Keskväärtus: Geomeetriline jaotus Binoomjaotus Dispersioon: Standardhälve: Normaaljaotus Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotusega ja Punktihinnangud Keskväärtuse hinnanguks on Dispersiooni hinnanguks on Standardhälbe hinnanguks on Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond
Garantiiperioodil üles ütlevate televiisorite arv. n ei saa olla suur Juhusliku suuruse väärtuse saavutamise tõenäosust leidmata saab teada kõige tõenäolisema sündmuse toimumiste arvu m0: Keskväärtus ja dispersioon EX=n*p DX=n*p*q 10. Poisson'i jaotus, - Poisson'i jaotus on diskreetse juhusliku suuruse jaotus, mille jaotustabel defineeritakse valemiga np= Poisson'i jaotust peetakse binoomjaotuse erijuhuks. Sarnaselt binoomajotusele tekib juhuslik suurus n sõltumatul katsel k korda esinenud sündmusest. Poisson'i jaotust kasutatakse aga juhul kui katsete arv on väga suur ja sündmuse toimumise tõenäosus väga väike p<0.1 ja n>50. Kasutatakse leidmaks: Rikete arv seadmes; Erinevate õnnetusjuhtumite arv Keskväärtus ja dispersioon on samad binoomjaotuse lähendamine Poisoni jaotusega kui n on küllalt suur ja p küllal väike, siis 11
ehk summa n liikmega kus k=0 ja x=p ja y=1-p, sellisel juhul saame (p+(1-p) n=1. Et vastaks juhusliku suuruse tõenäosuse jaotuseks peab olema summa 1 ehk sobib. 37. Leida binoomjaotusega juhusliku suuruse keskväärtuse arvutamise valem. EX=np, leidmise valem on prinditud konspektis tähistatud. 38. Millise valemiga avaldub binoomjaotusega juhusliku suuruse dispersioon? DX=npq=np(1-p) 39. Millise juhusliku suuruse korral võime väita, et ta on jaotunud binoomjaotuse järgi? Binoomjaotusega on tegemist, kui juhuslikuks suuruseks X=k on sündmuse esinemise kordade arv 0, 1, ..., n katseseerias pikkusega n ja igal katsel vaadeldav sündmus toimub tõenäosusega p, mis on muutumatu kõikide n katse korral ja katsete tulemused sõltumatud. POISSONI JAOTUS 40. Anda Poissoni jaotusega juhusliku suuruse definitsioon ja näidata kasutatava eeskirja sobivus olema juhusliku suuruse jaotuseeskirjaks. Täisarvulisi väärtusi omav juhuslik suurus k=0, 1, ..
= max Juhusliku sündmuse mediaan variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või paariarvulise valimi korral kahe keskmise elemendi poolsumma. 4. Dispersioon ja standardhälve ( DX ja ( X ) ). Dispersiooni ja standardhälbe punkthinnangud ( s 2 ja s ). Dispersioon (DX) juhusliku suuruse ja tema keskväärtuse vahe ruudu keskväärtus DX=E(X-EX)². Praktikas kasutatava binoomjaotuse dispersioon on arvutatav lihtsama valemiga D(x)=npq Standardhälve on ruutjuur dispersioonist - (X)= ruutjuur DX. Dispersiooni punkthinnang on valiku uuringu korral. Dispersiooni hindamiseks kasutatud kõikse uuringu andmetel põhinevat üldkogumi dispersiooni arvutus: ( ²* ²) Standardhälve punkthinnang on praktilise kasutamise vajadusi rahuldav väga väikese nihkega hinnang 5. Bernoulli valem
6) Standardhälbe 95%-lised usalduspiirid: al = 2,920 1,708 ül = 16,773 4,095 Juhusliku sündmuse tõenäosuse usalduspiirid Binoomjaotusega juhuslik suurus: X ~ B(n, p) Punkthinnang üksiksündmuse tõenäosuseks: p* = m / n Punkthinnangu dispersioon ja standardhälve: D( p * ) = D(m / n ) = Dm / n 2 = npq / n 2 = pq / n, ( p * ) = pq / n. Moivre-Laplace'i valemi kohaselt võime suure valimi korral kasutada binoomjaotuse lähendina normaaljaotust ja P (| X - EX |< ) = 2( / ) ehk n P (| p - p |< ) = P ( p - < p < p + ) = 2 ( * * * * * )= p q Näide
juhuslikke suurusi, mille mõju oleks suurem, kui ülejäänud liidetavate mõju. Normaalne juhuslik suurus on pidev juhuslik suurus, st ta saab omandada mistahes väärtusi oma määramispiirkonnas. Pidevaid juhuslikke suurusi iseloomustatakse eelkõige tema tihedusfunktsiooni kaudu. Normaalse juhusliku suuruse tihedusf.graafikut nimetatakse ’’kellakõveraks’’ või ka ’’gaussi kõveraks’’. 32. Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotuse ja Poissioni jaotusega – suure katsete arvu korral on binoomjaotuse kasutamine ebamugav. Kui n –küllalt suur võrdne, v üle20(katsetearv) ja p pole liiga väike (p>0,1) siis normaaljaotus kirjeldab küllalt hästi binoomjaotusega juhuslikku suurust. Tulemused on seda täpsemad, mida lähemal on üksiksündmuse tõenäosus väärtusele 0,5. Kui on suur arv katseid (n>20) ja väike p (p<0,1) siis on binoomjaotus lähendatav Poisson’i jaotusega
toimunud sündmus B. 11.Kahe sündmuse A ja B summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, kui sündmused A ja B on teineteist välistavad. 12.On antud pideva juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni kaks väärtust: F(5)=0,4 ja F(6)=0,7. Pane kirja järgmised tõenäosused: p(x < 5)= 0,6 p(x > 5)= 0,6 p(x > 6)= 0,3 p(5 < x < 6)= 0,18 p(- < x < )= 1 13.Binoomjaotuse määravad ära järgmised parameetrid: positiivse sündmuse tõenäosus, katsete arv. Jaotusseadused - Test 6 1. Milline jaotusseadus kirjeldab diskreetset juhuslikku suurust, milline pidevat? a. binoomjaotus diskreetne b. eksponentsiaalne jaotus pidev c. normaaljaotus pidev d. Poissoni jaotus diskreetne 2. Vaatlusandmete põhjal leitud tõenäosus, et juhuslikult valitud tööealine inimene on parajasti töötu, on 9%.
Poisson'i jaotus: DJS jaotus, mille korral jaotustabel defineeritakse valemiga k - P( X = k ) = e , k=0,1,... k! Sarnaselt binoomjaotusele juhuslik suurus tekib n katsel toimuvast k sündmusest, lisaks n ja p0. Näiteks kirjavigade arv masinakirjutajal/sekretäril. Rikete arv seadmes. Tööõnnetuste arv. Keskväärtus: EX= , dispersioon DX= . Poissoni piirteoreem: kui katste arv n ja p0 nii, et np= , siis koondub k - binoomjaotuse tõenäosus P ( X = k ) e . (Praktikas n50 ja p 0.1) k! Viimast kasutame võimalusel Bernoulli valemi asemel kui n suur. Geomeetriline jaotus: DJS jaotus, mille korral jaotustabel defineeritakse valemiga P( X = k ) = q k -1 p Toimuvad sõltumatud katsed, juhuslikuks suuruseks on katsete arv kuni esimese sündmuse A toimumiseni, igal katsel P(A)=p, P()=1-p=q. Keskväärtus EX=1/p, dispersioon DX=q/p2 10 Pidevad juhuslikud suurused
Tähistades λ = ντ, saame = . Diskreetse juhusliku suuruse X jaotust, mis on määratud saadud valemiga, nimetatakse Poissoni jaotuseks. Olgu X~Po(λ) E(X)=D(X)=λ E(X)= ∑ =∑ = ∑ λ = ∑ = = D(X)= ( ) ( )= + = 14. Binoomjaotuse ja Poissoni jaotuse keskväärtus ja dispersioon Binoomjaotus: E(X) = Gx’(1) = n(p*1 + q)n-1p = np Gx’(Z) = [(pZ + q)n]’ = n(pZ + q)n-1p D(X) = E(X2) – E(X)2 = n(n – 1)p2 + np – n2p2 = n2p2 – np2 + np – n2p2 = np(1 – p) = npq Gx’’(Z) = np[(pZ + q)n-1]’ = np(n – 1)(pZ + q)n-2p = n(n – 1)p2(pZ + q)n-2; Gx’’(1) = n(n – 1)p2 E(X2) = Gx’’(1) + Gx’(1) = n(n – 1)p2 + np Possoni jaotus: E(X) = D(X) = λ
võib kaasneda alleeli kadu või fikseerumine –väheneb populatsiooni geneetiline mitmekesisus. Suuremas populatsioonis on muutused väiksema amplituudiga ning ühe põlvkonnavahetusega on tõeneosus väiksem, et üks alleelidest täielikult kaoks. Geenitriivi käigus toimub alleelisageduste juhusliku suuna ja ulatusega kõikumine väikeste populatsioonide järjestikustes põlvkondades. Alleelisageduste muutuse tõenäosuse arvutamiseks kasutatakse binoomjaotuse mudelit. Binoomjaotuse abil saab leida tõenäosuse, et n katse tulemusena toimub k sündmust, kui 1 katse sündmuse toimumise tõenäosus p on teada. Binoomvõrrandi mudel kirjeldab alleelisageduse muutust põlvkonnavahetusel WF ideaalpopulatsioonis. 4. (A) Millised on geenitriivi ja populatsiooni suuruse vahelised seosed? (B) Kas (kuidas) alleeli sagedus mõjutab selle fikseerumise tõenäosust triivi tõttu?
n →∞ n n k! n k λ Tähistades λ = ντ, saame P= e−λ . Diskreetse juhusliku suuruse k! X jaotust, mis on määratud saadud valemiga, nimetatakse Poissoni jaotuseks. 13. Binoomjaotuse ja Poissoni jaotuse keskväärtus ja dispersioon Binoomjaotus: E(X) = Gx’(1) = n(p*1 + q)n-1p = np Gx’(Z) = [(pZ + q)n]’ = n(pZ + q)n-1p D(X) = E(X2) – E(X)2 = n(n – 1)p2 + np – n2p2 = n2p2 – np2 + np – n2p2 = np(1 – p) = npq Gx’’(Z) = np[(pZ + q)n-1]’ = np(n – 1)(pZ + q)n-2p = n(n – 1)p2(pZ + q)n- 2 ; Gx’’(1) = n(n – 1)p2
Seos: Seega loodus sunnib meid tegema tööd entroopia suurenemise vastu ehk tegema tööd, et tõsta energia kvaliteeti, ehk et saada uuesti kuuma vett, peame seda kuumutama. Tõenäoseim jaotus" ja entroopia. Kujutame kahest võrdsest poolest koosnevat anumat, milles asub osakest. Tõenäosus, et mingi osake asub näiteks vasakpoolses ruumiosas, on 1/2. Sarnaste osakeste korral saame tõenäosuse, et vasakus pooles asub osakest, arvutada binoomjaotuse abil (nagu "kulli-kirja" probleemi puhul). Tõenäosus, et mõlemas pooles on ühepalju osakesi, on alati suurim ja mida rohkem on osakesi, seda väiksemaks jääb ebavõrdsete jaotuste tõenäosus. L. Boltzmann seostas selle entroopia väärtusega, tõestades valemi kus on vastava oleku tõenäosus. Seega vastab maksimaalse entroopiaga olekule alati suurima tõenäosusega olek. Tulemus on universaalne: ta kehtib nii erinevate gaaside segunemisel kui ka erineva kiiruste jaotusega
Et aga termodünaamika lubab lihtsate teisenduste abil arvestada ka keemilist energiat, on paljud siinsed meetodid leidnudki tee keemiasse. Aga see on juba rohkem, kui üldfüüsikale kohane. "Tõenäoseim jaotus" ja entroopia. Kujutame kahest võrdsest poolest koosnevat anumat, milles asub osakest. Tõenäosus, et mingi osake asub näiteks vasakpoolses ruumiosas, on 1/2. Sarnaste osakeste korral saame tõenäosuse, et vasakus pooles asub osakest, arvutada binoomjaotuse abil (nagu "kulli-kirja" probleemi puhul. Arvutame näiteks tõenäosused mõnede väikeste -ide puhul: Tõenäosus, et mõlemas pooles on ühepalju osakesi, on alati suurim ja mida rohkem on osakesi, seda väiksemaks jääb ebavõrdsete jaotuste tõenäosus. L. Boltzmann seostas selle entroopia väärtusega, tõestades valemi kus on vastava oleku tõenäosus. Seega vastab maksimaalse entroopiaga olekule alati suurima tõenäosusega olek.
Geenitriiv on alleelide sageduse juhuslik muutumine põlvkondades. Alleel segregeerub populatsioonis seni kuni fikseerub või läheb kaduma. Efekt on seda suurem, mida väiksem populatsioon. Väikeses populatsioonis panustab iga alleel rohkem alleelisagedusse, seega ka iga juhuslik muutus on suurema osatähtsusega ja mõjutab alleelisagedust rohkem kui suures populatsioonis. Geenitriivi tulemus pole ennustatav täpselt, vaid ainult tõenäosuslikult. Seda saab teha statistilise binoomjaotuse (“mündiviskejaotus”) mudeli abil. Binoomjaotus ehk nn mündiviskejaotus: kaks alleeli oleksid nagu „kull“ ja „kiri“ ja münti visatakse 2N korda. Tõenäosus, et järgmisse põlvkonda valitakse A alleeli i korda, kui selle sagedus eelmises põlvkonnas oli p, on [JB] 4. (A) Millised on geenitriivi ja populatsiooni suuruse vahelised seosed? (B) Kas (kuidas) alleeli sagedus mõjutab selle fikseerumise tõenäosust triivi tõttu? A)
annaabi.ee 
