Punkti koordinaadid tasandil
© T. Lepikult, 2010
Ristkoordinaatteljestik
Punkti asukoha määramiseks tasandil kasutatakse kõige sagedamini
kaht ristuvat arvtelge, mille nullpunktid ühtivad. Neid telgi
nimetatakse sealjuures koordinaattelgedeks ning nad jagavad tasandi
neljaks veerandiks. Koordinaattelgedega varustatud tasandit
nimetatakse koordinaattasandiks.
y
II I
1
0 1 x
abstsisstelg IV
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil, mida õpetatakse nii kitsas kui laias kursuses 10. klassi viimase teemana ja analüütiline geomeetria ruumis, mida õpetatakse vaid laias matemaatikas 12. klassis. Esimene kursus kannab pealkirja ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui
16. Astendamine 1. võrdsete tegurite korrutise leidmine, kus an on aste, a astme alus ehk astendatav ja n astendaja ehk astmenäitaja. 2. negatiivse astendaja korral a-n =1/an. 17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24
sisaldavad liidetavad kantakse võrrandi paremale poole; võrrandite paremal pooltel olevatele vabadele tundmatutele omistatakse vastavalt väärtused C1,C2, ...,Cr; alustades taas alumisest reast ja liikudes rida realt ülespoole, avaldatakse iga sõltuv muutuja suuruste C1,C2, ...,Cr kaudu; kirjutatakse välja süsteemi üldlahend. c) teostatakse leitud lahendite kontroll. 10. Koordinaatsüsteem sirgel. Ristkoordinaadistik tasandil. Punkti ristkoordinaadid tasandil. koordinaatsüsteem sirgel: sirget, millel on fikseeritud üks punkt, märgistatud suund ja valitud pikkusühik, nimetatakse koordinaatteljeks. Koordinaatsüsteemi sirgel määravad: Suunaga arvsirge Alguspunkt (liikumise algus; O) Pikkusühik Ristkoordinaadistiku tasandil moodustavad kaks ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist
18 Lahendused I 1. lahendus y C(0; c) B(b; c) c A(a; 0) O(0; 0) b a x 1) Vaatleme trapetsit koordinaatteljestikus. Valime koordinaatide alguspunktiks trapetsi pikema aluse ja lühema haara lõikepunkti. Suuname x-telje piki pikemat alust ja y-telje piki lühemat haara. Tähistame trapetsi tipud ja leiame tippude koordinaadid: A(a;0), B (b; c), C (0; c), O (0;0) . Leiame nende sirgete võrrandid, millel asetsevad diagonaalid AC ja OB. c c AC: y x c, OB: y x . Leiame diagonaalide AC ja OB lõikepunkti a b # c ++ y b x #
· Kommutatiivsus e vahetuvus: a+b=b+a, ab=ba · Assotsiatiivsus e ühenduvus: a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c · Korrutamise distributiivsus e jaotuvus liitmise suhtes: a(b+c)=ab+ac Sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet: P(A)= m/n 1.5 Reaalarvu absoluutväärtus |a|={a, kui a0 või {-a, kui a<0 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist 1.6 Arvusüsteemidest · Arvusüsteemi, milles iga tema numbri väärtus sõltub numbri asukohast (positsioonist) arvus, nimetatakse positsiooniliseks arvusüsteemiks. · Meie tuttavas arvusüsteemis on kümme erinevat sümbolit kümnendsüsteem. Võimalikud on ka kahendsüsteemid, kolmendsüsteemid jne 1.7 Erinevate arvusüsteemide arvude teisendamine kümnendsüsteemi
...................29 Kolmnurga pindala valemid................................................................................................... 29 Siinusteoreem......................................................................................................................... 29 Koosinusteoreem.................................................................................................................... 30 IV Vektor tasandil...................................................................................................................... 30 Sissejuhatuseks....................................................................................................................... 30 Lõigu pikkus...........................................................................................................................31 Lõigu keskpunkti koordinaadid...............................................................
Eesti Põllumajandusülikool Maaehituse instituut INSENERIGRAAFIKA Ainekursus MIT-7.307 Kujutava geomeetria põhivara Koostanud Harri Lille Keeletoimetaja Karin Rummo Tartu 2003 Sissejuhatus Kujutav geomeetria on see geomeetria eriharu, milles pitakse tasandil (joonisel) ruumiliste ülesannete lahendamise meetodeid ning positsiooni-, mte- ja konstruktiivsete ülesannete lahendamise vtteid. Positsiooniülesanneteks nimetatakse geomeetriliste kujundite vastastikuse kuuluvuse ja likumise määramist. Mteülesanded on geomeetriliste kujundite kauguste ja nende telise suuruse leidmine. Konstruktiivsete ülesannete sisuks on etteantud tingimustele vastavate geomeetriliste kujundite (nende kujutised joonisel) loomine. Kasutatud on järgmisi tähiseid:
Kollineaarsed vektorid võivad olla suunatud samapidi a b või vastupidi a b . Definitsioon. Vastandvektoriteks nimetatakse kahte vastassuunalist ühepikkust vektorit: a , a . Definitsioon. Võrdseteks nimetatakse kahte vektorit, kui nad on kollineaarsed, samasuunalised ja ühepikkused (ei pea olema rakendatud samast punktist). Definitsioon. Komplanaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel. Definitsioon. Kohavektoriteks nimetatakse vektoreid, mille algus ja lõpp on ette antud (on seotud kindla kohaga). Definitsioon. Libisevateks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mille alguspunkti võib suvaliselt nihutada teda kandval sirgel. Näiteks jäigale kehale rakendatud jõud. Definitsioon. Vabadeks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis võivad olla rakendatud suvalisest ruumi
Kõik kommentaarid