Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljelon arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x ≤ a. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ε), kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x ≥ a. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), kus M > 0
Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku , on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse ,siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku , kus . Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse ] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui , st , ja x ei asetse a-st paremal, st x <=a. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a; a+), kus > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a vaiksem kui , st , ja x ei asetse a-st vasakul, st x>= a. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M;), kus M > 0. Arv x kuulub
Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tahistatakse Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti siis, kui selle arvu kaugus f(x) ∈ C(X). arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks loigul [a, b] ⊆ R, kui ta on pidev vahemiku (a, b) igas Reaalarvu a parempoolseks umbruseks nimetatakse suvalist poolloiku [a, a + ε), kus ε > 0. punktis, paremalt pidev loigu otspunktis a ja vasakult pidev loigu otspunktis b. Tahistatakse f(x) ∈
raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Näiteks arvu 0 ümbrus on suvaline vahemik (−ε, ε). Arv x kuulub 0-i ümbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < ε Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x ≤ a. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ε), kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x ≥ a. 2. Defineerida suuruste ∞ ja -∞ ümbrused. (lk 1)
4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a- st paremal, st x a. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+), kus > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a- st vasakul, st x a. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,), kus M > 0.
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x ≤ a. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+ε), kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x ≥ a. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,∞), kus M > 0
¨ Reaalarvu a R korral saame U (a) = {x R|a - < x < a + }. Definitsioon Reaalarvu a vasakpoolseks umbruseks ¨ ~ nimetatakse suvalist poolloiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse umbrusesse ¨ (a - , a] parajasti ¨ siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a vaiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a-st paremal, st x < a. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 12 / 25 Reaalarvud ¨ Umbrused ¨ Umbrused Definitsioon Hulka U (a) := {x V |d(a, x) < , > 0} nimetatakse punkti a V -umbruseks. ¨ Reaalarvu a R korral saame
arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < . N¨aiteks arvu 0 u ¨mbrus on suvaline vahemik (-, ). Arv x kuulub 0-i ¨mbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < . u 2 Reaalarvu a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse u ¨mbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a-st paremal, st x a. Reaalarvu a parempoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku [a, a + ), kus > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse u ¨mbrusesse [a, a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a-st vasakul, st x a. Suuruse l~opmatus u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ), kus M > 0
arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < . N¨aiteks arvu 0 u ¨mbrus on suvaline vahemik (-, ). Arv x kuulub 0-i u ¨mbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < . 2 Reaalarvu a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse u ¨mbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a-st paremal, st x a. Reaalarvu a parempoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku [a, a + ), kus > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse u ¨mbrusesse [a, a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a-st vasakul, st x a. Suuruse l~opmatus u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ), kus M > 0
annaabi.ee 
