omavahel kokku, siis selle determinandi väärtus võrdub nulliga. Omadus 4. Determinandi mis tahes rea (või veeru) arvudest võib ühise teguri tuua tegurina determinandi märgi ette. Omadus 5. Kui determinandi D mingi rea, näiteks k-nda rea arvud avalduvad kahe liidetava summana siis determinant D avaldub kahe determinandi summana. Omadus 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea arvudele liita mingi arvu kordsed teise rea arvud. Omadus 7. (Determinandi arendis rea või veeru järgi) Determinandi D mis tahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-nda rea järgi) ja mis tahes veerunumbri j korral kehtib (arendis j-nda veeru järgi), kus ja Mij on determinant, mis tekib determinandist D i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel. Omadus 8. Kui
Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga kurrutub kogu determinant selle teguriga. Kui determinandis on kahe rea (veeru) elemendid omavahel võrdelised, siis võrdub determinant nulliga. Determinant, milles ühel pool peadiagonaali asuvad ainult nullid, on võrdne peadiagonaali elementide korrutisega 14. Determinandi elemendi minoor ja alamdeterminant,determinandi arendis k-nda rea (veergu) järgi. Determindi aij elemendi minoor on-kui kõrvldame determinandist i-nda rea ja j-nda veergu ja tähistame Mij.alam determinant on- kui determindi aij ongi tema minoor Mij,mis võetakse ,,+" märgiga kui i+j on paaris arv,ja ,,-,, märgiga kui i+j on paaritu arv ja ähistatakse Aij.dterminandi arendis on-rea(veergu)elementide ja alamdeterminantide korrutis.rea(veergu) arendis on võrdne determinandi väärtusega. 15
M 11 = ( -1) Aij . Saadud võrdusest saadakse arvuga ( -1) i+ j i+ j võrduse (3) põhjal korrutades lemma väide. Sõnastame nüüd tõestatud lemma 2 ja valemi (2) järgmise omadusena. Omadus 7. (Determinandi arendis rea või veeru järgi) Determinandi D mis tahes reanumbri i korral kehtib n D = aij Aij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain j =1 (arendis i-nda rea järgi) ja mis tahes veerunumbri j korral kehtib n
Kui determinandi D mingi rea, näiteks k-nda rea arvud a k1, ak2, ..., akn avalduvad kahe liidetava summana ak1 = b1 + c1, ak2 = b2 + c2, ..., akn = bn + cn, siis determinant D avaldub kahe determinandi summana (kõik avaldises esinevad determinandid erinevad ainult k-nda rea poolest). Analoogiline väide kehtib ka determinandi D veergude jaoks 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui selle mis tahes reale (veerule) liita juurde suvalise skalaarikordne mingi teine rida (veerg) 7. Determinandi arendis rea või veeru järgi: A ij = (-1)i+j Mij (elemendile aij vastav alamdeterminant); aij -> Mij - determinant, mis tekib determinandist | A| i-nda rea ja j-nda veeru mahatõmbamisel (elemendile a ij vastav miinor). Determinandi D mis tahes reanumbri i korral kehtib D = (1<=j<=n)aijAij = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin (arendis i-nda rea järgi) ja mis tahes veerunumbri j korral kehtib D = (1<=i<=n)aijAij = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj (arendis j-nda veeru järgi),
märki, kui see summa on paarituarvuline. Lähtudes definitsioonist, saame: A ij = (-1)i + j Mij . Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline). 16. omadus( determinandi arendusteoreem) : Determinant võrdub suvalise rea (veeru) elementide ja nende elementide vastavate alamdeterminantide korrutiste summaga: determinandi D mistahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-rea järgi) n D = aij Aij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain j =1 ja mis tahes veerunumbri j korral (arendis j-veeru järgi) n D = aij Aij = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + + a nj Anj i =1 Näiteks kolmandat järku maatriksi determinandi võib arvutada nii (arendame, näiteks, esimese rea järgi):
- 15 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline). 10. omadus( determinandi arendusteoreem) : Determinant võrdub suvalise rea (veeru) elementide ja nende elementide vastavate alamdeterminantide korrutiste summaga: determinandi D mistahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-rea järgi) n D = aij Aij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain j =1 ja mis tahes veerunumbri j korral (arendis j-veeru järgi) n D = aij Aij = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + + a nj Anj i =1 Näiteks kolmandat järku maatriksi determinandi võib arvutada nii (arendame, näiteks, esimese rea järgi):
Hüperbooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Hüperbooli fookused, harud, ekstsentrilisus. Hüperbooli kaldasümptoodid ja juhtjooned. Hüperbooli alternatiivne definitsioon. Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Parabooli fookus, juhtjoon, ekstsentrilisus. Parabooli optiline omadus. Matemaatikutele tulemused tõetustega 1. Determinandi leidmine, kus viimases reas kõik elemendid peale viimast võrduvad nulliga. 2. Determinandi arendis j-nda veeru järgi. 3. Maatriksi pöördmaatriksi arvutamise valem. 4. Crameri valemi tuletamine 5. Kronecker-Capelli valemi tuletamine 6. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt. 7. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor. 8. Cauchy-Bunjakovski võrratus 9. Kolmnurga võrratus 10. Vektorkorrutise vektori koordinaatide leidmise valem 11. Punkti kauguse sirgeni leidmise valem 12. Tasandi üldvõrrandi saamine parameetrilistest võrranditest 13
13 i i i i Sellest, et > i = 1, . . . , k - 1 j¨areldub, et 1 - < 1 - . Seega n n+1 n n+1 ka 1 1 k-1 1 1 k-1 (1 - ) . . . (1 - ) < (1 - ) . . . (1 - ), k! n n k! n+1 n+1 st yn arendis binoomvalemi j¨argi on vastav liige v¨aiksem kui yn+1 arendis. 1 Lisaks sellele on yn+1 arendis u ¨ks positiivne liige rohkem, st yn < (n + 1)n+1 yn+1 ehk jada (1.4) on kasvav. J¨arelikult on teoreemi 5.9 p~ohjal jadal (1.4) olemas piirv¨a¨artus. Seda piirv¨a¨artust nimetatakse Euleri arvuks ja t¨ahistatakse
Seega leidub intervall [x0 − ε, x0 + ε], milles g ′ = −f < 0. Järelikult on kõnealuses intervallis g rangelt kahanev (selgitage!)z. Kokkuvõttes ei ole f ja g konstantsed funktsioonid. Diferentseeruvus ühtlasi annab, et f ja g on pidevad. Tingimuse (6.28) täidetuses veendumiseks tegutseme järgnevalt. Tõestame, et iga x ∈ R korral g(x)2 + f (x)2 = 1. Funktsiooni x 7→ g(x)2 + f (x)2 tuletised on kõik nullid kogu reaalteljel, seega tema arendis Maclaurini ritta on g(x)2 + f (x)2 = g(0)2 + f (0)2 = 1 (selgitage!)z. Muuhulgas ka iga x ∈ R korral |f (x)| 6 1 ja |g(x)| 6 1. Fikseerime nüüd x ∈ R ja tähistame h(y) = g(x)g(y) + f (x)f (y). Siis h on lõpmata palju kordi diferentseeruv, kusjuures h′ (y) = −g(x)f (y) + f (x)g(y), h′′ (y) = −g(x)g(y) − f (x)f (y) = −h(y),
annaabi.ee 
