K~ oigi (m, n)-j¨ arku maatriksite hulka t¨ahistame aga M at(m, n) abil. 8 1.2. Maatriksite liitmine, selle omadused Enne, kui anname maatriksite liitmise m~oiste, p¨o¨ordume korraks tagasi meile tuntud reaalarvude hulga R juurde. Selles hulgas on antud liitmine ja korrutamine. Tegelikult on reaalarvude liitmine ja korrutamine u ¨hesuguse olemusega: nimelt v~oetakse kaks reaalarvu kindlas j¨arjekorras ning antakse eeskiri kuidas nende abil u¨heselt m¨a¨arata uus reaalarv. Juhul kui olete tuttav kujutuse m~oistega, siis reaalarvude liitmine ja korrutamine on kuju- tused + :R × R - R; (x, y) - x + y, · :R × R - R; (x, y) - xy. Kujutiste x + y ja xy leidmist iga x, y R korral ~opitakse koolis aastate kaupa. Seejuures, kui reaalarvud x ja y on irratsionaalarvud, siis ilmselt summa x + y ja korrutis xy j¨a¨avadki oma keerukuse t~ottu defineerimata
K˜ oigi (m, n)-j¨ arku maatriksite hulka t¨ahistame aga M at(m, n) abil. 8 1.2. Maatriksite liitmine, selle omadused Enne, kui anname maatriksite liitmise m˜oiste, p¨o¨ordume korraks tagasi meile tuntud reaalarvude hulga R juurde. Selles hulgas on antud liitmine ja korrutamine. Tegelikult on reaalarvude liitmine ja korrutamine u ¨hesuguse olemusega: nimelt v˜oetakse kaks reaalarvu kindlas j¨arjekorras ning antakse eeskiri kuidas nende abil u¨heselt m¨a¨arata uus reaalarv. Juhul kui olete tuttav kujutuse m˜oistega, siis reaalarvude liitmine ja korrutamine on kuju- tused + :R × R −→ R; (x, y) −→ x + y, · :R × R −→ R; (x, y) −→ xy. Kujutiste x + y ja xy leidmist iga x, y ∈ R korral ˜opitakse koolis aastate kaupa. Seejuures, kui reaalarvud x ja y on irratsionaalarvud, siis ilmselt
Cu2+ + 2 e- - Cu +0,34 Ag+ + e- - Ag +0,80 Au3+ + 3 e- - Au +1,50 YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011 S 2011/2012 18. Elektrokeemia 9 Metallide pingerida Standardpotentsiaalide kasvu j¨arjekorras paigutatud elektroodid (metallid) moodustavad pingerea. Aktiivsem metall t~orjub v¨ahem aktiivse tema soola vesilahusest v¨alja. Fe2+ + 2 e- - Fe E = 0,44 V Cu2+ + 2 e- - Cu E = +0,37 V Negatiivsema elektroodipotentsiaaliga metall on aktiivsem. YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011
かいざん arvutuslikust s¨umbolist m¨ark. V˜oltsimiste 改竄 v¨altimiseks kasutatakse keerulise- mat esitust: 弐・貳. 6 異体字 異体字 ⇒弐 ⇒貳 1 kaks (arv) 3 teine j¨arjekorras 2 kaheks tegema 4 taas, teist korda, j¨alle 三 ¨ OKE LO ¨ 3 SAGEDUS B . KANJI SHOHO 62 23 12 卜文 異体 ✄
Seletus peab olema argumenteeritud, ilmselt ei piisa siin u ¨ksi m¨argist enesest, vaid n~outavad on teadmised muistse kultuuriruumi f¨ uu¨silistest ja vaimsetest objektidest ning protsessidest. 3.4 Kanji seletuste kriitika J¨argnevalt p¨ uu¨an u ¨ldistada vigu ja k¨ usitavusi, mis k¨asitletud kanji se- letuste puhul silma on j¨a¨anud. Loetelu pole esitatud t¨ahtsuse j¨arjekorras. Seletuste konservatiivsus. Kuigi vanakirja arheoloogilised leiud koos vastavate teaduslike t¨o¨odega on juba enam kui pool sajandit olemas, hoiavad uuemadki m¨argis~onastikud endiselt kinni tavaks saanud v~oi v¨aljaandjatele isekesksetest k¨asitlusest. Aja- loolaste leidudest vaadatakse lihtsalt m¨o¨oda, esitamata mingeidki vastuargumente. Nagu Shirakawa [ 94, lk.15] osutab on autoriteet olnud nii suur, et luukirja on peetud koguni v~oltsinguks.
Tulemus u ¨tleb, et leidub A = 0 nii, et korrutis AA = 0. Osutub, et korrutis AB v~ oib olla null (AB = 0) ka siis, kui m~olemad te- gurid on nullist erinevad ja A = B. Seda omadust nimetatakse nullitegurite olemasoluks. N¨ aide 0 1 1 0 0·1+1·0 0·0+1·0 0 0 = = = 02 × 2 0 0 0 0 0·1+0·0 0·0+0·0 0 0 nullitegur nullitegur Korrutades aga teises j¨arjekorras, saame 1 0 0 1 1·0+0·0 1·1+0·0 0 1 = = = 02 × 2 0 0 0 0 0·0+0·0 0·1+0·0 0 0 ¨ Uhtlasi veendusime veelkord maatrikskorrutise mittekommutatiiv- suses. II. Maatriksarvutus 9 3.5 ¨ Uhikmaatriks Ruutmaatriksit, mille peadiagonaalil on u ¨hed ning mujal nullid, nimetame u
antud eeskiri y = f (x) omab m~otet. Olgu edaspidi lihtsuse m~ottes Y = f (X). Funktsiooni defineerimisel k~ oneldakse hulga X elemendile hulga Y elemendi vas- tavusse seadmisest, kuid ei fikseerita vastavusse seadmise viisi, mille abil vastavus re- aliseeritakse. Enam levinud funktsiooni esitusviisid on: 1) anal¨uu ¨tiline esitus valemi abil, mis n¨aitab, milliseid tehteid millises j¨arjekorras tuleb teostada argumendi v¨ a¨ artusega, et saada vastavat funktsiooni v¨a¨artust; 2) geomeetriline esitus graafiku abil; 3) numbriline esitus tabeli abil; 4) esitus arvutiprogrammi abil. Definitsioon 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud v¨ahemalt u ¨ks hulga Y element ja v¨ ahemalt u ¨hele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud mitmene funktsioon f.
= + +C = + + C. 5 3 5 3 5.5 Integraalsumma ja m¨ a¨ aratud integraal. Integraalsumma m~ oiste. Olgu antud funktsioon f , mis on pidev l~oigul [a, b]. Jaotame l~oigu [a, b] n osal~oiguks punktidega x0 , x1 , x2 , . . . , xn , kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. T¨ ahistame j¨arjekorras i-nda osal~oigu pikkuse s¨ umboliga xi , st xi = xi - xi-1 . Valime igal osal~oigul [xi-1 , xi ] u ¨he punkti pi . Moodustame summa n Sn = f (p1 )x1 + f (p2 )x2 + . . . + f (pn )xn = f (pi )xi . (5.15) i=1
= + +C = + + C. 5 3 5 3 5.5 Integraalsumma ja m¨ a¨ aratud integraal. Integraalsumma m~ oiste. Olgu antud funktsioon f , mis on pidev l~oigul [a, b]. Jaotame l~oigu [a, b] n osal~oiguks punktidega x0 , x1 , x2 , . . . , xn , kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. T¨ahistame j¨arjekorras i-nda osal~oigu pikkuse s¨ umboliga xi , st xi = xi - xi-1 . Valime igal osal~oigul [xi-1 , xi ] u ¨he punkti pi . Moodustame summa n Sn = f (p1 )x1 + f (p2 )x2 + . . . + f (pn )xn = f (pi )xi . (5.15) i=1
v¨aited samav¨a¨arsed: 10 f on pidev; aielik originaal f −1 (B) = 20 ruumi Y iga lahtise alamhulga B t¨ { x ∈ A | f (x) ∈ B} on lahtine; 0 3 ruumi Y iga kinnise alamhulga t¨aielik originaal on kinnine; 4.1 Pidev kujutus 37 40 f (cl(A)) ⊂ cl(f (A)) iga A ⊂ X korral; 50 cl(f −1 (B) ⊂ f −1 (cl(B)) iga B ⊂ Y korral. T˜oestus. Teoreemi t˜oestamiseks n¨aitame j¨arjekorras imp- likatsioonid 50 =⇒ 30 =⇒ 20 =⇒ 10 =⇒ 40 =⇒ 50 . 50 =⇒ 30 . Olgu B ruumi Y kinnine alamhulk. N¨aitame, et f −1 (B) on kinnine. Siis B = cl(B) ja tingimuse 50 ja sulundi omaduste p˜ohjal f −1 (B) ⊂ cl(f −1 (B)) ⊂ f −1 (cl(B)) = f −1 (B), st f −1 (B) = cl(f −1 (B)) ja f −1 (B) on kinnine (teoreem 3.2, 30 ). J¨arelikult kehtib 30 . 30 =⇒ 20 . Olgu B ruumi Y lahtine alamhulk. Veendume, et f −1 (B) on lahtine
annaabi.ee 
