.......................................................................................... 4 2. Tunnuste liigid...............................................................................................................4 3. Risttabel.........................................................................................................................4 4. Rühmitamine ja graafikud............................................................................................. 5 5. Kvantiil, täiendkvantiil.................................................................................................. 6 6. Karakteristikud.............................................................................................................. 7 Kokkuvõte......................................................................................................................... 7 Kasutatud kirjanduse loetelu............................................................................................. 8
............................................................................................ 5 3. Risttabel, filtreerimine........................................................................................................ 5 4. Rühmitamine.......................................................................................................................6 5. Jaotushistogramm, jaotusfunktsioon...................................................................................7 6. Kvantiil, täiendkvantiil .......................................................................................................8 7. Karakteristikud....................................................................................................................9 8. Lähendamine normaaljaotusega........................................................................................10 9.Normaaljaotuse graafik......................................................................................................11 10
G) Pool sammu 1. 4. Jaotushistogramm, jaotusfunktsioon X-teljel klassi keskmised x-teljel klassi ülemised väärtused 5. Kvantiilid Leian diameetri kvantiilid tõenäosuste 0,1; 0,9; 0,75; 0,25 ja 0,5 jaoks. 3 Rühmitamata andmed: 0,1-kvantiil: 6,27 cm; 0,9-kvantiil: 14.48 cm; 0,75-kvantiil: 12.40 cm; 0,25-kvantiil: 7,63 cm; 0,5-kvantiil: 9,85 cm. Rühmitatud andmed: 0,1-kvantiil: 6,3; 0,9-kvantiil: 15 cm; 0,75-kvantiil: 12,5 cm; 0,25-kvantiil: 7,8; 0,5-kvantiil: 10cm. 6. Täiendkvantiil Täiendkvantiiliks nimetatakse juhusliku suuruse q-täiendkvantiili suuruse sellist väärtust xq, millest võrdsete või suuremate väärtuste esinemise tõenäosus on q. Diameetri 0,3-täiendkvantiiliks on 11,74 cm. 7. Karakteristikud Rühmita- Rühmi- mata tatud andmed andmed
Klassi samm: 2 cm Viimase klassi ülemine piir: 21,5 cm Pool sammu: 1 cm 5. Jaotusfunktsioon Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon näitab seda, kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud suurus esineb. Juhusliku suuruse p-kvantiil on tõenäosus, et juhuslik suurus satub p-protsendilise tõenäosusega. Q-täiendkvantiil on tõenäosus et juhuslik suurus ei esine q-protsendilise tõenäosusega. 4 6. Graafikud Joonis 1. Puude diameetri jaotushistogramm Joonis 2. Empiiriline jaotusfunktsioon 5 7. Valemid N 1 X Ruut = N X i =1 I 2
Üldkogumi keskväärtuse usaldusintervall (usaldusnivooga 95% Usaldusnivoo 1- 0,95 Olulisuse nivoo 0,05 Vabaduse aste n-1 20 T-jaotuse täiendkvantiil 2,1 Alumine usalduspiir 9112,33 Ülemine usalduspiir 10882,53 Üldkogumi keskväärtus asub intervallis [9112,22;10882,53] tõen Üldkogumi keskväärtuse usaldusintervall (usaldusnivooga 99% Usaldusnivoo 1- 0,99
Asümeetriakordaja -0,4625
Ekstsess -0,825
6
6. Graafikud.
Valmistasin proovitüki 819 diameetri jaotushistogrammi ja diameetri jaotusfunktsiooni.
Joonis 1. Proovitüki 819 esimese rinde kuuse diameetri jaotushistogramm
Joonis 2. Proovitüki 819 esimese rinde kuuse diameetri jaotusfunktsioon
7
7. Kvantiil ja täiendkvantiil.
Juhusliku suuruse p-kvantiiliks (0
Orlovi boniteet). Nominaaltunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Mis on juhuslik suurus? Juhuslikuks suurust nimetatakse, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Juhusliku suuruse X p-kvantiiliks (ingl. k. percentile) nimetatakse niisugust väärtust p, mille korral Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon juhusliku suuruse tõenäosuse tihedus, mis avaldub jaotusfunktsiooni tuletisena. 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11
Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? p-kvantiil - Arvrea väärtus, millest väiksemate ja sama suurte väärtuste osakaal on p
sobivad Olgu proovitüki andmeil leitud männi diameetri aritmeetiline keskmine 35,2 cm ja standardhälve 5,1 cm (ülesannete 5 kuni 8 algandmed) 5. Eeldades männi diameetri normaaljaotust, leida mitu protsenti diameetritest on jämedamad, kui 28 cm P(X>28)= 92,0990 6. Eeldades männi diameetrite korral normaaljaotust, x0,7= 37,9 leida jaotuse 0,7-kvantiil, leia 0,2-täiendkvantiil. x0,8= 39,5 Leia alumine kvartiil, mediaan, variatsioonikordaja 31,8 35,2 14,5 7. Eeldades männi diameetrite korral normaaljaotust, leida diameeter, millest 15% puudest on jämedamad, x0,85= 40,5 leida diameeter, millest neljandik puudest on peenemad. x0,25= 31,8 8
p(2 ) S= S=(1-)/2 S=(1-)/2 2((1+)/2,k) 2((1-)/2,k) 2 2-jaotusega juh. suuruse täiendkvantiilid 2 1+ 2 1- P ,k < < 2 , k = (3) 2 2 Juhusliku suuruse X -täiendkvantiil ã on võrrandi P(X>ã) = lahend. Kvantiil a ja täiendkvantiil ã1- on võrdsed: a = ã1- . Dispersiooni ja standardhälbe usalduspiirkond (I) Valemitest (2) ja (3) järeldub: 21+ s2 2 21- P , k < 2 k < ,k = 2 2 1 2 1
lõpmatus on 1 ja tõenäosus vahemikust on integraal tihedusfunktsioonist rajades vahemiku otspunktid. 7. Mis on juhusliku suuruse kvantiil, millised on kvantiili erijuhud? Juhusliku suuruse kvantiil on arv xα, mille korral jaotusfunktsioon omandab väärtuse α. (α- kvantiil). Kvantiili erijuhud on: punkt x on alumine kvartiil (F(x)=P(X≤x)=1/4), ülemine kvartiil (F(x)=P(X≤x)=3/4) ja k-s detsiil(F(xk)=P(X≤x)=k/10 ja k= 1,...,9) 8. Mis on täiendkvantiil, kuidas ta on seotud kvantiiliga? Täiendkvantiil on juhusliku suuruse väärtus, millest suuremaid väärtusi omandab juhuslik suurus tõenäosusega α (0 < α < 1). Ehk P(X>x α) = 1 - F(xα) = α. Täiendkvantiil + kvantiil on kokku 1. 9. Defineeri pideva juhusliku suuruse keskväärtus ja dispersioon. Pideva juhusliku suuruse keskväärtuseks nimetatakse arvu EX, mis avaldub kujul ∞ EX=∫ xf ( x) dx , kus f(x) on pideva juhusliku suuruse X tihedusfuntsioon. −∞
0.6124196105 61.24% Ülesanne 7. Olgu X _x0018_ N(0; 1). Kirjutada kvantiilide abil välja intervallid, millesse sattumise tõenäosus on a) 0,9 b) 0,95 c) 0,8 d) 0,99 e) 0, 1 f) 0,05: b) 1-alfa: 0.95 alfa: 0.05 alfa/2: 0.025 Stand.norm.jaotuse kvantiil: -1.959964 Stand.norm.jaotuse täiendkvantiil: 1.959964 Vastus: intervall, millisse sattumise tõenäosus on 0,95 võrdub [-1,96;1,96]. a) 1-alfa: 0.9 alfa: 0.1 alfa/2: 0.05 Stand.norm.jaotuse kvantiil: -1.644854 Stand.norm.jaotuse täiendkvantiil: 1.6448536 Vastus: intervall, millisse sattumise tõenäosus on 0,95 võrdub [-1.65;1,65].
esitatakse standardse normaaljaotuse jaotustabelis. Kuna iga normaaljaotus on standardiseeritav, siis on selline tabel alati kasutatav, edaspidi kasutame sarnast tabelit keskväärtuse usaldusvahemiku leidmisel ja keskväärtuse kohta hüpoteeside kontrollimisel. Arvutustes rakendatakse täiendkvantiile, mis on kumulatiivsele osakaalule 100%-a vastava argumendi z väärtus, tähistame seda z (kumulatiivsele osakaalule a vastavat väärtust z nimetame kvantiiliks). Täiendkvantiil on väärtus, millest suuremate väärtuste osakaal on a ehk väärtus, millest väiksemate väärtuste osakaal on 100%-a. Üldiselt on üldkogumile tulemuste andmisel kasutusel järgmised mõisted: · Olulisusnivoo a (alpha) on uurija poolt etteantud veapiir ehk suurim lubatud tõenäosus tulemuste andmisel vea tegemiseks, enamasti on väärtusteks olulisusnivoo a=5%, kuid mitte kunagi üle 10%.
228 13.129 Mediaan 14.475 14.5 Mood 15.050 14.5 0,2-kvantiil 11.100 11 Alumine kvartiil (0,25-kvantiil) 11.788 11.6 0,8-kvantiil 17.950 17.7 Ülemine kvartiil (0,75-kvartiil) 16.725 17.1 0,3-täiendkvantiil 16.005 16 Kvartiilhälve 16.725 5.5 Haare 18.850 24 Absoluuthälve 3.248 3.086 Dispersioon 16.594 16.808 Standardhälve 4.074 4.100 Variatsioonikordaja 28.222 28.560
annaabi.ee 
