! D(X+Y)=DX+DY, kui X,Y sõltumatud. E(X+Y-E(X+Y))2=E(X-EX-Y-EY)2=E[(X-EX)2+2(X-EX)(Y-EY)+(Y-EY)2]=E(X-EX)2+E(Y-EY)2+2E[(X-EX)(Y-EY)] vt. E[(X-EX) (Y-EY)]=E(XY-YEX-XEY+EXEY=E(XY)-(E(Y*EX-E(X*EY)+E(EX*EY)=EX*EY-EX*EY-EY*EX+EXEY=0 D(X+Y)=DX+DY, kui XY sõltumatud. 4) Kui X 1, X2, ....,Xn on sõltumatud, siis D(X1,+X2+...+Xn)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xn) 5)D(X+c)=D(X) Tõestus!!! D(X+c)=DX+Dc=DX 10. Binoomjaotusega juhuslik suurus. Binoomjaotusega juhusliku suuruse jaotustabeli koostamine. Binoomjaotusega juhuslik suurus X~B(n,p) 1) Tehakse n sõltumatut katset 2) Igal üksikul katsel võib sündmus toimuda või mitte toimuda. Seega igal üksikul katsel on 2 võimalikku tulemust: sündmus toimub, sündmus ei toimu. 3) Sündmuse toimumise tõenäosus igal katsel on p. 4)Tõenäosus p ei tohi katseseeria käigus muutuda
Diskreetne juhuslik suurus on ühtlase jaotusega, kui kõikide väärtuste esinemistõenäosused on võrdsed. 34. Leida diskreetse ühtlase jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus. n 1 EX= ∑x n i=1 i ehk väärtuste aritmeetiline keskmine 35. Leida diskreetse ühtlase jaotusega juhusliku suuruse dispersioon. 2 2 DX =EX −(EX ) ehk ruutkeskmise ja aritmeetilise keskmise ruudu vahe BINOOMJAOTUS 36. Anda binoomjaotusega juhusliku suuruse definitsioon ja näidata kasutatava eeskirja sobivus olema juhusliku suuruse jaotuseeskirjaks. Juhuslik suurus on antud binoomjaotusega, kui tema iga väärtuse X=k tõenäosus on antud k k n−k valemiga P ( n , k )=C n p (1− p) , kus p on reaalarv vahemikus nullist üheni. Kasutatava eeskirja sobivuseks lähtume Newtoni binoomvalemist, mille üldkuju on (x+y) n ehk summa n liikmega kus k=0 ja x=p ja y=1-p, sellisel juhul saame (p+(1-p) n=1
korral. ij Diskreetse lõpliku arvu väärtustega juhusliku suuruse dispersiooniks nim summat: DX=E(X-EX)2= i =1 ( xi - EX ) 2 f ( xi ) n Loenduva arvu väärtustega diskreetse juhusliku suuruse dispersioon on lõpmatu summa DX=E(X-EX)2= i =1 ( xi - EX ) 2 f ( xi ) Omadused: 1. D(c) = 0, kus c on konstant; 2. D(cX)=c2D(X); 3. Kui juhuslikud suurused X ja Y on sõltumatud, siis D(X+Y) = D(X) + D(Y), järelikult D(X+c)=D(X) 10. Binoomjaotusega juhuslik suurus -- kuidas tekib. Binoomjaotusega juhusliku suuruse jaotustabeli koostamine. Binoomjaotusega juhusliku suuruse keskväärtus ja dispersioon. Binoomjaotusega juhuslik suurus X ~ B(n, p) 1. Tehakse n sõltumatut katset 2. Igal üksikul katsel võib sündmus toimuda või mitte toimuda. Seega igal üksikul katsel on 2 võimalikku tulemust: sündmus toimub, sündmus ei toimu. 3. Sündmuse toimumise tõenäosus igal katsel on p. 4. Tõenäosus p ei tohi katseseeria käigus muutuda.
Nt. A, nim. konstantse arvu P(A), mille läheneb sündmuse A A1, Bi, Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse suhteline sagedu, kui katsete arv n käheneb lõpmatusele. võimalikust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt Suhtelise sageduse omadused: 1. Sündmuse suhteline tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, sagedus on mittenegatiivne. 2. Kindla sündmuse suhteline 17. Binoomjaotusega juhuslik suurus, selle kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sagedus on 1 3. Võimatu sündmuse suhteline sagedus on jaotustabel, keskväärtus (tõestusega) ja dispersioon sündmused on juhuslikud sündmused. (tõestusega) Sündmuse A toimumise arv X kirjeldatud 0 4
P(Xx) Bernoulli jaotus: juhuslikul suurusel on 2 võimalikku väärtust X ~ B(1; p) (p-tõenäosus, et suurus tuleb 1) Keskväärtus- lõpmatult paljude katsete keskmine Dispersioon D(X) = E[(X-EX)2] Juhusliku suuruse tõenäosusfunktsioon: P(X=x)= 0,1x0,9x-1 Binoomjaotus; X ~ B(n; p) n- katsed, p-tõenäosus Tunnikontrollis: Kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega X~B(n; p), siis tema tõenäosusfunktsioon avaldub kujul P(X=x)= Cxn px (1-p)n-x astmes x (X=x)= Poissoni jaotus: P e- x! a ma seda kasutada küll ei oska xd - keskmine õnnetuste arv muidu 3. Jaotus- ja tihedusfunktsioon Siin olid Märdil ainult erinevad funktsioonid ja 0 teksti. Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab
korral sündmuse A toimumise tõenäosust täpseltk korda kui sündmuse tõenäosus igal katsel on p=P(A). kus q on sündmuse A vastandsündmuse toimumise tõenäosus q = 1 - P(A). Tuletus: Sündmus A toimub n katse korral m korda, siis sündmuse A vastandsündmus toimub n m korral. Binoomjaotus Juhuslikku suurust X, mille võimalikeks väärtusteks on naturaalarvud 0,1,2... n ja mille vastavad tõenäosused arvutatakse Bernoulli valemiga, nim binoomjaotusega juhuslikeks suurusteks. Binoomjaot. keskväärtus EX=np , dispersioon DX=npq, standardhälve DX. Keskväärtus: Dispersioon: Poissoni jaotus Poissoni jaotus harva esinevate sündmuste jaotusseadus. Poissoni jaotust kasutame kui katseseeriate arv n st. n30 ja tõenäosus p5. m on antud arv. Poissoni jaotusega juhuslikuks suuruseks nimetame juhuslikku suurust, mille väärtuste hulgaks on täisarvud 0,1,2 .. ja
P(B|A) = 7/9 riigi valimisõiguslikest kodanikest on {1, 2, 3}, siis A B = A + B = {1, 2, 3, 0,78. Näide14. Perekonnas on kaks last. rikkad (olgu klassi "rikas" kuulumiseks 5}.Näide6. Olgu täringu viskel sündmus Mis on tingimuslik tõenäosus, et kasutusele võetud teatud objektiivne kriteerium). Oletame, et need omadused P(II töötab) = P(I töötab ja II töötab) + 4.Binoomjaotusega juhusliku suuruse esinevad üksteisest sõltumatult (st P(I on rikkis ja II töötab) = 0,9 * 0,95 + dispersioon on:DX´=pq 5. Poissoni sisuliselt eeldame, et rikaste protsent nii 0,1 * 0,8 = 0,935 jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus on:EX=lamda6. Ühtlase hea tervisega kui ka halva tervisega N'ide21
k s 2 11 5,818 ül = 2 = = 16,773 1+ 2 3,816 ,k 2 6) Standardhälbe 95%-lised usalduspiirid: al = 2,920 1,708 ül = 16,773 4,095 Juhusliku sündmuse tõenäosuse usalduspiirid Binoomjaotusega juhuslik suurus: X ~ B(n, p) Punkthinnang üksiksündmuse tõenäosuseks: p* = m / n Punkthinnangu dispersioon ja standardhälve: D( p * ) = D(m / n ) = Dm / n 2 = npq / n 2 = pq / n, ( p * ) = pq / n. Moivre-Laplace'i valemi kohaselt võime suure valimi korral kasutada binoomjaotuse lähendina normaaljaotust ja P (| X - EX |< ) = 2( / ) ehk n P (| p - p |< ) = P ( p - < p < p + ) = 2 (
sündmus (sündmus A) toimub täpselt m korda’’. Pn(m)=n!/M!*(n-m)!*p astmel m*q astmel(n-m). 27. Tõenäoseim sagedus sõltumatutel katsetel – m*=täisosa(n*p- q+1) juhul kui valemis sulgudes oleva avaldise väärtus on täisarv, siis tõenäoseima sageduse väärtusi on kaks, avaldise väärtus ja temale eelnev täisarv. 28. Binoomjaotus – tekib sõltumatute katsete korral. Juhuslikuks suuruseks on meid huvitava sündmuse A toimumiste arv. Binoomjaotusega juhuslik suurus saab omada ainult täisarvulisi väärtusi, sest sündmuste toimumiste arv saab olla ainult täisarv.Minväärtuson 0 max väärtus on n. Valem küsimus 26 juures. BINOM.DIST, seal kumulatiivsus FALSE – üksikväärtuste tõenäosus või TRUE – jaotusfunktsiooni väärtus F(x). 29. Poissioni jaotus – tekib sõltumatute katsete korral kui n →∞ ning p→0 selliselt, et n*p=const=ʎ. Juhuslikuks suuruseks on meid huvitava sündmuse A toimumiste arv
A toimub, siis X=1, kui A ei toimu, siis X=0. Lihtsamalt juhuslik suurus X on sündmuse A toimumiste arv (0 või 1). Binoomjaotus: DJS jaotus, mille korral jaotustabel defineeritakse valemiga (Bernoulli valem) P ( X = k ) = C nk p k (1 - p ) n-k , k=0,1,...,n. Juhuslik suurus X on sündmuse A toimumiste arv n sõltumatul katsel, kui sündmuse toimumise tõenäosus igal katsel on p. Sündmuse mittetoimumise tõenäosus igal katsel on siis q=1-p. Binoomjaotusega on näiteks praakdetailide arv korduval võtmisel, läbipõlevate pirnide arv. Keskväärtus: EX=np, dispersioon DX=npq, standardhälve npq Poisson'i jaotus: DJS jaotus, mille korral jaotustabel defineeritakse valemiga k - P( X = k ) = e , k=0,1,... k! Sarnaselt binoomjaotusele juhuslik suurus tekib n katsel toimuvast k sündmusest, lisaks n ja p0. Näiteks kirjavigade arv masinakirjutajal/sekretäril. Rikete arv seadmes. Tööõnnetuste arv.
Pidevad jaotused: ühtlane ehk ristkülikjaotus, eksponentjaotus, normaaljaotus, t-jaotus, F-jaotus, χ 2-jaotus(hii-ruut jaotus) 1. Juhusliku suuruse iseloomu ja empiirilise jaotuse järgi leitakse sobiv teoreetiline jaotus. 2. Vaatlusandmete põhjal leitakse teoreetilise jaotuse parameetrid. 3. Teoreetilist jaotust kasutatakse tõenäosuste arvutamisel. Seda, kas valitud teoreetiline jaotus sobib, saab testida jaotuse sobivuse χ 2 testiga. Binoomjaotus - Binoomjaotusega on tegemist, kui • katse tulemus võib olla positiivne või negatiivne; • katset korratakse mitu korda, registreerides positiivsete tulemuste arvu; • katsed on sõltumatud, st eelneva katse tulemus ei mõjuta järgnevate katsete tulemust • positiivse tulemuse esinemise tõenäosus on kõikide katsete korral ühesugune. Nt: edukad müügikõned, defektsete toodete arv
E(X2) – E(X) + E(X) + E(X)2 = E(X2) – E(X)2 = D(X) 11. Kuidas tekib binoomjaotus? Olgu meil sõltumatud juhuslikud suurused X1,X2,…,Xn. Olgu Xi ~ Be(p); i=1,2,…,n; X = ∑Xi. P(X=0) = q; P(X=1) = p Kui X1,…Xn on sõltumatud, siis ∑ ( )= ∏ ( ) ( )= ∑ ( )= ∏ ( )= ∏ ( + )= ( + ) = ∑ ( ) = ∑ Öeldakse, et juhuslik suurus X=0,1,…,k on binoomjaotusega parameetritega n ja p ∈ [0;1], kui P(X=k) = . Tähis: X ~ B(n,p) 12. Kuidas tekib Poisson’i jaotus? Poisson’i piirteoreem. ( ) Kui npn → λ, siis npn = λ + σ(n); lim =0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim (1 ) = lim ( )
k n−k =∑ Z k Cnk pk q n−k ∑ Xi i=1 i=1 k=0 k=0 i=1 Öeldakse, et juhuslik suurus X=0,1,…,k on binoomjaotusega parameetritega n ja p ∈ [0;1], kui P(X=k) = Cnk pk q n−1 . Tähis: X ~ B(n,p) 11. Kuidas tekib Poisson’i jaotus. Poisson’i piirteoreem σ (n) Kui npn → λ, siis npn = λ + σ(n); lim =0 n →∞ n lim n ! k n−k
Diploidse pop. puhul võetakse N(geen)=2N(indiv) • Alleeli sattumise tõenäosus järgmisse põlvkonda sõltub ainult tema sagedusest vanempopulatsioonis, s.t. et looduslik valik puudub • Ei mõju ükski teine evolutsioonitegur peale juhusliku gen.triivi • Põlvkonnad ei kattu – kõik isendid sigivad korraga ja ainult üks kord •NB! Hardy-Weinberg: Populatsioon on lõpmata suur ja diploidne Geenitriivi modelleeritakse W-F mudelis binoomjaotusega. 3. Miks on juhuslik geneetiline triiv väiksemas populatsioonis suurema „jõuga“? Mis juhtub alleelisagedustega läbi põlvkondade (üldprintsiip)? Millist tõenäosusjaotust saab kasutada alleelisageduste muutuse tõenäosuse arvutamiseks ühe põlvkonnavahetuse jooksul? Geenitriiv on alleelide sageduse juhuslik muutumine põlvkondades. Alleel segregeerub populatsioonis seni kuni fikseerub või läheb kaduma. Efekt on seda suurem, mida väiksem populatsioon. Väikeses populatsioonis
annaabi.ee 
