A5 2,8 - 0 - 1 x2 f (x1,x2,x3,x4) = (x1 x4)( x4)( x3 )(x2 ) 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK- kujule (ehk korrutada MKNK avaldises "sulud lahti" ja lihtsustada tekkiv DNK käsitsi). Võrrelda selle teisenduse tulemuseks olevat DNK-d punktis 2 leitud MDNK-ga -- kas MKNK-st teisendatud DNK on avaldisena) kokkulangev selle MDNK-avaldisega, mille andis punktis 2 kasutatud minimeerimismeetod? (Karnaugh' kaart või McCluskey' meetod) (x1 x4)( x4)( x3 )(x2 ) = = (x1 x4) x2 x2 x3 ) = = Saadud avaldus on kokkulangev punktis 2 saadud MDNK- ga (f (x1, x2, x3, x4) = ). 4. Leida vabaltvalitud viisil punktis 2 saadud MDNK-ga (loogiliselt) võrdne Taandatud DNK ja Täielik DNK,
0 11 1 1 1 11 11 1 1 Seega saadud MDNK on loogiliselt võrdne saadud MKNK-ga. ÜLESANNE 4 MKNK TEISENDAMINE DNK-KUJULE Teisendada ülesandes 3 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. f MKNK =( x1 ∨ x 4 ) ( x´2 ∨ x 4 )=x 1 x´2 ∨ x 1 x 4 ∨ x 4 x´2 ∨ x 4 x 4 =¿ ¿ x1 x´ 2 ∨ x 4 ( x 1 ∨ x´2 ∨1 ) =x1 x´ 2 ∨ x 4 =f MDNK MKNK-st teisendatud DNK on avaldisena kokkulangev ülesandes 3 leitud MDNK-ga. ÜLESANNE 5 DISJUNKTIIVSED NORMAALKUJUD Leida vabalt valitud viisil ülesandes 3 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne taandatud DNK ja täielik DNK, selgitades mõlema jaoks ära ka nende leidmisviisi. Saime f MDNK =x 1 x´2 ∨ x 4 . 5.1 TAANDATUD DNK Taandatud DNK on funktsiooni kõikide lihtimplikantide disjunktsioon. Lihtimplikant ehk maksimaalne implikant on selline, mis tervikuna ei sisaldu üheski suuremas ühtede intervallis
udv = d(uv) - vdu. Kui nüüd eksisteerib integraal vdu, siis ilmselt eksisteerib ka integraal udv, sest integraali omaduste põhjal d(uv) = uv + C. Sellisel juhul saame nn ositi integreerimise valemi udv = uv - vdu. Siin lisatakse konstant C pärast integraali vdu leidmist. Selle valemi abil saab leida integraale korrutistest, mida on võimalik vaadelda kahe funktsiooni suhtes avaldisena udv. Tegurite u ja dv valikul tuleb silmas pidada, et diferentsiaali dv abil peab saama leida esmalt funktsiooni v ja seejärel ka integraali vdu. Üldiseid reegleid siin anda ei saa. Tavaliselt valitakse u ossa funktsioon, mille tuletis on lihtne, dv aga sisaldab kindlasti diferentsiaali dx ning on suhteliselt lihtsalt integreeritav. Kui P (x) tähistab ühte hulkliiget muutuja x suhtes, siis ositi integreerimise võtet võib rakendada näiteks järgmist tüüpi integraalide leidmiseks
= x1 x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x 2 x 3 v x1 x2 x 3 v x 1 x2 x 3 v x2 x 3 v x1 x2 x3 x 3 v x 1 x 2 x3 x 3 v v x1 x2 x4 v x1 x2 x4 v x1 x 3 x4 v x1 x 2 x 3 x4 v x1 x2 x 3 x4 v x 1 x2 x 3 x4 v x2 x 3 x4 v v x1 x2 x3 x4 v x 1 x 2 x3 x4 = x2 x 3 v x1 x2 x4 v x1 x 3 v x1 x2 x 3 v x1 x 2 x 3 v x1 x2 x 3 v v x 1 x2 x 3 v x1 x 3 x4 v x1 x 2 x 3 x4 v x1 x2 x 3 x4 v x 1 x2 x 3 x4 v x2 x 3 x4 v x1 x2 x3 x4 = = x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 = 𝒇(xMDNK MKNK-st teisendatud DNK on avaldisena kokkulangev ülesandes 3 leitud MDNK-ga. 8 ÜLESANNE 5 DISJUNKTIIVSED NORMAALKUJUD Leida vabalt valitud viisil ülesandes 3 saadud MDNK-ga võrdne Taandatud DNK ja Täielik DNK, selgitades mõlema jaoks ära ka nende leidmisviisi. 𝒇(xMDNK(x1x2x3x4) = x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 5.1 TAANDATUD DNK Vaadates alamülesande 3.1 Karnaugh’ kaarti, näeme, et joonistatud kontuurid vastavad
kus ning = . [16]. Fibonacci arvud. Üldliikme valem ja rakendused. *Fibonacci arvud on kahtlemata kõige tuntum rekurrentne arvujada, mille esimeseks kirjeldajaks peetakse Itaalia matemaatikut Leonardo de Pisat. Mõnes mõttes ,,avastas" ta selle arvujada iseteadmatult, kuna esialgselt oli tegu ,,huvitava probleemiga", mis puudutas jäneste arvu kasvamist nende paaritumisel 1-kuise intervalliga. *Hiljem esitati Fibonacci poolt avastatud arvujada aga kindla rekurrentse avaldisena: Fn = Fn-1 + Fn-2 , kus algtingimustena on teada, et F0= 0 ning F1 = 1, ehk sisuliselt on n'indat Fibonacci jada arvu võimalik arvutada, liites kaks eelmist arvu. *Tahtes nüüd aga arvutada Fibonacci jada n. liikme väärtust ilma, et peaks korduvalt kasutama eelnevalt antud rekurrentset seost, peame me rekurretnse võrrandi lahendama. Antud juhul on selleks kõige optimaalsem kasutada karakterilstliku võrrandi meetodit.
keskkonda. Sama soojusbilanss väljendatuna matemaatilise avaldisena reaktsiooni konversiooni X ensüüm-substraadi kompleks)--Klassikaline Michaelis- valem: - X2 f ( X ) dX = h3 [ f ( X 0) + 4 f ( X 1) + f ( X 2)] - kontsentrap-tsioonist A-> produktid.- - r = kC A
a b 0. Saadud valemeid saab muuta kergemini meeldejäävaks, kui murdude lugejates c d ja nimetajates olevad korrutiste vahed esitada tabelina: Võrduse vasakul pool olevat tabelit tuleb mõista avaldisena, mis saadakse, kui arvude a ja d korrutisest lahutatakse arvude c ja b korrutis. a1 b1 a1 c1 c1 b1 a1b2 a2 b1 , a1c2 a2 c1 ja c1b2 c2 b1 . Näide 2: Kolmnurga OAB tipud on O(0; 0), A(x1; y1) ja B(x2; y2)
// massiivi väljastamine for-tsükli abil
for (int i=0; i
pole võrdsed. Stabiilsus on määratud ühendsüsteemi omaväärtustega seosest: det/sE-A/=O, mis avaldub seosena: arvutame maatriksid ja saame: det[sE-A ]= det [sE A1 ]· det |SE-AII] Paralleelühendus: ühendustingimused on U=U1=UII ; mI = mII ;Y=YI,+YII ; rI = rII Ja üldine olekuvektor avaldatav X=maatriks[x1 ja x2] ja ühendsüsteemi olekuvõrrandid saame avaldada avaldisena järelikult on kogusüsteemi stabiilsuseks vajalik kummagi osasüsteemi stabiilsus, seda nii juhitavuse kui jälgitavuse juures. Arvutades kogusüsteemi ülekandefunktsioonide maatriksi, saame seega kehtib reegel: paralleelselt ühendatud süsteemide ülekandemaatriks on võrdne osasüsteemide ülekandemaatriksite summaga.
Olekuvektor on mugavam juhul kui ühendavate vektorite komponentide hulgad pole võrdsed. Stabiilsus on määratud ühendsüsteemi omaväärtustega seosest: det/sE-A/=O, mis avaldub seosena: arvutame maatriksid ja saame: det[sE-A ]= det [sE –A1 ]• det |SE-AII] Paralleelühendus: ühendustingimused on U=U1=UII ; mI = mII ;Y=YI,+YII ; rI = rII Ja üldine olekuvektor avaldatav X=maatriks[x1 ja x2] ja ühendsüsteemi olekuvõrrandid saame avaldada avaldisena järelikult on kogusüsteemi stabiilsuseks vajalik kummagi osasüsteemi stabiilsus, seda nii juhitavuse kui jälgitavuse juures. Arvutades kogusüsteemi ülekandefunktsioonide maatriksi, saame seega kehtib reegel: paralleelselt ühendatud süsteemide ülekandemaatriks on võrdne osasüsteemide ülekandemaatriksite summaga. Tagasisideühendus: siin kehtivad ühendustingimused U1=U+ YII ; r1=m2=r; Y=Y1 ; m1=r2=m. Olekuvõrrandid antud ühendusele avalduvad
Loogikafunktsioonide ESITUSKUJUD on vaadeldav loogikafunktsioonina, kuna tema muutujate väärtustamisel omandab ka kogu loogikaavaldis väärtuse 0 või 1 . Funktsiooni mistahes esituskujust peab selguma, kuidas funktsioon väärtustub oma muutujate kõikvõimalike väärtuskombinatsioonide korral. Funktsiooni esitamisel avaldisena eelistatakse loogikafunktsiooni normaalkujusid. — tõeväärtustabel Tõeväärtustabel on loogikafunktsiooni kõige "vahetum" esitus. Ta loetleb Loogikafunktsioonide NORMAALKUJUD esitatava funktsiooni väärtused tabelisse korrastatuna kõikide argumendiväärtuste kombinatsioonide (ehk argumentvektorite) korral, Algterm on avaldise koosseisu kuuluv loogikamuutuja xi või selle
t Kelsenil: E) õigusnormi eelduse elemendina - ta eitabki seda ja kinnitab, et selles seisnebki tema käsituse erinevus H. Kelseni omast. Muide - H. Kelsen on oma töödes motiveeritult tõestanud, et sündmused kuuluvad samuti õigusnormi struktuuri eelduse elementide hulka. Tänapäeval ütleme - need on ju juriidiliste faktide üks põhiliike, eelduse (resp hüpoteesi) koosseisu aga juriidilised faktid kuuluvadki. F.Schreier esitab oma õiguslause vormi järgmise avaldisena: T ..................A1S. See tähendab: kui esineb eeldus, siis peab isik sanktsiooni juures samme sooritama. Tähistused: - T : eeldus (olm; hüpoteetiline olustik), - A : isik; - 1 : samme (s.t toiming; tegu), - S : sanktsioon. F.Schreier selgitab edasi, et sanktsioon tähendab viidet uuele normile, mis samme (resp: dispositiivne käitumisreegel!) teostamise kohustuse eiramisel isiku poolt toob tagajärjena
(angtos 0.785398) annab tulemuseks "45" (angtos 0.785398) annab tulemuseks "315" Lausega (angtof sõne kirjapilt) tehakse eelmise teisenduse angtos pöördteisendust (nad ongi teineteise pöördfunktsioonid ühe funktsiooni väärtus sobib teise funktsiooni argu- mendiks). Kirjapildi argument ei ole siingi kohustuslik. Kui teisendus ei osutu võimalikuks, saadakse väärtuseks nil. Avaldise väärtust saab kanda käsureale lausega (princ avaldis). Avaldisena võib siin figureerida nii sõne- kui aritmeetiline avaldis. Praktikas kasutatakse lauset vaid protseduuri koosseisus. Märgime, et protseduuri viimase lausena on kasulik kirjutada parameetrita lause (princ) see organiseerib tühisõne väljastamise. Sõne koosseisu kuuluva märgipaari n kasutamise kohta vt. lk. 39. Näiteks (setq a 123 b "EPMÜ") (princ a) väljastab käsureale arvu123 (princ b) väljastab käsureale teksti EPMÜ
1.5. Kõrgemat järku determinant 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant Definitsioon 1.10 Teist järku determinandiks nimetatakse avaldist a c = a · d - c · b. b d Toodud tabelit tuleb mõista avaldisena, mis saadakse, korrutades tabe- li peadiagonaalil seisvad arvud a ja d ning lahutades tulemusest kõrval- diagonaalil seisvate arvude b ja c korrutise. Definitsioon 1.11 Kolmandat järku determinandiks nimetatakse avaldist a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a1 b2 c3 + a3 b1 c2 + a2 b3 c1 - a3 b2 c1 - a1 b3 c2 - a2 b1 c3 . a3 b3 c3 Joonis: http://www.sparknotes.com/math/algebra2/systemsofthreeequations/section3.rhtml 1.5 Kõrgemat järku determinant
Seega väheneb loogilisi tehteid tegevate elementaarfunktsioonide arv ja nende sooritamiseks vajalike iseseisva tähendusega loogikaelementide arv 9-le. Samuti kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka kõik rohkem kui kahe argumendi funktsioonid, milles argumendid on omavahel seotud kas ainult konjuktsiooni- või disjunktsioonitehtega. Loogikafunktsioone saab analoogiliselt reaalarvude algebraga esitada mitmel viisil: algebralise avaldisena, oleku- ehk tõeväärtustabelina või Karnaugh´ kaardina, mis kujutab endast olekutabeli graafilist kujutust. Neist on kõige vähem ülevaatlik loogikafunktsiooni algebraline avaldis, kuid selle järgi on lihtne koostada kas kontakt- või kontaktivabat juhtimisskeemi. Näide: olgu loogikafunktsiooni algebraline avaldis z = a + bc . Selle avaldise võib esitada ka alljärgneva oleku- ehk tõeväärtustabelina, kuhu
annaabi.ee 
