2) permutatsiooni (2.3), va- hetades kokkuvõttes (s + 1) + s = 2s + 1 korda kõrvuti olevaid arvupaare. Iga selline arvupaari vahetus, nagu teame, muutis permutatsiooni paarsust. Kuna 2s + 1 on paaritu arv, siis permutatsioonid (2.2) ja (2.3) on erineva paarsusega. Võtame nüüd kaks permutatsiooni 12.....n, 1 2 ... Neist esimene on nn. loomulik permutatsioon. Tema inversioonide arv on null, seega ta on paarispermutatsioon. Teeme kummaski permutatsioonis Äuhesuguseid arvupaaride vahetusi eesmärgiga saada teisest permutatsioo- nist loomulik permutatsioon, mis muutub paarispermutatsiooniks. Öeldut saame iseloomustada järgmiselt: 12....n1 2 ... 1 2 ... 12....n Üleminekul uutele permutatsioonidelele kasutasime samapalju arvupaaride vahetusi. Teoreemi 2.2 kohaselt permutatsioonid 1 2 ... , 1 2 ... (2.4) on sama paarsusega. Omadus 3.3. Teoreem 5.1. Omadus 6.1. Omadus 6.3. Järeldus 7.1.
funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Pöördfunktsioon - Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x=f -1 (y), mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x). Reaalmuutuja ühene funktsioon - Kui hulga X ⊂ R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y ⊂ R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) ühe (reaal-)muutuja (reaalsete väärtustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x ∈ X ∧ y = f(x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 3.Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jada – Funktsioon f(x), mille määramispiirkonnaks on kõigi naturaalarvude hulk N. Jada piirväärtus - Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0 < |x − a| < δ(ε) kehtib võrratus |f(x) − b| < ε. Lim f(x) = b x→a
väärtused, väiksematele X väärtustele suuremad Y väärtused. Sümmeetrilisus Kui X=Y, siis covxx= σ x ^2 o Kovariatsioon on dispersiooni üldistus. Dispersioon on kovariatsiooni erijuht: kovariatsioon iseendaga Sõltumatute juhuslike suuruste kovariatsioon on võrdne nulliga Kui covXY ≠ 0, siis nimetatakse suurusi X ja Y korreleeruvateks Korrelatsioonikordaja - nullist erinev ka täiesti juhuslike arvupaaride korral. Valem: Spearmani korrelatsioonikordaja – Mudel - reaalses maailmas esineva objekti analoog, mis asendab seda objekti tunnetusprotsessis Matemaatiline mudel - mingit reaalses maailmas eksisteerivat nähtust kirjeldavate matemaatiliste seoste kogum Lineaarne mudel y=ax+b, lineaarliikme kordaja a näitab, kui palju muutub y, kui x suureneb 1 võrra. Vabaliige b näitab sõltuva muutuja y väärtust, kui x=0 Regressioonimudel – yi = deterministlik component + juhuslik component
kujutamata, avaldades mõlemast võrrandist tundmatu y ja võrreldes tundmatu x kordajaid 1)ainult üks lahend, kui tundmatu x kordajad ei ole võrdsed 2)süsteemil puudub lahend, kui tundmatu x kordajad on võrdsed ja vabaliikmed ei ole võrdsed 3)lõpmatu hulk lahendeid, kui tundmatu x kordajad on võrdsed ja vabaliikmed on võrdsed NB saab kasutada ilma süsteemi lahendamata lahendite arvu määramiseks 18.Võrrandisüsteemi lahendite leidmine Ül.928 antud arvupaaride hulgast - antud teha kindlaks, kas arvupaar on süsteemi arvupaar annab x ja y väärtuse; asendada lahend need võrranditesse ja kontrollida, kas x+y=5 vasak pool võrdub parema poolega ; kui x-y=3 pooled on võrdsed siis on antud arvupaar antud arvupaar on (2;1) seega x=2 ja y=1 lahend V1=2+1=3 P1=5 V1 P1 V2=2-1=1 P2=3 V2 P2
k 0,0,1 , k 1, 0 Px xi , Px Pxy yj , Pxy P zk . VEKTORITE ANALÜÜTILINE ESITUS KOORDINAATIDE KAUDU Analüütiline geomeetria on matemaatika haru, mis uurib geomeetria objekte algebra vahenditega, kasutades koordinaatide meetodit. 2 On erinevaid koordinaatsüsteeme, enamasti kasutame ristkoordinaadistikku. Antud koordinaatsüsteem määrab järjestatud arvupaaride või –kolmikute näol punkti koordinaadid (geomeetrilise asukoha) ehk punkti analüütilise esituse. Punktide koordinaatide kaudu on võimalik iseloomustada jooni ja pindu võrranditega (võrrandi- süsteemidega). Punkt kuulub antud joonele parajasti siis, kui punkti koordinaadid rahuldavad joone võrrandit. Analüütilises geomeetrias käsitletakse jooni ja pindu kui punktide hulka, mis rahuldavad teatud tingimusi (võrrandeid).
Iga selline arvupaari vahetus, nagu teame, muutis permutatsiooni paarsust. Kuna 2s + 1 on paaritu arv, siis permutatsioonid (2.2) ja (2.3) on erineva paarsusega. V~otame n¨ uu ¨d kaks permutatsiooni 12 . . . n, 1 2 . . . n . Neist esimene on nn. loomulik permutatsioon. Tema inversioonide arv on null, seega ta on paarispermutatsioon. Teeme kummaski permutatsioonis u ¨hesuguseid arvupaaride vahetusi eesm¨argiga saada teisest permutatsioo- ¨ nist loomulik permutatsioon, mis muutub paarispermutatsiooniks. Oeldut saame iseloomustada j¨argmiselt: 12 . . . n - 1 2 . . . n ja 1 2 . . . n - 12 . . . n. ¨ Uleminekul uutele permutatsioonidelele kasutasime samapalju arvupaaride vahetusi. Teoreemi 2.2 kohaselt permutatsioonid 1 2 . .
Iga selline arvupaari vahetus, nagu teame, muutis permutatsiooni paarsust. Kuna 2s + 1 on paaritu arv, siis permutatsioonid (2.2) ja (2.3) on erineva paarsusega. ♠ V˜otame n¨ uu ¨d kaks permutatsiooni 12 . . . n, α1 α2 . . . αn . Neist esimene on nn. loomulik permutatsioon. Tema inversioonide arv on null, seega ta on paarispermutatsioon. Teeme kummaski permutatsioonis u ¨hesuguseid arvupaaride vahetusi eesm¨argiga saada teisest permutatsioo- ¨ nist loomulik permutatsioon, mis muutub paarispermutatsiooniks. Oeldut saame iseloomustada j¨argmiselt: 12 . . . n −→ β1 β2 . . . βn ja α1 α2 . . . αn −→ 12 . . . n. ¨ Uleminekul uutele permutatsioonidelele kasutasime samapalju arvupaaride vahetusi. Teoreemi 2.2 kohaselt permutatsioonid
reaalmuutuja funktsiooniks. Näited: f(x)=2 1x 10. Mis on funktsionaalne sõltuvus? Esitage 2 näidet! Operaatori tekitatud sõltuvust muutujate x ja y vahel nimetatakse funktsionaalseks sõltuvuseks, mida tähistatakse . Näited: << 0x 11. Mis on funktsiooni graafik? Esitage 2 näidet! 0x F-ni graafik on f-ni esitus graafilisel kujul. Funktsiooni f(x) graafik on arvupaaride (x, y), [kus y = f(x)], hulgale vastav geomeetriline kujutis koordinaattasapinnas Oxy. Näited: Võtan f-ni ja teen selle graafiku. 12. Tooge 2 näidet operaatori esitamise kohta valemiga! , 13. Demonstreerige 2 graafiku formaatimist (seadistamist) arvutil! seadete alt 14. Esitage 2 funktsionaalset seost tabelina! 15. Esitada 10 näidet operaatorite kohta Mathcadis! - liitmisoperaator Näiteks: - korrutamisoperaator Näiteks:
Muutuvaks suuruseks nimetatakse sioon. J¨ suurust, mis v~oib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi v¨a¨artusi. Nende v¨a¨artuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Definitsioon 2. Kui hulga X R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y R, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud (¨ uhene) u ¨he (reaal-)muutuja (reaalsete v¨a¨ artustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x X y = f (x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. Anal¨ uu¨tiliselt esitatud funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku ligikaudseks skit- seerimiseks koostatakse esiteks funktsiooni tabel x0 x1 ... xi ... xn f (x0 ) f (x1 ) ... f (xi ) ... f (xn ) kus xi = a + ih (i = 0; 1; . . . ; n) ja h = (b - a) /n
Definitsioon Kui hulga X R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y R, siis oeldakse, ¨ et hulgal X on ma¨ aratud ¨ (uhene) ¨ uhe ¨ (reaal-)muutuja (reaalsete va¨ artustega) ¨ funktsioon f . Arvupaaride hulka {(x, y)| x X y = f (x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 16 / 25 Funktsioon ~ Moiste "funktsioon" asemel kasutatakse ka moistet ~ "kujutus." Hulka f (X ) nimetatakse hulga X kujutiseks kujutamisel funktsiooniga f . Kui analu¨ utiliselt
ümber tõlkimine paras vaev ning matemaatikud on esialgu veel leidlikumad uute tulemuste tõestajad kui arvutid. Järgnevalt näitame, kuidas mõnda matemaatilist objekti hulkade abil kirjeldada. Meie raamatu piires neil kirjeldustel küll suurt oluli- sust pole, kuid võibolla on lihtsalt põnev lugeda. Näiteks võib hulkade abil kirjeldada kõiki funktsioone [lk 64]. Ruutfunktsiooni – masinat, mis seab igale reaalarvule vastavusse tema ruudu – võime kirjeldada järjestatud arvupaaride hulgana: . Idee on siin mõelda, et iga arvupaari esimese liikmega seatakse vastavusse teine liige. Kui vaatleksime funktsiooni ainult täisarvudel nullist seitsmeni, võksime kirjeldava hulga ka elementhaaval välja kirjutada: Naljakal kombel on mõne lihtsama matemaatilise objekti kirjeldamiseks aga tarvis kauem mõelda. Näiteks kuidas kirjeldada arvu 4 ainult hulkade abil, arvudest rää- kimata? Selleks on mitu viisi
annaabi.ee 
