Kompleksarvude juurimine ja juurte graafiline kujutamine. Piirkondade kujutamine komplekstasandil. Vektorruum Vektorruumi mõiste. Aritmeetiliste ja geomeetriliste vektorite vektorruum. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse definitsioonid. Vektorite hulga lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Eukleidiline vektorruum Vektorite skalaarkorrutis. Cauchy-Bunjakovski võrratus. Ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. Meetriline maatriks, vektorite skalaarkorrutise leidmine analüütilisel kujul. Ortogonaalsete vektorite süsteemid Ortogonaalsete vektorite süsteemide lineaarne sõltumatus. Ristbaas. Suunakoosinused. Vektorite vektorkorrutis ja segakorrutis Vektorite vektorkorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Vektorite segakorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus.
Maatriksi rea- ja veeruvektorite lineaarne sõltuvus. 14) Kronecker-Capelli teoreem. 15) Vektorite skalaarkorrutamine ja selle arvutamine. Eukleidiline vekorruum. Skalaarkorrutis on arv =a1 b 1+a 2 b 2 ...+anbn On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel. 16) Cauchy-Bunjakovski võrratus. Põhilised meetrilised suurused: vektori pikkus, ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. b 2 2 b 2 ¿ ) 17) Ortogonaalsed vektorite süsteemid. Ristbaas. Vektori suunakoosinused. On eukleidilises vektoriruumis V.ortogonaalsed vektorin on lineaarselt sõltumatud.ühik vektor ° ° on normeerimine.kui on kui tema pikkus on võrdne 1,tähistatakse ,üleminek
Järeldus 2. Kui 𝑎 ≤ 𝑥0 < 𝑥 ≤ 𝑏 ja ∑∞ 𝑘=1 𝑢𝑘 (𝑥) rahuldab teoreemi 1 eeldusi, siis 𝑥 𝑥 21. Tõestada Cauchy-Bunjakovski võrratus. Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest ∫𝑥 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 = ∑∞ 𝑘=1 ∫𝑥 𝑢𝑘 (𝑥) 0 0 vektoristest lineaarkombinatsiooni 𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗, 𝑘𝑢𝑠 𝜆 on mingi skalaar. Tulemuseks saame uue vektori ja mittenegatiivsuse
Ei saa jätta mainimata üht sellest ajast pärinevat silmapaistvat teost, Innustatuna Laplace'i ja teiste poolt, pani Cauchy 1821. a. kokku oma Polütehnilises Koolis peetud analüüsi loengud. See raamat jäi kaua aega teadusliku ranguse musternäiteks. Cauchy teose ,,Infinitesimaalarvutuste loengute kokkuvõte" (Resume des locons sur le calcul infitesimal) tõlkis vene keelde Peterburi teaduste Akadeemia erakorraline akadeemik Viktor Jakovlevis Bunjakovski (1804-1889) ja see ilmus 1831. a. Peterburis pealkirja alla ,,Kuninglikus Polüdehnilises Koolis õpetatavate diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursuste lühiesitus" . (Alates 29. detsembrist 1831 oli Cauchy Peterburi Teaduste Akadeemia välismaine auliige.) Eessõnas soovitab Bunjokovski võtta raamat kasutusele kõrgemates õppeasutustes. Sest ta on parem teiste autorite omadest. Bunjokovskil oli oma õpetaja Cauchyga arvatavasti väga hea vahekord, sest eelmainitud teose
. . , xn) koordinaatideks. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse n teguri otsekorrutist R × . . . × R, milles elementide liitmine on defineeritud 1. Tõestada Cauchy-Bunjakovski võrratus. Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest
mis on määratud võrdusega cos , = . (7) Kui ja , siis võrduse (7) paremal pool esineva murru väärtust saab leida ning Cauchy-Bunjakovski võrratuse põhjal ei ületa selle absoluutväärtus arvu 1.Seega saab vaadeldav murd olla mingi nurga koosinuseks. Koosinusfunktsiooni omaduste tõttu pole nurk , üheselt määratud. Võib nõuda, et 0 , . Siis on nurk üheselt määratud. Vektorid on risti, kui nendevaheline nurk on
ekstsentrilisus. Parabooli optiline omadus. Matemaatikutele tulemused tõetustega 1. Determinandi leidmine, kus viimases reas kõik elemendid peale viimast võrduvad nulliga. 2. Determinandi arendis j-nda veeru järgi. 3. Maatriksi pöördmaatriksi arvutamise valem. 4. Crameri valemi tuletamine 5. Kronecker-Capelli valemi tuletamine 6. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt. 7. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor. 8. Cauchy-Bunjakovski võrratus 9. Kolmnurga võrratus 10. Vektorkorrutise vektori koordinaatide leidmise valem 11. Punkti kauguse sirgeni leidmise valem 12. Tasandi üldvõrrandi saamine parameetrilistest võrranditest 13. Taandatud võrranditega sirgete vahelise nurga tangensi valem 14. Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletamine 15. Hüperbooli kaldasümptootid 16. Parabooli optilise omaduse tõestus 1. Kasutatavad tähistused - kuulub; element a kuulub hulka X / a hulgast X
1. vektori pikkus |||| = sqrt(*) 2. punktide A ja B vaheline kaugus (A, B) = ||vektor(AB)|| 3. vektorite ja vaheline nurk ; cos() = (*) / (||||*||||) 4. ristseis ehk ortogonaalsus 5. ortonormaalne baas 26. Vektori pikkus ja selle omadused (tõestustega). vektori pikkus |||| = sqrt(*) Eksisterib skalaarkorrutise 1. omaduse põhjal. Pikkuse omadused: 1. |||| >= 0; |||| = 0 <=> = (2. omadus) 2. ||c|| = |c|*|||| (Tõestus: ||c|| = sqrt((c)*(c)) = sqrt(c2(*)) = |c|*||||) 3. Cauchy-Bunjakovski võrratus: |*| <= |||| * |||| ,V; (Tõestus: xR; vaatame skalaarkorrutist (+x)*(+x) > 0 x => * + *(x) + (x)* + (x)*(x) >= 0 x => * + 2x(*) + x2(*) >= 0 x => y = ax2 + bx + c >= 0 x. Kuna = või = korral võrratus kehtib, siis võib eeldada, et , st a = * > 0. b2 - 4ac <= 0 => 4(*)2 - 4(*)(*) <= 0 => (*)2 <= (*)(*) <= 0 => |*| <= |||| * ||||) 4. kolmnurga omadus: ||+|| <= |||| + |||| (Tõestus: ||+||2 = (+) * (+) = * + * + * + * = ||||2 + 2 + ||||2 <= ||||2 + 2|||| * ||||
Vektorite u = (u1 , u2 , . . . , um ) ja v = (v1 , v2 , . . . , vm ) skalaarkorrutiseks nimetatakse summat u · v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + um vm . (6.6) Afiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis, nimetatakse eu- kleidiliseks ruumiks. Seega on Rm eukleidiline ruum. Vektorite skalaarkorrutis rahuldab j¨argmist seost, mida nimetatakse Cauchy- Schwartzi (ehk Cauchy-Bunjakovski) v~orratuseks: |u · v| |u| |v| . (6.7) Antud v~orratus muutub v~orduseks, kui u ja v on samasuunalised. T~oepoolest, kui v = u ja > 0, siis l¨ahtudes skalaarkorrutise definitsioonist u · v = u · (u) = u1 u1 + u2 u2 + . . . + um um = (u21 + u22 + . . . + u2m ) = |u|2 = |u| |u| = (6.8) = |u| |u| = |u| |v|. Vektori ek = (0, . .
annaabi.ee 
