paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x) Funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis a parajasti siis, kui punkti a Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T 6= 0, et iga x ∈ X korral ka x ± umbruses f (x) on esitatav kujul f(x) = f(a) + f'(a)(x − a) + o(x − a), kus T ∈ X ja f(x + T) = f(x). Vähimat positiivset arvu T , mille korral f(x + T) = f(x) ∀x ∈ X, Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x jareldub selle nimetatakse funktsiooni f(x) perioodiks. antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x) korral. funktsiooni pidevus punktis x, st f(x) ∈ D(x) ⇒ f(x) ∈ C(x). Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f ^ −1(y), mis igale Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja c ∈ R on konstant, siis selles punktis
f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuures suurus on piirprotsessis kõrgemat järku lõpmata väike võrreldes suurusega , sest ning sellest saab järeldada, et ja st, et Lause 2
Siis y=g(u). Kui vahemikus (a, b), kusjuures g'(x) =/= 0, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, et u0, siis g pidevuse tõttu y=0 ning seega Kuna u0, siis g diferentseeruvuse tõttu on tõkestatud. Seega valem kehtib. Muudel juhtudel y'= (diferentseeruvusest järeldub pidevus)== g'(f(x))f'(x). Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b], st leidub L>0 nii, et iga x1 ja x1 korral lõigust [a,b] kehtib (M.O.T.T.) 7. L'Hospitali reegel. 5. Pöödfunktsiooni tuletise valemi tuletamine.
Δx→0+ Diferentseeruvuse ja pidevuse seos – Funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis a parajasti siis, kui punkti a ümbruses f(x) on esitatav kujul f(x) =f(a) + f ' (a)(x-a) + 0(x-a), kus lim 0(x-a) / (x-a) = 0 x→a Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x, st f(x) ∈ D(x) => f(x) ∈ C(x) KONKREETSED KÜSIMUSED Näidata, et hulgal X pidevate funktsioonide ruumis C(X) sobib normiks (rahuldab normi aksioome)||f||∞ := sup |f(x)|. x∈X 2 kahe reaalarvu x1;x2 ∈ R, kaugust saame arvutada d(x1,x2) = x2 - x1 3 Koonduva jada piirväärtuse ühesuse tõestus. lim (α(x) + β(x)) = lim α(x)+lim β(x)= 0+0=0 x→a x→a x→a
/ avaldada kujul / (,,) = (,,)cos+(,,) + (,,) = (grad f(x,y,z))*1°. = (x + x,y) (x,y) = x(x + 1 x,y) x, = (x + y) (x,y) = y(x,y + 2y) y, Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul vorrandiga F(x, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) Funktsiooni f(x,y) n+1 korda diferentseeruvusest punktis P(x,y) järeldub funktsiooni g(t) n+1 korda diferentseeruvus punktis 0, tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. kusjuures valemi ()/ = (())*(()/) abil saame g´(t)=fx(x+tx, y+ty)x +fy(x+tx, y+ty)y, g F (x +x, y + xy) = 0. (1.6
. . ) mingi arvjada. Astmereaks nimetatakse rida kujul või üldisemalt , kus a ∈ R on fikseeritud. Arve ak nimetatakse astmerea kordajateks. Hulka nimetatakse astmerea koonduvuspiirkonnaks ja hulka selle astmerea absoluutse koonduvuse piirkonnaks. Tõestada neid hulki kirjeldav Cauchy-Hadamardi teoreem (teoreem 10.4). Tuua näiteid. 42. Astmerea summa diferentseeruvus. Funktsiooni Taylori rida Teada teoreemi astmerea summa diferentseeruvusest (teoreem 10.5). Astmerea summa s: (−r, r) → R on diferentseeruv funktsioon. Astmerida võib igas punktis x ∈ (−r, r) liikmeti diferentseerida, seejuures (10.5) ja astmerea (10.5) koonduvusraadius on r. Defineerida lõpmata palju kordi diferentseeruva funktsiooni f Taylori rida, selgitada, kuidas saadakse seos an = (valem (10.7)) funktsiooni ja astmerea kordajate vahel.
1). ∀u ∈ V ||u || ≥ 0; ||u || = 0 u = δ Funktsiooni f(x,y) n+1 korda diferentseeruvusest punktis P(x,y) järeldub funktsiooni g(t) n+1 korda diferentseeruvus 2). ∀u ∈ V α ∈ R || α u || =|α | * ||u|| suunakoosinused. Tuletame meelde, et vektori suunakoosinued on koosinused nurkadest, mille see vektor moodustab
Diferentseeruvuse ja pidevuse seos Lause Funktsioon f (x) on diferentseeruv punktis a parajasti siis, kui punkti a umbruses ¨ f (x) on esitatav kujul o(x - a) f (x) = f (a) + f (a)(x - a) + o(x - a), kus lim = 0. xa x - a Lause ¨ Funktsiooni f (x) diferentseeruvusest punktis x jareldub selle funktsiooni pidevus punktis x, st f (x) D(x) f (x) C(x). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 13 / 25 Funktsiooni tuletis Reaalmuutuja funktsioon Lause Kui funktsioonid f (x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja
kumiskiirust ajahetkel x. Seega piirv¨a¨artus x l¨ahenemisel 0-le, st funkt- siooni tuletis kohal x kujutab endast objekti liikumiskiirust ajahetkel x. See arutlus on u¨le kantav mistahes protsessile. Kui see protsess on kirjeldatav funktsiooniga y = f (x), siis f (x) t¨ahendab selle protsessi muutumiskiirust hetkel x. 2.2 Pidevus ja diferentseeruvus Selle alampunkti eesm¨argiks on n¨aidata, et funktsiooni diferentseeruvusest antud punktis j¨areldub alati pidevus selles punktis ja et vastupidine v¨aide ei kehti. Toome n¨aite funktsioonist, mis antud punktis on pidev, kuid mitte diferentseeruv. Teoreem 2.1. Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv kohal x, siis on see ka pidev kohal x. T~oestus. Olgu funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, st f (x) = y lim . N¨aitame, et kehtib funktsiooni pidevuseks tarvilik ja piisav tingi- x0 x mus. Selleks leiame
annaabi.ee 
