Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Seega definitsiooni kohaselt Integraali osad kannavad järgmisi nimetusi: a integraali alumine raja, b integraali ülemine raja, [a,b] integreerimislõik, x integreerimismuutuja, f integreeritav funktsioon, f(x)dx integraalialune avaldis. 33. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. Kui F(jõud) on konstantne, siis avaldub töö valemiga A = F(b - a). Kui F ei ole konstantne, siis tuleb töö arvutamisel kasutada integreerimist. Idee on järgmine: jaotame vaadeldava lõigu [a, b] väikesteks osalõikudeks nii, et igal osalõigul on jõud ligikaudselt konstantne. Igal osalõigul arvutame töö eraldi, kasutades selleks ülaltoodud valemit
J=ʃLfdx + gdy, mis ühendab punkte M ja N, siis joonintegraal ei sõltu integreerimisteest, kui J = ʃLfdx + gdy = ʃMQNfdx + gdy = ʃMPNfdx + gdy Täisdiferentsiaal: dz = ux(x,y)dx + uy(x,y)dy ning selleks, et fdx+gdy oleks mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, on vajalik ja piisav, et fy=gx. Seetõttu kehtib väide, et joonintegraal J = ʃLfdx + gdy on sõltumatu integreerimisteest siis, kui selles piirkonnas D integraalialune avaldis fdx+gdy on mingi funktsiooni täisdiferentsiaal. Praegu vaatlesime tasapinnalist kujundit, kuid sama kehtib ka ruumilise kujundi jaoks 14. I liiki ja II liiki joonintegraali rakendusi: joone pikkus, mass ja masskese, silinderpinna pindala, parameetrilisel kujul antud tasandilise kujundi pindala, muutuva jõu poolt tehtud töö näiteid Joone pikkus: kui xyz-ruumis antud joon AB on sirgestuv, siis avaldub tema pikkus sAB valemiga sAB =ʃABds.
f määramata integraaliks ja tähistatakse f (x)dx = F (x) + C. Definitsioonis 3.2 esinevaid sümboleid nimetatakse järgmiselt: - integraali märk x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon f (x)dx - integraalialune avaldis C - integreerimiskonstant Näide 3.2 Kasutusele võetud sümboolikas on 2xdx = x2 + C, sest (x2 + C) = 2x ja sin xdx = - cos x + C, sest (- cos x + C) = sin x. 1 Funktsiooni f , millel on olemas määramata integraal, nimetatakse integreeruvaks funktsioo- niks
y=1(x), y=2(x), x=a, x=b, siis funktsiooni z=f(x,y,z) kolmikintegraal üle piirkonna V defineeritakse järgmiselt: Kolmikintegraali omadused on samased kaksikintegraali vastavate omadustega. Funktsiooni z=f(x,y,z) kolmekordne integraal üle regulaarse piirkonna V võrdub kolmikintegraaliga üle sama piirkonna, s.t. . Keha ruumala arvutamine kolmekordse integraali abil. Kui integraalialune funktsioon d(x,y,z)=1, siis kolmekordse integraal üle piirkonna V väljendab piirkonna V ruumala: 7. Muutujate vahetus kolmekordses integraalis: muutuja vahetuse jakobiaan ning vastav valem (25.3); kolmekordne integraal silinderkoordinaatides (vastava valemi tuletamine valemi (25.3) põhjal); kolmekordne integraal sfäärkoordinaatides (vastava valemi tuletamine valemi (25.3) põhjal).
Definitsioon: Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka piirkonnas X nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks piirkonnas X ja tähistatakse sümboliga f (x )dx . Seega võime kirjutada: f (x )dx = F (x ) + C , kui F ( x ) = f (x ) . Valemis nimetatakse: integraalimärk; f ( x )dx integraalialune avaldis; f (x ) integraalialune (integreeritav) funktsioon, integrand; x integreerimismuutuja; C integreerimiskonstant. Funktsiooni f määramata integraali leidmist nimetatakse funktsiooni f integreerimiseks. Määramata integraali leidmine ja tuletise leidmine on pöördtehted, s.t. (
dz u x x, y dx u y x, y dy. Selleks, et avaldis fdx gdy oleks mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, on tarvilik ja piisav, et fy gx. Osutub, et kehtib Teoreem 10. Olgu funktsioonid f ja g ning nende osatuletised f y ja g x pidevad piirkonnas D. Siis joonintegraal J fdx gdy AB on sõltumatu integreerimisteest parajasti siis, kui selles piirkonnas D integraalialune avaldis fdx gdy on mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, s.t. f g fy gx y x Sama kehtib ka ruumilise joonintegraali jaoks. Teoreem 11. Olgu funktsioonid f, g ja q ning nende osatuletised f y , f z , g z , g x , q x ja q y pidevad piirkonnas D. Siis joonintegraal J fdx gdy qdz AB
Seega definitsiooni kohaselt b f (x)dx = lim Sn . (5.16) a n 0 b Integraali a f (x)dx komponendid kannavad j¨argmisi nimetusi: a - integraali alumine raja, b - integraali u ¨lemine raja, [a, b] - integreerimisl~oik, x - integree- rimismuutuja, f - integreeritav funktsioon, f (x)dx - integraalialune avaldis. N¨aide f¨ uu¨ sikast. Liikugu materiaalne objekt x-teljel punktist a punkti b. M~ojugu temale j~oud F , mis u ¨ldiselt s~oltub koordinaadist x, st F = F (x). Eesm¨argiks on leida valem t¨o¨o A arvutamiseks, mille j~oud F teeb vaadeldava objekti liikumisel punktist a punkti b. Kui F on konstantne, siis avaldub t¨o¨o valemiga A = F (b - a). Kui F ei ole konstantne, siis tuleb t¨o¨o arvutamisel kasutada integreerimist. Idee
Seega definitsiooni kohaselt b f (x)dx = lim Sn . (5.16) a n 0 b Integraali a f (x)dx komponendid kannavad j¨argmisi nimetusi: a - integraali alumine raja, b - integraali u ¨lemine raja, [a, b] - integreerimisl~oik, x - integree- rimismuutuja, f - integreeritav funktsioon, f (x)dx - integraalialune avaldis. N¨aide f¨ uu¨ sikast. Liikugu materiaalne objekt x-teljel punktist a punkti b. M~ojugu temale j~oud F , mis u ¨ldiselt s~oltub koordinaadist x, st F = F (x). Eesm¨argiks on leida valem t¨o¨o A arvutamiseks, mille j~oud F teeb vaadeldava objekti liikumisel punktist a punkti b. Kui F on konstantne, siis avaldub t¨o¨o valemiga A = F (b - a). Kui F ei ole konstantne, siis tuleb t¨o¨o arvutamisel kasutada integreerimist. Idee
L l h l h Esimene integraalidest on arvutatud piki ristküliku alumist horisontaalkülge pikkusega l, teine piki parempoolset kõrgust h, kolmas mööda ülemist horisontaalkülge l, neljas mööda vasakut kõrgust h. Et alumine horisontaalkülg jääb mähise sisse, on integraalialuseks funktsiooniks esimeses integraalis . Ülejäänud küljed asuvad väljaspool mähist, seega on integraalialune funktsioon ä . Et me oleme valinud ℎ ≪ , siis kolmanda ja neljanda integraali panus summasse on tähtsusetult väike võrreldes ülejäänud kahe integraaliga ja me võime need jätta arvestamata. Teiseks, kuna magnetiline induktsioon väljaspool solenoidi on väga palju nõrgem magnetilisest induktsioonist solenoidi sees (jõujooned paiknevad solenoidi sees palju tihedamalt kui väljaspool seda), siis ≫ ä tõttu võime ka neljanda integraali panuse
annaabi.ee 
