üht maatriksit saab avaldada ülejäänute kaudu Baasimaatriksid k * = k max = mn Ak * +1 = a1 A1 + a2 A2 + ... + ak * Ak * (nxm) maatriksite hulgas leidub maksimaalselt mn lineaarselt sõltumatut mitte nullmaatriksit, nad moodustavad baasi, st kõik ülejäänud maatriksid on avaldatavad nende lineaarse kombinatsioonina Maatriksi astak Maatriksi astak r võrdub maatriksi lineaarselt sõltumatute reavektorite (veeruvektorite) maksimaalse arvuga. Ülejäänud reavektorid (veeruvektorid) avalduvad nende r vektori kaudu 1 0 ... 0 0 1 ... 0 En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 -
E= . 8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või . 8) Maatriksite korrutamine ja selle omadused. mn np Maatriksite A R ja B R korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt 1 reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= 2 ja 12n )korrutise leidmiseks kasutatakse m skalaarkorrutist. mn T Transponeerimine m=i A=aij R (A read on A veergudes) transp-d maatriks on A T =bij Rmn . bij= aij iga i ja j korral
vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3
vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3
(aritm. vektorid)=) , Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) , Maatriksi lineaar tehete orrel kehtivad vektorruumide lin.tehete omadused,kui ja A=aij B=bij abc A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), A+==A, vastand maatriks B , nii et A+B=B+A=, (a+b)A=aA+bA, a(A+B)=aA+aB, (ab)B=A*(bB), 1A=A 7. Maatriksite korrutamine ja transponeerimine. Maatriksite ja korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= ja )korrutise leidmiseks kasutatakse skalaarkorrutist. Transponeerimine m=i A=aij (A read on veergudes) transp-d maatriks on =bij . bij= aij iga i ja j korral Reeglid , , 8. Elementaarteisendused maatriksi ridadega ja veergudega.ühik maatriksi leidmine maatriksi elementaarteisenduste abil. Kasutatakse üleminekul maatriksi A B le,teisendades ridu ja veergu kindlate reeglite abil. Maatriksi ridade elementaarteisendamieks nim
0 1 4 -4 2 -1 0 2 1 0 2 3 -1 2 = 2·3+1·0 -2·1+1·1 2·2+1·4 0·3+2·0 0·1+2·1 0·2+2·4 0 1 4 -1·3+0·0 1·1+0·1 -1·2+0·4 -1 0 6 -1 8 = 0 2 8 -3 1 -2 N¨ aide: rea- ja veeruvektorite korrutised 4 1, 2, 3 5 = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32 6 4 4·1 4·2 4·3 4 8 12 5 1, 2, 3 = 5 · 1 5 · 2 5 · 3 5 10 15 6 6·1 6·2 6·3 6 12 18 N¨ aide: ruutmaatriksite korrutised 1 2 5 6 1·5+2·7 1·6+2·8 19 22 = =
9 1 0 4 25 9 5 E ' (10 2 9 6 8 1) Maatriksite korrutamine Maatriksite A ja B korrutamisel tuleb leida maatriksi A reavektorite skalaarkorrutised maatriksi B veeruvektoritega. Seepärast tutvume algul rea- ja veeruvektorite skalaarkorrutisega. Kui on antud reavektor A ja veeruvektor B b11 A ' (a11 a12 a13 ) B ' b21 b31 siis nende vektorite skalaarkorrutis on A B ' a11 b11 % a12 b21 % a13 b31 Skalaarkorrutise leidmisel korrutatakse reavektori elemendid vastavate elementidega veeruvektorist
Näide 5: korrutise A2 x 3 B3 x 5 tulemuseks on maatriks, millel on 2 rida ja 5 veergu. Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA.
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA.
annaabi.ee 
