Matemaatika Kombinatoorika Liitmislauset iseloomustab lause: ,,kas objekt A või objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n + m. Korrutamislauset iseloomustab lause: ,,nii objekt A kui ka objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n*m. Permutatsioonid on ühe hulga elemendi kõikvõimalikud järjestused. Permutatsioon nullist on üks. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade erinevaid järjestusi. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n- elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Pn = n! n! =1 2 3 ... ( n -2) ( n -1) n n! V nk = n (n -1) ( n - 2) ... (n - k +1) = = C nk + Pk (n - k )! n! C nk =
k elemendilisi osahulki. Kombinatsioonide arv leitakse valemiga C n = n!/[k!*(n-k)!] 8. Leia, kui palju võimalusi on 50 osavõtjaga klubi IPSON (inimese parim sõber on neljajalgne) üldkoosolekul koosoleku juhataja ning protokollija valimiseks. Eeldame, et on ükskõik, kas ollakse juhataja või protokollija, peaasi, et on valitud! 2 C 50 = 50!/(2!*48!)=1225 9. Variatsioonideks n elemendist k kaupa nimetatakse n-elemendilise hulga k- elemendilisi järjestatud osahulki. Variatsioonide arv leitakse valemiga k k A n = n!/[(n-k)!]. Variatsioone tähistatakse ka V n . 10. Leia, kui palju võimalusi on 50 osavõtjaga klubi IPSON üldkoosolekul koosoleku juhataja ning protokollija valimiseks, eeldades, et on oluline, kas oled juhataja või protokollija. 2 A 50 =50!/48!=2450
n! = 1·2·3· ... ·n (n! faktoriaal) Tühihulk on järjestatud ühel võimalikul viisil, see tähendab P0 1 Näide: Mitmel erineval viisil on võimalus moodustada 5-st õpilasest järjekorda? P5 5! 1 2 3 4 5 120 Variatsioonide tüüpülesande võib esitada kujul: On antud n erinevat elementi. Mitmel erineval viisil saab nende hulgast välja valida k elementi, nii et oleks erinev kas vähemalt üks element või elementide järjekord. Variatsioonideks n elemendist k elemendi kaupa nimetatakse n-elemendilise hulga k elemendilisi järjestatud osahulki. Tähis variatsioonide arvu n elemendist k kaupa n! A V k k n n ( n k )! Kui k = 1, siis A n 1 n Kui k = n, siis A n n! Pn n Kui k = 0, siis 1 0
66) Kirjuta hääbuva geomeetriline jada lõpmatu summa valem ja lisa tingimus, a1 millal kasutatakse : S= ,|q|<1 1−q 67) Permutatsioonid . Faktoriaali arvutamine. Permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn=n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗3∗2∗1=n ! NT. 4 !=4∗3∗2∗1, 1!=1 68) Variatsioonid ja arvutamine. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k ≤ n ¿ nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi j-elemendiliste osahulkade elementide n! v kn =n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗( n−k +1 )= erinevaid järjestusi. ( n−k ) ! 69) kombinatsioonid ja arvutamine. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa
n + m. Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x rohkem kui kombinatsioone. 4. Kombinatsioonid. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Vnk =Cnk Pk . Cnk =n! / k! (n-k)! 5. Newtoni binoomvale Nt: (a+b)2 = a2 +2ab +b2
jne. Seega on ennekõike vaja ülesande teksti põhjal määrata ühendite arvu määramise eeskirjad. Ühendeiks nimetatakse mingeist esemeist ehk elementidest moodustatud rühmi, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse või arvu poolest. Niisugust üldist definitsiooni saab väga mitmel viisil täpsustada. Järgnevalt vaatleme kuut kõige olulisemat võimalust selleks ja esitame vastavate ühendite arvude leidmiseks vajalikud valemid. Variatsioonideks n elemendist m kaupa nimetatakse selliseid ühendeid, milledest igaüks sisaldab m elementi, mis on võetud antud n erineva elemendi hulgast ja mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest (loomulikult ei saa m olla suurem kui n). Kõigi erinevate variatsioonide arvu n elemendist m kaupa tähistatakse sümboliga m Vn (vahel ka m An ). Arvu m Vn leidmiseks arutleme näiteks järgmiselt. Variatsiooni esimese elemendi valimiseks on n võimalust (nii
Hsp-d on potentsiaalsed kasvajaravi sihtmärgid. 9. Millistes täiskasvanud inimese küpsetes keharakkudes ei ole täielikku geenide komplekti? Selgitage kuidas see on võimalik. (Б78) 45 ! Spermatosoidides? Sest neil on haploidne genoom. Y-kromosoomiga spermatosoidides puuduvad X- kromosoomi geenid ja vastupidi. Piirsoo: lümfoidsetes rakkudes toimuvad DNA ümberkorraldused ja rakud kaotavad osa DNAst deletsioonide tulemusena. See loob võimalused geneetilisteks variatsioonideks antikehade (toodavad B-lümfotsüüdid) ja T-rakkude retseptorite loomisel. 10. Millised on fluorestsents-mikroskoobi iseärasused ja kasutamisvõimalused? (М84) 49 ! Flouresents ained on võimelised neeldama kindla lainepikkusega valguslaineid (UV), siis ergastama ja kiirgama pikema lainepikkusega laineid. kasutatakse UV-kiirgust. Kasutades fluorokroomidega märgistatud antikehasid - immundiagnostika. ! 11. Millisteks uuringuteks ei sobi kasvajalised rakukultuurid? Miks? (М97) 60 !
8. Kombinatsioonid, variatsioonid, nende kasutamine arvutustes. Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on kõikvõimalike k elemendiliste valikute arv m elemendi hulgast. (NB! valimine toimub selliselt, et elementide valimise järjekord pole tähtis.) Erinevaid valikuid etteantud elementidest nimetatakse kombinatsioonideks. Erinevaid valikuid etteantud objektidest nimetatakse variatsioonideks. (NB! valimine toimub selliselt, et objektide valimise järjekord ON tähtis.) 9. Täistõenäosus. Olgu sündmused H1, H2, ..., Hk üksteist välistavad, nad omavad positiivset tõenäosust P(H1), P(H2), ..., P(Hk) ja need sündmused moodustavad täissüsteemi Oletame, et sündmus A võib toimuda koos ühega sündmustest H1, H2, ..., Hk, siis on meil teada ka sündmuse A tinglikud tõenäosused P(A|H1), P(A|H2), ..., P(A|Hk). Sündmuse A tõenäosus avaldub= Valemit
ja mis erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! Cm n = m!( n m)! Näide: 25-liikmelisest rühmast on vaja saata 4esindajat kooli üliõpilaste koosolekule. Kui palju on selleks erinevaid võimalusi? Kuna ei ole oluline antud juhul, kes õpilastest osaleb, siis võimaluste 25! arv n = C m n = 4!*21! = 12560. 2. Variatsioonideks n elemendist m elemendi kaupa nimetatakse ühendeid, millest igaüks sisaldab m elementi antud n elemendi hulgast, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjekorra poolest: n! Am n = ( n m)! . Näide: Üliõpilased õpivad 7 erinevat ainet. 1. koolipäeval on vaja tunniplaani paigutada 3 erinevat loengut. Mitu erinevat võimalust selleks on? 7! A 37 = 4! = 210. 1
Kombinatoorika valemeid ja mõisteid · Variatsioonideks n erinevast elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi antud n elemendist ning erinevad kas elementide või nende järjestuse poolest. Erinevaid variatsioone on A =n(n-1) ...(n-k+1)=n!/(n-k)! · Permutatsioonideks n elemendilisest hulgast nimetame ühendeid, mis sisaldavad kõiki n elementi (üks kord) ja erinevad järjestuse poolest. Erinevaid permutatsioone on Pn=n (n-1) ...1 = n! · Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi (antud n elemendi hulgast) ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! · Erinevaid kombinatsioone on C =A /Pk C nk = ( n - k )!k! Tõenäosusteooria · Sündmuste hulka, kus alati üks sündmus toimub ja see välistab teiste toimumise ni...
vastastikkuse koosmõjus. Evolutsioonilist teooriat kasutatakse, et kirjeldada globaalseid muutusi organisatsioonilistes populatsioonides, strateegilise mõtlemise protsesse, samuti muutuse iseloomustamisel selle ulatuse ja kestuse kaudu. Evolutsiooniteooria järgi tegutsevad organisatsioonid piiratud ressursside keskkonnas, kus kõikide eesmärk on elllu jääda. Evolutsiooniteoorias loovad makropopulatsiooni karakteristikud tingimused mikrotasandil aset leidvateks variatsioonideks, selektsiooniks ja väljasuremiseks. 23. Kirjeldage Greineri organisatsiooni arengu mudelit Sõltuvalt sellest, kuidas organisatsioon ajas areneb, on olemas etteaimatavad probleemid. Arengu jooksul toimuvad erinevad rahulikud arenguperioodid ja suured paugud. Igas probleemis on lahendus, aga see modd või viis, viib tõenäoliselt uue väljakasvava probleemini, mis on tulevikuprobleem. Kasvumudel koosneb 5 erinevast faasist: · Kasv loovusega tekitab eestvedamise kriisi
Evolutsioonilist teooriat kasutatakse, et kirjeldada globaalseid muutusi organisatsioonilistes populatsioonides, strateegilise mõtlemise protsesse, samuti muutuse iseloomustamisel selle ulatuse ja kestuse kaudu. Evolutsiooniteooria järgi tegutsevad organisatsioonid piiratud ressursside keskkonnas, kus kõikide eesmärk on elllu jääda. Evolutsiooniteoorias loovad makropopulatsiooni karakteristikud tingimused mikrotasandil aset leidvateks variatsioonideks, selektsiooniks ja väljasuremiseks. 4. Kirjeldage Greineri organisatsiooni arengu mudelit. Kasvumudel koosneb viiest kasvufaasist, mis lõppevad erinevate põhjustega kriisidega: Kasv loovusega -> eestvedamise kriis Kasv suunamisega -> autonoomia kriis Kasv delegeerimisega -> juhtimise kriis Kasv koordinatsiooniga -> punase lindi ehk koostöö kriis Kasv koostööga -> selle koha pealt jäi mudel poolikuks
Evolutsioonilist teooriat kasutatakse, et kirjeldada globaalseid muutusi organisatsioonilistes populatsioonides, strateegilise mõtlemise protsesse, samuti muutuse iseloomustamisel selle ulatuse ja kestuse kaudu. Evolutsiooniteooria järgi tegutsevad organisatsioonid piiratud ressursside keskkonnas, kus kõikide eesmärk on elllu jääda. Evolutsiooniteoorias loovad makropopulatsiooni karakteristikud tingimused mikrotasandil aset leidvateks variatsioonideks, selektsiooniks ja väljasuremiseks. 4. Kirjeldage Greineri organisatsiooni arengu mudelit. Kasvumudel koosneb viiest kasvufaasist, mis lõppevad erinevate põhjustega kriisidega: Kasv loovusega -> eestvedamise kriis Kasv suunamisega -> autonoomia kriis Kasv delegeerimisega -> juhtimise kriis Kasv koordinatsiooniga -> punase lindi ehk koostöö kriis Kasv koostööga -> selle koha pealt jäi mudel poolikuks
positsioonides on samad väärtused. Järjendi puhul on oluline temas sisalduvate elementide järjestus. (Nt. hulk [3] järjendeid on 9: 11,12,13,21,22,23,31,32,33) Permutatsioonid- n-permutatsioonideks nimetatakse järjendeid, mis on mingi lõpliku hulga A kõikkide elementide n kõikvõimalikud ümberpaigutused. (n!) k-permutatsioonideks nimetatakse järjendeid, mis on mingi lõpliku hulga A teatud alamhulga elementide kõikvõimalikud ümberpaigutused. k-permutatsioone nim. ka variatsioonideks. (Nt. hulk[3] 1-permutatsioonid: 1,2,3) *Arvutada saab: n-permutatsioone Pn = n! ning k-permutatsioone Kombinatsioonid- k-kombinatsiooniks nimetatakse hulga A igat k-elemendilist alamhulka. (Nt. hulk[3] 2-kombinatsioonid: {12,13,23}). *Arvutada saab: [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. *Kombinatsioonide arvu tähist nimetatakse sageli ka binoomkordajaks. See tulenebgi aga (Newtoni) binoomivalemist.
annaabi.ee 
