.................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11
.................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11
Funktsionaalrida koondub ühtlaselt hulgal XUCϵXc parajasti siis, kui Ühtlane koonduvus Öeldakse, et funktsionaalrida Σ UK(X) koondub ühtlaselt hulgal XUC XC summaks S(x), kui iga e > 0 leidub N(ε) ϵ N, et iga n> N(ε) ja iga XϵXUC korral kehtib |Sn(x)-S(x)|<ε (n>N(ε)). Weierstraßi tunnus. Kui leidub selline positiivsete liikmetega arvrida Et iga naturaalarvu kϵN ja iga x ϵ XUC korral kehtib |UK(x)|≤ak Siis funktsioon Σ UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. Astmeread Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tϵR) Suurusi akϵR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R. Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule Astmerea koonduvusraadiuse mõiste Astmerea koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või
GLOBAALNE MIINIMUM. Kahekordsed integraalid · Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus · Kahekordse integraali arvutamine · Integreerimisjärjekorra muutmine · Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, kujundi ruumala, tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) Read · Arvrea koonduvus · Funktsionaalread, astmeread Majanduses kasutatavaid mitme muutuja funktsioone · Osaelastsused · Täisdiferentsiaali majanduslik tähendus · Samatoodangujooned · Tehnilise asenduse piirmäär
Sõnastame tõestatud väite: Kui positiivse arvrea ∑∞ 𝑘=1 𝑎𝑘 korral eksisteerib Kujutist ∫−∞ 𝑓(𝑡) exp(−𝑖𝜔𝑡) 𝑑𝑡 nimetatakse Fourier’ teisendiks ja tähistatakse sümboliga 𝑓̂(𝜔) ning 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja 1 +∞
ei lähene nullile. Rida hajub
35. Arvrea koonduvuse Cauchy tunnus (sten)
36. Arvrea koonduvuse integraaltunnus
37. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus
Vahelduvate märkidega rida on rida kujul a1a2+a3a4, ..., kus ai>0
Leibnitzi tunnus
Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et a1>a2>a3>a4>...
ja nlim an = 0 , siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea
esimest liiget
38. Astmeread. Abeli teoreem
Abeli teoreem
a) Kui astmerida koondub mingi nullist erineva väärtuse x'0 korral, siis koondub ta absoluutselt
iga väärtuse x korral, mille puhulx
koondub. Seejuures Rn = S - S n < an+1. Seega, kui lähendame S Sn , siis absoluutne viga on väiksem kui esimese ärajäetud liikme absoluutväärtus. n 1 1 1 Näide Rida (-1) = 1 - + - ... koondub Leibnizi tunnuse põhjal, selles n =0 n +1 2 3 1 näites an = . n +1 3. Astmeread 3.1. Astmerea mõiste ja koonduvuspiirkond. Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f, kus f n ( x) = a n x n , st rida n 2 a n x = a 0 + a1 x + a 2 x + ... (4) n =0 või üldisemalt n 2
· Leibnizi tunnus. Kui nlim a n = 0 ja a n a n +1 , siis vahelduvate märkidega rida (3) koondub.Seejuures Rn = S - S n < an+1. Seega, kui lähendame S Sn , siis absoluutne viga on väiksem kui esimese ärajäetud liikme absoluutväärtus. n 24. Astmeread. Astmeridade a n x ja a n ( x - c ) n koonduvuspiirkonnad. n =0 n =0 Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f, kus f n ( x ) = a n x n , st rida n 2 a n x = a 0 + a1 x + a 2 x + ... (4) n =0 või üldisemalt n 2
Eestis elavate inimeste juuksekarva probleem, püssilaskude omavahelise kauguse probleem märklauas jne.) *Dirichlet' printsiip leiab laia kasutust ka arvuteoorias. *Dirichlet' printsiipi tuntakse veel kui tuvipesaprintsiipi, laekaprintsiipi või Dirichlet' sahtliprintsiipi. (Heal lapsel mitu nime ) [10]. Arvujadade genereerivad funktsioonid. Jadade ja genereerivate funktsioonide teisendamine. Genereerivad funktsioonid on sellised astmeread, mille kordajad e. koefitsendid sisaldavad informatsioonina mõnda arvujada an. Genereerivad funktsioonid on harilikult esitatud nö. suletud kujul(vastandina lahtisele astmereale): näidatud on vaid avaldis, mis defineerib rea saamiseks teatud tehete hulga
k . 38 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Astmeread Definitsioon: Öeldakse, et rida on astmerida, kui ta esitub kujul a n =0 n x n , kus a n R, x - sõltumatu muutuja. n X = x | lim a k x k - astmerea koonduvuse piirkond n k =0 n k
. . . . . 150 6.4 Ridade ümberjärjestused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.5 Funktsionaalread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.5.1 Funktsionaalridade punktiviisi ja ühtlane koonduvus . . . . . . . . . 156 6.5.2 Funktsionaalrea summa omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.6 Astmeread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.6.1 Astmerea koonduvuspiirkond. Cauchy–Hadamardi teoreem . . . . . . 160 6.6.2 Astmerea summa omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.3 Funktsiooni Taylori rida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Trigonomeetriliste funktsioonide defineerimine . .
x X korral |S(x) - Sn (x)| < . 8.8 Funktsionaalrea summa pidevus L~opliku arvu pidevate funktsioonide summa on pidev funktsioon. L~opmatu arvu pidevate funktsioonide summa, st rea, puhul ei pruugi see nii olla. Kuid kehtib teoreem. Teoreem. Kui hulgal X pidevatest funktsioonidest uk (x) moodustatud rida on majoreeruv hulgal X, siis rea summa on sellel hulgal pidev funktsioon. Vaatleme funktsionaalridu, mille liikmed on konkreetsed funktsioonid. 8.9 Astmeread Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mille liikmed on astmefunktsioo- nid, st rida c k xk (8.16) k=1 v~oi u ¨ldisemalt ck (x - a)k (8.17) k=1
annaabi.ee 
