tõenäosuste summa ja ühisosa tõenäosuse vahega: P( A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Järeldus1. Kui sündmused A ja B on Teineteist välistavad sündmused, siis P(A B) = P(A) + P(B). Järeldus2. Sündmuse A vastandsündmuse Ä tõenäosus avaldub järgnevalt: P(Ä) = 1 – P(A). Järeldus3. Kui sündmus A sisaldub sündmuses B, siis kehtib võrratus P(A) ≤ P(B). 1.5 Ühendid Ühenditeks nimetatakse lõpliku hulga An elementidest moodustatud alamhulki, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse või arvu poolest. 1. Permutatsioonideks nimetatakse ühendeid, mis sisaldavad kõiki antud elemente ja erinevad üksteisest ainult elementide järjekorra poolest: Pn = n! Näide: Viiele kaardile on kirjutatud tähed A, E, I, M, R. Milline on tõenäosus, et neid tähti juhuslikult ritta ladudes saadakse nimed MAIRE või EIMAR? Olgu sündmus A soovitud sõna
· C-sümbolid a,b,c,d jne. C-sümbol tähistab vaadeldava hulga mingit kindlat elementi. · Funktsionaalsümbolid f,g,h jne. Need tähistavad vaadeldaval hulgal määratud f-oone. Pannes mitmesugused väiteid kirja pvalemiga, võivad väidete tüübist sõltumatud sümbolid, nagu ltehtemärgid, kvantorid, sulud ja indiviidmuutujad, esineda ükskõik millistes valemites, olgu siis tegemist valemitega, mis puudutavad naturaal-,reaalarve, vektoreid, alamhulki või muid objekte. Seevastu C-,funktsionaal- ja predikaatsümbolid võivad teooriati erineda. Tihtipeale fikseeritakse need kolm sübmolite klassi eelnevalt ning lubatakse valemites kasutada ainult sümboleid, mis kuuluvad kindlasmääratud klassidesse. Kolmikut =< ; ; >, kus C on Csümbolite, F funktsionaalsümbolite ja P predikaatsümbolite hulk, nim signatuuriks. Signatuuri interpretatsioonid (algebralised süsteemid, mudelid).
N˜oudeid 20 ja 30 definitsioonis 1.1 v˜oib s¨ umboolselt esitada j¨argnevalt: 20 Gi ∈ T , i ∈ I =⇒ ∪i∈I Gi ∈ T ; 30 G1 , . . . , Gn ∈ T =⇒ ∩ni=1 Gi ∈ T ¨ (I on indeksite hulk). Uhel ja samal hulgal v˜oib vaadelda erinevaid topoloogiaid. Topoloogilise ruumi X elemente nime- tatakse sageli ka selle ruumi punktideks. Definitsioon 1.2 Topoloogilise ruumi X alamhulki, mis kuuluvad topoloogiasse T , nimetatakse lahtisteks hulka- deks. Definitsiooni 1.1 n˜oudest 10 j¨areldub, et t¨ uhi hulk ja ruum X ise on iga hulgal X antud topoloogia suhtes lahtised hulgad. 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon 7 N¨aide 1.1 Igal hulgal X saab vaadelda topoloogiat T1 = {∅, X}, mis koosneb vaid t¨uhjast hulgast ∅ ja hulgast X,
ühtimine: r r X 1 Y1 Z1 s1 Ps2 = = . X 2 Y2 Z 2 9. KOMBINATOORIKA JA TÕENÄOSUSTEOORIA 9.1 Kombinatoorika 47 Ühenditeks nimetatakse lõpliku hulga U n = { u1 ; u 2 ; K ; u n } elementidest moodustatud alamhulki, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse, arvu või kordsuse poolest. Variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on ühendid, mis erinevad üksteisest elementide eneste või nende järjestuse poolest (s.t. uus järjestus endiste elementidega loetakse uueks ühendiks ). Üksteisest erinevate variatsioonide arvu n m m elemendist m elemendi kaupa tähistatakse Vn (või An ) ja arvutatakse järgmiselt:
Graaf on paar G = (V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. Hulga V elemente nimetatakse graafi tippudeks, hulga E elemente aga servadeks. Ülaltoodud graafi puhul näiteks on V = {A,B,C,D,E} Ja E = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {C,E}}. 30 Multigraaf o DEF: Et toodud definitsioonis loetakse servadeks ainult tippude hulga kaheelemendilisi alamhulki, siis ei tohi graafis esineda silmuseid, st servi mis ühendavad mingit tippu iseendaga, ega kordseid servi, olukordi, kus mingit kahte tippu ühendab rohkem kui üks serv. Siiski tuleb vahel ka neid arvestada, sellisel juhul räägitakse graafi asemel multigraafist. Täisgraaf o DEF: Täisgraafiks nimetatakse graafi, milles iga tipupaari vahel on serv. Nullgraaf o DEF: Nullgraafiks nimetatakse graafi, milles pole ühtegi serva. Täiendgraaf
n. ¨ Uleminekul uutele permutatsioonidelele kasutasime samapalju arvupaaride vahetusi. Teoreemi 2.2 kohaselt permutatsioonid 1 2 . . . n , 1 2 . . . n (2.4) 23 on sama paarsusega. Teoreem 2.3. Kui n 2, siis permutatsioonide hulgas Pn on paaris ja paarituid permutatsioone samapalju, s.o. 12 n!. T~ oestus. T¨ahistame permutatsioonide hulga Pn paaris- ja paaritute permutatsioonide alamhulki vastavalt Pn+ ja Pn- . Definitsiooni 2.2 kohaselt Pn+ Pn- = , Pn+ Pn- = Pn . Defineerime kujutused f : Pn+ - Pn- , g : Pn- - Pn+ valemitega 1 2 3 . . . n Pn+ - f (1 2 3 . . . n ) := 2 1 3 . . . n Pn- ja 1 2 3 . . . n Pn- - g(1 2 3 . . . n ) := 2 1 3 . . . n Pn+ . Tekivad nende kujutiste korrutised gf : Pn+ - Pn+ , f g : Pn- - Pn- , mille kohaselt gf (1 2 3 . .
vahetusi. Teoreemi 2.2 kohaselt permutatsioonid α1 α2 . . . αn , β1 β2 . . . βn (2.4) 23 on sama paarsusega. Teoreem 2.3. Kui n ≥ 2, siis permutatsioonide hulgas Pn on paaris ja paarituid permutatsioone samapalju, s.o. 12 n!. T˜ oestus. T¨ahistame permutatsioonide hulga Pn paaris- ja paaritute permutatsioonide alamhulki vastavalt Pn+ ja Pn− . Definitsiooni 2.2 kohaselt Pn+ ∩ Pn− = ∅, Pn+ ∪ Pn− = Pn . Defineerime kujutused f : Pn+ −→ Pn− , g : Pn− −→ Pn+ valemitega α1 α2 α3 . . . αn ∈ Pn+ −→ f (α1 α2 α3 . . . αn ) := α2 α1 α3 . . . αn ∈ Pn− ja α1 α2 α3 . . . αn ∈ Pn− −→ g(α1 α2 α3 . . . αn ) := α2 α1 α3 . . . αn ∈ Pn+ . Tekivad nende kujutiste korrutised
ühtimine: r r X 1 Y1 Z1 s1 Ps2 . X 2 Y2 Z 2 9. KOMBINATOORIKA JA TÕENÄOSUSTEOORIA 9.1 Kombinatoorika 47 Ühenditeks nimetatakse lõpliku hulga U n u1 ; u 2 ; ; u n elementidest moodustatud alamhulki, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse, arvu või kordsuse poolest. Variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on ühendid, mis erinevad üksteisest elementide eneste või nende järjestuse poolest (s.t. uus järjestus endiste elementidega loetakse uueks ühendiks ). Üksteisest erinevate variatsioonide arvu n m m
5.1. Access- lihtne ja vajalik 22 6. PÄRINGUD 6.1. Päringu mõiste Vajalike andmete kättesaamiseks tuleb koostada päring (Query). Päring on põhivahend info väljastamiseks ühest või mitmest seotud tabelist, samuti ka uute tabelite loomiseks ja olemasolevate muutmiseks. Päringud võimaldavad vaadata ka andmete alamhulki. Saab ka öelda, millisele tingimustele need andmed peavad vastama. Päringu abil: · valitakse vajalikud väljad ja nende järjestus väljundtabelis · valitakse antud tingimustele vastavad kirjed · sorteeritakse kirjed · ühendatakse mitme tabeli väljad ühte väljundtabelisse · arvutatakse summad, keskmised jm · koostatakse aruanded ja koondtabelid, mis sisaldavad ainult valitud kirjeid · koostatakse diagrammid
üleminekutega kontiinumi (nt matemaatika → füüsika → keemia → bioloogia → meditsiin → psühhiaatria → psühholoogia); arenevate ja rakenduslikumate alade (kasvõi terminoloogia enda) puhul lisandub arvamuste paljusus eriala olemuse ja piiride kohta. Kui mõisted ja erialad õnnestubki piiritleda, lisandub praktiliste valdkondade interdistsiplinaarsus. Näiteks arst kasutab paljude teadus- harude (anatoomia, embrüoloogia, radioloogia jne) oskussõnavara alamhulki, kuid ta ei tunne ega saagi tunda kõigi nende teadusharude mõistesüsteeme ega järelikult ka mitte terminisüsteeme kogu nende ulatuses. Ka autoremondiluksepp puutub töös kokku üksikute mehaa- nika, tugevusõpetuse vms mõistetega, kuid need ei moodusta tema tegevusala seisukohalt midagi tervikliku mõistesüsteemi lähedastki. Selge pole ka piir üld- ja oskuskeele vahel, vaid reaalne diskursus asub sujuva oskuskeelsuse skaala mingis piirkonnas. Isegi spetsialistide
16 1 Reaalarvud Nii moodustatud hulk, mille me tähistame esialgu tähega N , koosneb seega kõikvõimalikest lõplikest summadest 1 + 1 + . . . + 1. Hulga N omaduste uurimiseks võtame kasutusele induktiivse hulga mõiste. Definitsioon. Korpuse F alamhulka M nimetatakse induktiivseks, kui ta rahuldab tin- gimusi (i) 1 ∈ M ja (ii) kui a ∈ M, siis a + 1 ∈ M. Induktiivseid alamhulki korpuses F kindlasti leidub: hulk F ise on induktiivne, samuti hulga F kõigi positiivsete elementide hulk (selgitada!)z. Definitsioon. Kõigi induktiivsete alamhulkade M ⊆ F ühisosa tähistame tähega N, s.t. N := M. M ⊆F, M on induktiivne
risn¨adalatel) ja reedeti 18.00. 4 1 Funktsioon, piirv¨ a¨ artus, pidevus 1.1 Funktsioon 1.1.1 T¨ ahistused Arvuhulki t¨ahistatakse u ¨ldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - t¨aisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks nimetatakse reaalarvude hulga alamhulki: vahemik, l~oik, pooll~oik ja nende u ¨hendid. Piirkondi hakkame t¨ahistama suurte t¨ahtedega X, Y, Z, ... . Konstant on suurus, mis antud kontekstis omab ainult u ¨hte kindlat v¨aa¨rtust. Konstante t¨ahistatakse matemaatilises anal¨ uu ¨sis t¨ahestiku algust¨ahtedega a, b, c, ... . Muutuvaks suuruseks nimetatakse suurust, mis v~oib omandada mistahes v¨a¨artust mingisugusest piirkonnast
annaabi.ee 
