi-1, xi] toetuvat kõvertrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle küljed tõmmatud katkendliku joonega)
Valemi (5.17) paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 järgmise täpse valemi töö jaoks: 38. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). / Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Tähistame xi = xi - xi-1 . Vaatleme osalõigule [xi-1, xi] toetuvat kõvertrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle küljed tõmmatud katkendliku
b saame järelduse, kui f ( x ) ≥ 0 ( x ∈ [ a ; b ] ) , siis määratud integraal ∫ f ( x ) dx esitab x -telje, a funktsiooni y=f ( x ) graafiku ja sirgetega x=a ning x=b määratud kõverjoonelise trapetsi pindala. Vaatleme lähemalt järgmist kõvertrapetsit: 11 JOONIS 2 Vaatleme osalõigule [x k−1 ; x k ] toetuvat kõvertrapetsi osa ∆ Sk . Kui ∆ xk on väike, siis muutub pidev funktsioon f osalõigul [x k−1 ; x k ] vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga f ( ξ k ) ehk f ( x ) ≈ f ( ξ k ) , kui x ∈ [ x k −1 ; x k ] .
tähistatakse Seega definitsiooni kohaselt 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. a. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem(Vihikust) 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a,b]. Eeldame et . Vaatleme joontega piiratud kõvertrapetsit JOONIS Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Jaotame lõigu n osalõiguks punktidega , kusjuures Fikseerime igal osalõigul [] ühe punkti . Tähistame Vaatleme osalõigule toetuvat kõvertrapetsi osa . Kui on väike, muutub pidev funktsioon f osalõigul vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga , ehk Järelikult on ligikaudselt ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrguse ja aluse
b f ( x ) dx Seega definitsiooni kohaselt a f ( x ) dx=¿ lim S n n 0 b ¿ a 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a,b]. Eeldame et f ( x)0 . Vaatleme joontega y=f (x) , x=a , x=b ja y=0 piiratud kõvertrapetsit JOONIS Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Jaotame lõigu n osalõiguks punktidega x 0 , x 1 , x 2 , ... x n , kusjuures a=x 0< x 1 < x 2< ...< x n=b Fikseerime igal osalõigul [ x i-1 ; x i ] ühe punkti pi . Tähistame x x i=x i-x i-1 Vaatleme osalõigule [¿ ¿i-1; x i ] toetuvat kõvertrapetsi osa Si . Kui ¿ x
valemi paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis %n → 0. Seega saame ligikaudsest valemist piirprotsessis %n → 0 järgmise täpse valemi töö jaoks: A = Z b a F(x)dx . 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) ≥ 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit. Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [xi−1, xi ] ühe punkti pi . Tähistame ∆xi = xi − xi−1 . Vaatleme osalõigule [xi−1, xi ] toetuvat kõvertrapetsi osa ∆Si (joonisel 5.2 on selle küljed tõmmatud katkendliku joonega)
Keha, mis tekib pideva joonega y f x , x-teljega ja sirgetega x a ja x b piiratud kõvertrapetsi (vt. joonis) pöörlemisel ümber x-telje, ruumala on b 2 V fx dx a Kui sama kõvertrapets pöörleb ümber y-telje, on tekkinud keha ruumala b V 2 xf x dx a Näide 16. Vaatleme kõvertrapetsit (sinusoidi), mis on piiratud joonega y sin x, x 0, ja x-teljega. Kui see kõvertrapets pöörleb ümber x-telje, on tekkinud pöördkeha ruumala 1 2 V sin 2 xdx 2 1 cos 2t dt 2 t 0 4 sin 2t 0 2
Me saame lõigus [a, b] moodutada jaotuse Allikas: [33] a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Igas osalõigus tekib siis kõvertrapets Ri ja selle kõvertrapetsi pöörlemisel ümber x-telje tekivad kettad Si . Allikas: [33] Nüüd saab tekitada kettad raadiusega ri = f (ci ), kus ci [xi-1 , xi ]. Kui me lähendame kõvertrapetsit ristkülikuga, siis kettakese ruumala avaldub ligikaudu Vi ri2 xi = f 2 (ci ) xi . Edasi tekitame Riemann'i summad n n V Vi = f 2 (ci ) xi . i=1 i=1 Jääb üle minna piirile n . Saab näidata, et piirväärtus Riemann'i b
annaabi.ee 
