Hulkliikme tegurdamine 1) ühisteguri sulgude ette toomine 8y2 4y = 4y (2y 1) 2 5 4 18u v 27uv = 9uv4 (2uv 3) x2 2x = x (x + 2) 2) valemite abil a2 b2 = (a + b) (a b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b) (a2 ab + b2) 4a2 9b2 = (2a + 3b) (2a 3b) 4m2 20mn + 25n2 = (2m 5n)2 27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 6x + 4) 3) rühmitamisvõte ay + az + by + bz = a (y + z) + b (y + z) = = (y + z) (a + b) x3 3x2 3x + 9 = x2 (x 3) 3 (x 3) = = (x 3) (x2 3) 4) erinevate võtete kombineerimine NB! Kõigepealt toome võimaluse korral ühisteguri sulgude ette, seejärel vaatame, kas saab tegurdada veel mõne teise võttega. 5x2 + 10x + 5 = 5 (x2 + 2x + 1) = = 5 (x + 1)2 m3n mn3 = mn (m2 n2) = = mn (m + n) (m ...
Ruutude vahe (a + b)(a b) = a² b² Summa ruut (a + b) ² = a² + 2ab + b² Vahe ruut (a b) ² = a² 2ab + b² Summa kuup (a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³ Vahe kuup (a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³ Kuupide summa (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b ³ Kuupide vahe (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 1. Lihtsusta ja arvuta avaldise väärtus. a) (t 3s) (2t + s), kui s = 2 ja t = 3 (t 3s) (2t + s) = t 3s 2t s = 4s t; Lahendus: 4s t = 4 * 2 3 = 11 b) (4c 5d) + (4d c), kui c = 5 ja d = 1 (4c 5d) + (4d c) = 4c 5d + 4d c = 3c d; Lahendus: 3c d = 3 * 5 (1) = 16 c) (a y2) + (a + y2), kui a = 4 ja y = 3 (a y2) + (a + y2) = a y2 + a + y2 = 2a; Lahendus: 2a = 2 * 4 = 8 d) (2s2 s) (s2 2s), kui s = 2 (2s2 s) (s2 2s) = 2s2 s s2 + 2s = s2 + s; Lahendus: s2 + s = (2)2 + (2) = 4 ...
on neid vähima tüvenumbrite arvuga komponendis. Ligikaudsete arvude summa ja vahe tuleb ümardada kõigi komponentide ühise madalaima järguni. Näide: 2,40+18,879=21,279 ehk 21,28 Hulkliige Üksliikmete summat nimetatakse hulkliikmeks. Üksliikmeid, mille liitmisel hulkliige moodustub, nimetatakse hulkliikme liikmeteks ja nende kordajaid- hulkliikme kordajateks. Näide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Näide: (2x-5)-(x-7)+(15-9x)-(6x-3)= 2x-5-x+7+15-9x-6x+3=-14x+20=20-14x Hulkliikme korrutamine üksliikmega Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja
HULKLIIKMED(2.ptk) Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatake üksikliikmete summat. Kordajad 3 Hulkliikme liikmed Hulkliikmete liitmine ja lahutamine (5a-6b+7)+(2a-9b-5)=5a-6b+7+2a-9b-5 =3a+3b+12 Kui sulgude ees on + märk , siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks. Kui sulgude ees on märk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Hulkliikmete korrutamine üksikliikmega 1,5 3( 1) Ava sulud ( ) 2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu) Hulkliikmete jagamine üksliikmetega 1) Teguri toomine sulgudest välja Hulkliikme teisendamist korruiseks nimetatakse hulkliikmete tegurdamiseks. 6 6 Tuues miinusmärgi ette muudame sulgudes märgid vastupidiseks. Kaksliikmete korrutamine (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Võimalisel ka koondatakse (6a-3)(2a+3)-(3a-4)(2a+1)= Rühmitamisvõte Ruutude vahe valem
hulkliige moodustub liikmed on ; -2 ; kordaja: iga liikme ees olen arv kordajad on 1; -2; 1 3.Korrastatud hulkliige - järjestada hulkliikme liikmed muutujate astendajate summa kahanemise järjekorras, võrdsete astendajate summa puhul lähtuda tähestikust, liikmed normaalkujulised, võimalusel koondada 4.Kaksliige - hulkliige, milles on kaks mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe hulkliikme liikmed kirjutatakse teise järel samade märkidega 7.Hulkliikmete lahutamine - lahutatava hulkliikme kõik liikmed kirjutada esimese järele vastupidiste märkidega; võimalusel koondada NB miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees 8.Hulkliikme korrutamine üksliikmega - korrutatakse üksliikmega selle
Üksliikmete jagamisel kordajad jagatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad lahutatakse. Näide (5 x 2 y 3 z 4v) : (2 xy3 z 2 ) 2,5 x 21 y 33 z 42 v 2,5 xz 2v algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Hulkliikmed ja nende liitmine-lahutamine Hulkliikmena mõistetakse üksliikmete algebralist summat. Selles summas esinevaid üksliikmeid nimetatakse hulkliikme liikmeteks. Hulkliikmete liitmisel tuleb liidetavate hulkliikmete kõik liikmed kirjutada üksteise järele koos nende märkidega ja sarnased liikmed koondada. Näide ( 4 x 2 3 x 2 y y ) ( x 2 y 5 x 2 y ) 4 x 2 3 x 2 y y x 2 y 5 x 2
Koodisõna v.j. am-1 , ............. , a1, a 0 n.j. m -1 Hulkliige v.j. am -1 z + ... + a1 z + a0 n.j. Siin am-1, a1, a0 Mingite heade omadustega kordajad Kahendkoodi hulkliige: Koodisõna v.j. 1 0 1 0 0 1 0 1 1 Hulkliige on f n -1 ( Z ) = f 8 ( z ) = 1 z 8 + 0 z 7 +1 z 6 + 0 z 5 + 0 z 4 +1 z 3 + 0 z 2 +1 z 1 + 1 z 0 = = z 8 + z 6 + z 3 + z +1 Selliste koodide kirjeldamiseks ja analüüsiks sobivate hulkliikmete tehete jaoks on kõige sobivam kasutada kordajaid, mis kuuluvad mingisse lõplikku korpusesse. 35. Tehted lõpliku korpuse elementidega.Konspekt 13. -liitmine (ka lahutamine) -korrutamine -korrastamine (faktoriseerimine) -pöördelementide leidmine -..... -diskreetne logaritm -..... 36. Tehted lõpliku laiendatud korpuse elementidega. Samad tehted, aga kõigepealt tuleb korpuse elemendid korrastada! - Madar konsultatsioonis rääkis nii. 37
1.3. 6 x2y- a3bc5+1,6xyz -hulkliige (üksliikmete summa) Hulkliikme kordajad 1.4. Korrastatud hulkliige ehk normaalkujuline hulkliige on hulkliige,kus liikmed on asetatud astmenäitajate summa kahanevasse järjekorda. 1.5. Kõige viimaseks kirjutatakse alati vabaliige. 1.6. Hulkliige, mis on kahe üksliikme summa nimetatakse kaksliikmeks. 1.7. Hulkliige, mis on kolme üksliikme summa nimetatakse kolmliikmeks. 2. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 2.1. Kõigepealt tuleb avada sulud ja seejärel koondada sarnased liikmed. 2.2. Kehtivad reeglid: 2.2.1. - märk sulu ees... 2.2.2. Sulu ees oleva arvuga tuleb... 3. Hulkliikme korrutamine üksliikmega 3.1. Sulu ees või järel oleva üksliikmega tuleb sulus kõik korrutada, kui võimalik siis koondada ja vastus korrastada. 4. Hulkliikme jagamine üksliikmega 4.1
2ab ; ab ; 7ab Sarnased üksliikmed erinevad ainult eesoleva arvulise teguri poolest. NÄIDE 1: Avaldises 3x - 8 - 6x + 4 NÄIDE 2: 3x - 8 - 6x + 4 = (3 - 6)x + (-8 + 4) = -3x – 4 NÄIDE 3: x + 5y - y + 7x = (1 + 7)x + (5 - 1)y = 8x + 4y NÄIDE 4: 5m + 2n - 6 - 5m + 4 = (5 - 5)m + 2n + (-6 + 4) = 2n – 2 NÄIDE 5: 3a2 + 4xy - a2 + xy - 5xy - 2a2 = (3 - 1 - 2)a2 + (4 + 1 - 5)xy = 0 NÄIDE 5: 7yw – 4w² - 8w² - 10w² = 7yw – 22w² 5. Hulkliige, hulkliikmete liitmine ja lahutamine. Hulkliige on üksliikmete summa. 2a + b ; 2a + b + 7c + 2 ; 3yzx NÄIDE 1: (3 + 7v²) + (3 + 6v) = 3 + 7v² + 3 + 6v = 6 + 7v² + 6v NÄIDE 2: (-6w² - 4) – (5 + 7w² - 8w) = -6w² - 4 – 5 -7w² + 8w = 13w² - 9 + 8w NB! Miinus märk sulu ees, muudab märgi sulu sees!!! 6. Hulkliikmete korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. a (b + c + d) = ab + ac + ad
infokoodi binaarsest järjestust vajalik arv esimesi sümboleid ja kodeerida need kuni kahekordseid vigu parandava S koodiga lõplikul korpusel GF(8). Viia saadud lubatud 3 koodsõnasse sisse C viga. Dekodeerida vigane koodsõna ja parandada vead. Esitada kõik dekodeerimistehted. Arvutada koodi liiasus. Ülesanne 5. Koostage ahendkoodi V tekitavate hulkliikmete maatriks nii, et koodipiirang oleks võrdne g. Leida kooderi impulsskaja. (Ahendkood: (n, k , g ) , kus n on koodisõna on pikkus, infosümbolite arv on k ja koodipiirang on g). Leida koodi kiirus. Ülesanne 6. Ülesandest nr.3. valige piisava pikkusega kahendsümbolite jada ning kodeerige see infojada kaheastmelise järjestikuse pesakoodiga. Sisene kood on ahendkood ülesandest nr. 5. Välise koodi valite sobiva RS koodide hulgast.
oleva märgi vastupidiseks. Ühe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine: Avaldist, mis sisaldab ainult ühte liiki tundmatut ja kus tundmatu kõrgeim astmenäitaja on 1 nimetatakse ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks. Lineaarvõrrandi lahendamise skeem: 1) Avada sulud või korrutada ühise nimetajaga. 2) Viia muutuja liikmed e. Lineaarliikmed vasakule ja vabaliikmed paremale. 3) Jagada rida lineaarliikme kordajaga. 4) Teha kontroll. 5) Kirjutada vastus. 1. Hulkliikmete korrutamine 1.1. Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega ja tulemused liita. 2. Kahe tundmatuga lineaarvõrrand 2.1. 6-7x+3=8-x - Ühe tundmatuga 3x-6+y=x-4-y - Kahe tundmatuga 1.1) Pooled vahetdada- ükski märk ei muutu. 1.2) ,, Iga roju oma koju" üksikuid liikmeid võib viia ühelt poolt teisele-
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega ⎧a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn ⎪ a>0 d = 2r r= a = a = ⎨ - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn ...
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn a>0 d = 2r r= a = a = - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn 0, kui a = 0 (a...
Siin on ühest retsepti võimatu anda. Ositi integreerimise valem on rakendatav väga mitmesuguste funktsioonide integreerimisel, kaasa arvatud ka niisuguste integraalide korral, mille leidmine muude meetoditega on lühem ja lihtsam. Enam huvi pakuvad funktsioonid, mille 3 integreerimine muude meetoditega osutub võimatuks. Näiteks on ainult ositi integreeritavad: 1) hulkliikmete ja siinuste korrutised; 2) hulkliikmete ja koosinuste korrutised; 3) hulkliikmete ja eksponentfunktsioonide korrutised, kusjuures kõigil kolmel juhul ositi integreerimise valemis funktsiooniks u valitakse hulkliige ja diferentsiaaliks dv vastavalt siinuse ja argumendi diferentsiaali korrutis, koosinuse ja argumendi diferentsiaali korrutis või eksponentfunktsiooni ja argumendi diferentsiaali korrutis. 38. Ratsionaalavaldise täisosa eraldamine
Lahendid on x1=-3, x2=-2, x3=2 või x4=3 Ül.1468(6) 2 2 26.Täieliku taandamata ruutvõrrandi (x-4) -(2x-11) =3 2 2 lahendamine (sulud on sees) - avada x +16-8x-4x -121+44x-3=0 2 sulud, kasutades hulkliikmete korrutamise -3x +36x-108=0 | (-1) 2 valemeid; teisendada ruutvõrrand 3x -36x+108=0 a=3 b=-36 c=108 normaalkujule; kasutada ruutvõrrandi üldist lahendi valemit NB kui ruutjuure alla saadakse arv null, siis on kaks võrdset lahendit x1=x2=6 Vastus. Lahend on arv 6. 27.Taandatud ruutvõrrandi lahendamine Ül
2 Lahendus. Enne lihtsustame avaldise 3 5 x( z - 1) - x(5 x - 7) = 5 x 2 - 5 x - 5 x 2 + 7 x = 2 x = 2 × =3 2 NB! Kui oleksime kohe x -i asendanud, oleksime pidanud sooritama pika ja raske arvutamise. 379 Lihtsusta avaldis, kasutades hulkliikmete korrutamise valemeid. a) ( x - 2)( x + 2) = x 2 - 4 b) (3 + 2 x) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9 f) (2u - 3v) 2 = 4u 2 - 12uv + 9v 2 g) (t + 2)(t 2 - 2t + 4) = t 3 + 2 3 = t 3 + 8 e) (2 x - 3)(3 + 2 x) = (2 x + 3)(2 x - 3) = 4 x 2 - 9 i) ( y - 1)( y 2 + y + 1) = y 3 - 1 j) (b + 1) 3 = b 3 + 3b 2 + 3b + 1 (1 - 2 x) 3 = 1 - 3 × 2 x + 3 × 4 x 2 - (2 x) 3 = n) 1 - 6 x + 12 x 2 - 8 x 3 = -8 x 3 + 12 x 2 - 6 x + 1 380 Tegurda hulkliige (NB!kasutan abivalemeid) a) x 2 - 25 = ( x - 5)( x + 5)
375/b Leia avaldise väärtus, kui x 2 Lahendus. Enne lihtsustame avaldise 3 5 x( z 1) x(5 x 7) 5 x 2 5 x 5 x 2 7 x 2 x 2 3 2 NB! Kui oleksime kohe x -i asendanud, oleksime pidanud sooritama pika ja raske arvutamise. 379 Lihtsusta avaldis, kasutades hulkliikmete korrutamise valemeid. a) ( x 2)( x 2) x 2 4 b) (3 2 x) 2 4 x 2 12 x 9 f) ( 2u 3v) 2 4u 2 12uv 9v 2 g) (t 2)(t 2 2t 4) t 3 2 3 t 3 8 e) (2 x 3)(3 2 x) (2 x 3)(2 x 3) 4 x 2 9 i) ( y 1)( y 2 y 1) y 3 1 j) (b 1) 3 b 3 3b 2 3b 1 (1 2 x) 3 1 3 2 x 3 4 x 2 (2 x) 3 n) 1 6 x 12 x 2 8 x 3 8 x 3 12 x 2 6 x 1 380 Tegurda hulkliige (NB!kasutan abivalemeid) a) x 2 25 ( x 5)( x 5) b) x 2 10 x 25 ( x 5) 2 d) a 2 4a 4 ( a 2) 2
375/b Leia avaldise väärtus, kui x 2 Lahendus. Enne lihtsustame avaldise 3 5 x( z 1) x(5 x 7) 5 x 2 5 x 5 x 2 7 x 2 x 2 3 2 NB! Kui oleksime kohe x -i asendanud, oleksime pidanud sooritama pika ja raske arvutamise. 379 Lihtsusta avaldis, kasutades hulkliikmete korrutamise valemeid. a) ( x 2)( x 2) x 2 4 b) (3 2 x) 2 4 x 2 12 x 9 f) ( 2u 3v) 2 4u 2 12uv 9v 2 g) (t 2)(t 2 2t 4) t 3 2 3 t 3 8 e) (2 x 3)(3 2 x) (2 x 3)(2 x 3) 4 x 2 9 i) ( y 1)( y 2 y 1) y 3 1 j) (b 1) 3 b 3 3b 2 3b 1 (1 2 x) 3 1 3 2 x 3 4 x 2 (2 x) 3 n) 1 6 x 12 x 2 8 x 3 8 x 3 12 x 2 6 x 1 380 Tegurda hulkliige (NB!kasutan abivalemeid) a) x 2 25 ( x 5)( x 5) b) x 2 10 x 25 ( x 5) 2 d) a 2 4a 4 ( a 2) 2
funktsioonide korral seda rakendada ja teiseks - kuidas valida funktsioon u ning funktsiooni v diferentsiaal dv. Siin on u ¨hest retsepti v~oimatu anda. Ositi integreerimise valem on rakendatav v¨aga mitmesuguste funktsioonide integreerimisel, kaasa arvatud ka niisuguste integraalide kor- ral, mille leidmine muude meetoditega on l¨ uhem ja lihtsam. Enam huvi pakuvad funktsioonid, mille integreerimine muude meetoditega osutub v~oimatuks. N¨aiteks on ainult ositi integreeri- tavad: 1) hulkliikmete ja siinuste korrutised, 2) hulkliikmete ja koosinuste korrutised, 3) hulkliikmete ja eksponentfunktsioonide korrutised, kusjuures k~oigil kolmel juhul ositi integreerimise valemis funktsiooniks u valitakse hulkliige ja diferentsiaaliks dv vastavalt siinuse ja argumendi diferentsiaali dx korrutis, koosinuse ja argu- mendi diferentsiaali dx korrutis v~oi eksponentfunktsiooni ja argumendi diferentsiaali dx korru- tis. N¨aide 5.1. Leiame (x2 + 3x) sin 2xdx
annaabi.ee 
