funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: du = ψ’(u). Korrutades seda v˜ordust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Kasutades valemeid neid valemeid saame integraali all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s˜oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimisl˜oik koos rajadega. Uus integreerimisl˜oik koosneb funktsiooni u = ϕ(x) v¨a¨artustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel ¨ule kogu esialgse integreerimisl˜oigu [a, b]. Uhtlasi on uue integraali alumine raja v˜ordne ¨ u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele a ja ¨ulemine raja on v˜ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele b. Seega on uue integraali alumine raja ϕ(a) ja ulemine raja ϕ(b). Kokkuv˜ottes saame j¨argmise valemi: b φ(b)
A 12 12 22 Posti saledus: lo 1, 7 = = = 19, 6 (232) i 0, 0866 Eraldiseisev post loetakse saledaks, kui > u , kus piirsaledus on suurem j¨argnevatest v¨a¨artustest: u1 = 25 (233) 15 15 u2 = = = 20, 9 (234) u 0, 515 kus NEd,III 773, 8 · 103 u = = = 0, 515 (235)
Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = lim xa f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim xa- f(x) ei võrdu lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hu¨ppepunktiks (hu¨ppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u¨ks u¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim xa- f(x) v~oi lim xa+ f(x) puudub v~oi ei ole l~oplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Lu¨hemalt: teist liiki katkevuspunktid on k~oik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) 15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid. Uhepoolselt pidevad funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pi- devaks punktis a, kui 1. f on m¨a¨aratud argumendi v¨a¨artusel a, st a X, 2
. . , xm ) reaalarvulisi kompo- nente x1 , x2 , . . . , xm nimetatakse suuruse P koordinaatideks. Kuna muutujate x1 , x2 , . . . , xm v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on reaalarvud, siis m-m~o~ otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on ruumi Rm punktid. Muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) k~oigist v~oimalikest v¨a¨ artustest moodus- tatud ruumi Rm alamhulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Mitmemuutuja funktsiooni m~ oiste. Olgu antud m-m~o~ otmeline muutuv suurus P = (x1 , x2 , . . . , xm ) muutumispiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuv suurus z. m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale v¨a¨ artusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z u ¨he kindla v¨a¨ artuse
y 1 x Joonis 1.19: y = cosh x 25 y 1 x 1 Joonis 1.20: y = tanh x y 1 x 1 Joonis 1.21: y = coth x 26 Peat¨ ukk 2 Piirv¨ a¨ artus ja pidevus 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. Muutuva suuruse x kohta ¨oeldakse, et ta on j¨ arjestatud, kui tema v¨a¨artustest on moodustatud j¨arjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev ja kumb j¨argnev. J¨arjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ajast s~oltuv suurus. Sel juhul on loomulik lugeda kahest suuruse v¨a¨artusest j¨argnevaks seda, mis vastab suu- remale ajamuutuja v¨a¨ artusele. N¨aiteks materiaalse objekti sirgjoonelisel liiku- misel l¨abitud teepikkus S(t) on j¨arjestatud suurus. Kui t2 > t1 , siis teepikkuse
y 1 x Joonis 1.19: y = cosh x 25 y 1 x 1 Joonis 1.20: y = tanh x y 1 x 1 Joonis 1.21: y = coth x 26 Peat¨ ukk 2 Piirv¨ a¨ artus ja pidevus 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. Muutuva suuruse x kohta ¨oeldakse, et ta on j¨ arjestatud, kui tema v¨a¨artustest on moodustatud j¨arjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev ja kumb j¨argnev. J¨arjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ajast s~oltuv suurus. Sel juhul on loomulik lugeda kahest suuruse v¨a¨artusest j¨argnevaks seda, mis vastab suu- remale ajamuutuja v¨a¨artusele. N¨aiteks materiaalse objekti sirgjoonelisel liiku- misel l¨abitud teepikkus S(t) on j¨arjestatud suurus. Kui t2 > t1 , siis teepikkuse
~ Loigul pidevate funktsioonide omadusi Definitsioon ¨ Funktsiooni suurimat ja vahimat va¨ artust ¨ hulgal nimetatakse funktsiooni ekstremaalseteks va¨ artusteks ¨ sellel hulgal. ~ Lause (Weierstrassi teoreem loigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest va¨ artustest) ¨ ~ Loigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed va¨ artused ¨ sellel ~ loigul, ~ st loigus [a, b] leiduvad punktid [a, b] ja [a, b], nii et min f (x) = f (), max f (x) = f () x[a,b] x[a,b] ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
f (x), kui x = a, g(x) = lim f (x), kui x = a xa saame pideva funktsiooni punktis a. ¨ Definitsioon 10.4. Oeldakse, et funktsioonil y = f (x) on punktis a teist liiki katkevus, kui v¨ahemalt u ¨ks u ¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim f (x) lim f (x) xa- xa+ on l~opmatu v~oi seda ei eksisteeri. ¨ Oeldakse veel, et x = a on funktsiooni y = f (x) l~opmatuskohaks. 1 N¨ aide 10.3. Funktsioonil y = on punktis x = 0 teist liiki katkevus x 1 (x = 0 on funktsiooni y = l~opmatuskohaks), sest x
kasutab u ¨le miljardi inimese. Kanji m¨arkidega samal perioodil v¨alja ku- junenud egiptuse (tekkeaeg u. 3000 a. e.m.a.) ja sumeri (u. 3000 a. e.m.a.) ning hilisem maajade (4. saj.) kirjas¨ usteem pakuvad erinevalt hiina m¨arkidest paraku huvi u ¨ksnes muinasajaloolastele. Maailmaaja- loolises perspektiivis on kanji m¨arkidel seega ainulaadne koht. M¨arkide aastatuhandete pikkust muutust ja arengut v~oiks laiemalt vaadata kui muinas¨ uhiskonna v¨a¨artustest v¨alja kasvanud t¨ahenduspuud, mida pole palju nimetada selle ilmaosa kultuuriks. Kuna k¨aesoleva t¨o¨o p~ohiteemaks on kanji m¨argid, siis olen neid oma tekstis julgelt kasutanud paralleelselt eesti- v~oi inglisekeelse terminoloo- giaga vastavalt j¨argmistele skeemidele: aaldus (3) on kun pinyin-h¨¨ (1) eestikeelne termin (2) kanji m¨ark v~oi s~ona ((4)inglise keelne termin); (1) eestikeelne termin (2) kanji m¨ark v~oi s~ona ((3) on kun pinyin-
annaabi.ee 
