1 0 ... 0 0 1 ... 0 En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - - a13a22a31 - a11a23a32 - a12 a21a33 A R 3×3 det A = a11a22 - a12a21 A R 2×2 Ruutmaatriksi determinant Determinant on ruutmaatriksit iseloomustav arv Pöördmaatriks AA-1 = A-1 A = E det A 0 Ruutmaatriks on regulaarne, kui Regulaarse ruutmaatriksi pöördmaatriks on sama järku ruutmaatriks. Maatriksi ja tema pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit võib leida, kui: -transponeerida maatriks
Teist ja kolmandat järku determinant. Maatriksi A determinandiks nimetatakse summat (i1, i2, ..., in) Sn (-1)(i1, i2, ..., in) a1i1a2i2...anin, kus iga n-ndat järku substitutsiooni (i i, i2, ..., in) jaoks on üks liidetav (-1)(i1, i2, ..., in)a1i1a2i2...anin detA = |A| = = (i1, i2, ..., in) Sn (-1)(i1, i2, ..., in)a1i1a2i2...anin Teist järku determinant: detA = (i1, i2) Sn (-1)(i1, i2)a1i1a2i2 = (-1)(1, 2)a11a22 + (- 1)(2, 1)a12a21 = a11a22 - a12a21 Kolmandat järku determinant: detA = (i1, i2, i3) Sn (-1)(i1, i2, i3)a1i1a2i2a3i3 = (-1)(1, 2, 3) a11a22a33 + (-1)(1, 3, 2)a11a23a32 + (-1)(2, 1, 3)a12a21a33 + (-1)(2, 3, 1)a12a23a31 + (-1)(3, 1, 2) a13a21a32 + (-1)(3, 2, 1)a13a22a31 = a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 + a13a22a31 Sarruss'i reegel - skeem kolmandat järku determinandi leidmiseks 14. Crameri valemid ja nende tõestus juhul n = 2. x1 = D1/D; x2 = D2/D; ..
a11x12+2a12x1x2+a22x22+2a1x1+2a2x2+a0. 1) Olgu L() joone iseärane siht, sell juhul on L() ka iseenda kaassiht, sest iga siht pidi olema sihi L() kaassiht. Seega on L() asümptootiline siht. Teame, et asümptootilise sihi korral on =(s1,s2) nullvektoist erinev vehtor, mille koordinaadid on lineaarvõrrandisüsteemmi a22s1+a12s2=0 ja a12s1+a22s2=0 lahendiks. Sellel süsteemil on mitteetriviaalne lahend ((s1,s2)(0,0)) siis peab maatriksi teterminant olema võrne nulliga, seega =a11a22-a122=0 ja on paraboolne joon. 2) Olgu paraboolne joon ja L() joone asümptootiline siht. Näitame, et siht on iseärane. Seega on =(s1,s2) koordinaadid lineaarsüsteemi a22s1+a12s2=0 ja a12s1+a22s2=0 lahendiks. Olgu meil L(), kus =(t1,t2) joone suvaline siht. Korrutame lin.võr.süs. esimese võrrandi t1-ga ja teise t2-ga ning liidame kokku, saame (a22s1+a12s2) t1+( a12s1+a22s2) t2=0 a22s1 t1+a12s2 t1+ a12s1 t2+a22s2 t2=0 mis on aga kaassihi avaldis, st. L() on L() kaassiht
DEFINITSIOON 3. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali all (või kohal) olevad elemendid on kõik nullid, st akl = 0, kui k > l (või k < l ), siis nimetatakse maatriksit KOLMNURKSEKS. DEFINITSIOON 4. Öeldakse, et maatriks Am×n on TRAPETSKUJULINE, kui elemendid tema nullist erinevate elementide a11, . . . , akk all, mis on koondatud maatriksi ülemisse vasakusse nurka, on nullid ja mõned viimased read võivad koosneda nullidest. St kui Am×n jaoks a11a22 . . . akk 0, k min(m, n), siis tema trapetskuju on järgmine: a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n 0 a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n ....................... 0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn 0 0 ... 0 0 ... 0 ....................... 0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n
Kui A = . Determinant. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n . . . . a n1 an2 ... a nn DA = . Arvutuseeskiri on olemas II ja III järku determinantide arvutamiseks: a11 a12 a 21 a 22 1. DA = = a11a22 a12a21; a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33 2. DA = = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a31a22a13 a21a12a33 a23a32a11. 1 2 Näide 1. Arvutada determinant: D = 4 7 = 7 8 = -1. 1 2 3
DEFINITSIOON 3. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali all (või kohal) olevad elemendid on kõik nullid, st akl = 0, kui k > l (või k < l ), siis nimetatakse maatriksit KOLMNURKSEKS. DEFINITSIOON 4. Öeldakse, et maatriks Am×n on TRAPETSKUJULINE, kui elemendid tema nullist erinevate elementide a11, . . . , akk all, mis on koondatud maatriksi ülemisse vasakusse nurka, on nullid ja mõned viimased read võivad koosneda nullidest. St kui Am×n jaoks a11a22 . . . akk 0, k min(m, n), siis tema trapetskuju on järgmine: a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n 0 a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n ....................... 0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn 0 0 ... 0 0 ... 0 ....................... 0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n
Determinant. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n DA = . . . . . a n1 an2 ... a nn Arvutuseeskiri on olemas II ja III järku determinantide arvutamiseks: a11 a12 1. DA = a 21 a 22 = a11a22 a12a21; a11 a12 a13 2. DA = a 21 a 22 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a 31 a 32 a 33 a31a22a13 a21a12a33 a23a32a11. 1 2 Näide 1. Arvutada determinant: D = 4 7 = 7 8 = -1.
x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 = a11a22 - a12 a21 . a21 a22 Kolmandat järku determinandi arvutamise eeskiri: a11 a12 a13 a21 a22 a23 == a11a22 a33 - a11a23 a32 - a12 a21a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 - a13a22 a31 . a31 a32 a33 Skeemi kolmandat järku determinandi arvutamiseks nimetatakse Sarrus`i reegliks: 2.8 Lineaarvõrrandisüsteem 10
15 x 2 − 8 x + 1 = 15 x − x − = 3 x − ⋅ 5 x − = (3x − 1)(5 x − 1). 3 5 3 5 Vastus. 15 x 2 − 8 x + 1 = (3 x − 1)(5 x − 1). 26 3.11 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 = a11a22 − a12 a21 . a21 a22 Kolmandat järku determinandi arvutamise eeskiri: a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a11a23 a32 − a12 a21a33 . a31 a32 a33 Skeemi kolmandat järku determinandi arvutamiseks nimetatakse Sarrus`i reegliks: Näiteks 3 −2 = 3 ⋅ 7 − ( −2 ) ⋅ 4 = 21 + 8 = 29 , 4 7 1 5 3
milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendid). ax 2 bx c a x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 a11a22 a12 a21 . a21 a22 Kolmandat järku determinandi arvutamise eeskiri: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22 a33 a11a23 a32 a12 a21a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a13a22 a31 . a31 a32 a33 Skeemi kolmandat järku determinandi arvutamiseks nimetatakse Sarrus`i reegliks: 2.8 Lineaarvõrrandisüsteem 10
Koostame järgmised tabelid n = 2; 3 korral. Märk (i1,i2) (i1,i2) a1i1 a 2 i2 (i1 ,i 2 ) ( -1) (1,2) 0 + a11a22 (2,1) 1 - a12a21 Summerides tabeli viimases veerus olevad liikmed koos vastavate märkidega, saame ehk Samasugune tabel n = 3 korral näeb välja selliselt: Märk (i1,i2,i3) (i1,i2,i3) a1i1 a 2 i2 a3 i3 (i1 ,i 2 ,i3 )
annaabi.ee 
