BA, siis öeldakse, et A ja B on kommuteeruvad 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, st (AB)C = A(BC) 3. maatriksite korrutamise suhtes leiduvad ühepoolsed ühikud. (Kehtib omadus A kuulub Kmxn => EmA = AEn = A) 4. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC 5. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB) = (aA)B = A(aB), a R 8. Maatriksite transponeerimine. Transponeerimise omadused. Maatriksi A = ||aij|| Rmxn transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = ||bji|| Rnxm, mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid, st bji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui A T = A Maatriksite transponeerimise omadused 1. (AT)T = A iga maatriksi A korral 2. (A + B)T = AT + BT iga A, B Rmxn korral 3. (cA)T = cAT iga c R ja maatriksi A korral 4
Maatriksite korrutamise omadused. 1. Maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. mistahes kolme maatriksi X Mat(p, q), Y Mat(q, r ) ja Z Mat(r ,s) korral (XY )Z = X(YZ): 2. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m;m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X; EmX = X: 3. Mistahes kolme maatriksi X,Y Mat(p, q) ja Z Mat(q,r ) korral (X±Y )Z = XZ ±YZ: 4. Mistahes kolme maatriksi X Mat(p, q) ja Y , Z Mat(q, r ) korral X(Y±Z) = XY ±XZ: Maatriksite transponeerimise omadused. 1. Mistahes maatriksite X, Y Mat(m, n) korral (X ± Y )T = XT ± Y T : 2. Mistahes a R ja mistahes X Mat korral (aX)T = aXT : 3. Mistahes X Mat(p, q) ja Y Mat(q,r ) korral (XY )T = YTXT : PERMUTATSIOON: Kõigi permutatsioonide hulga tähiseks on P(x1, x2, x3...xn). Hulga n kõigi permutatsioonide hulga tähiseks on Pn või P(1, 2, . . . , n). Permutatsioon Hulga H = {x1, x2, x3...xn}(Näiteks H = n) elementide ümberjärjestust,
28) s=1 s=1 V~orreldes valemeid (1.27) ja (1.28) omavahel, saame wij = nij , i Np , j Nr . Seega (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. 4 Kuna valemi (1.23) t~oestus on analoogiline eelmise t~oestusega, siis j¨atame selle lugejale. Tavaliselt tuleb korrutada sama j¨arku ruutmaatrikseid, saades tule- museks sama j¨arku ruutmaatriksi. 1.5. Maatriksite transponeerimise omadused Maatriksite transponeerimisel on j¨argmised omadused. 1 Mistahes maatriksite X, Y M at(m, n) korral (X ± Y ) = X ± Y . 2 Mistahes a R ja X Mat korral (aX) = aX . 3 Mistahes X Mat(p, q) ja Y Mat(q, s) korral (XY ) = Y X . T~ oestus. 1 N¨uu ¨d X = (xij ) ja Y = (yij ), kus X, Y M at(m, n), korral maatriksite
V˜orreldes valemeid (1.27) ja (1.28) omavahel, saame wij = nij , ∀ i ∈ Np , ∀ j ∈ Nr . Seega (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. ♠ 4◦ Kuna valemi (1.23) t˜oestus on analoogiline eelmise t˜oestusega, siis j¨atame selle lugejale. Tavaliselt tuleb korrutada sama j¨arku ruutmaatrikseid, saades tule- museks sama j¨arku ruutmaatriksi. 1.5. Maatriksite transponeerimise omadused Maatriksite transponeerimisel on j¨argmised omadused. ◦ 1 Mistahes maatriksite X, Y ∈ M at(m, n) korral (X ± Y ) = X ± Y . 2◦ Mistahes a ∈ R ja X ∈ Mat korral (aX) = aX . 3◦ Mistahes X ∈ Mat(p, q) ja Y ∈ Mat(q, s) korral (XY ) = Y X . T˜ oestus. 1◦ N¨ uu¨d X = (xij ) ja Y = (yij ), kus X, Y ∈ M at(m, n), korral maatriksite
nullid. N¨ aide Selles n¨aites on A s¨ ummeetriline ja B antis¨ ummeetriline maatriks 3 1 -1 3 1 -1 A= 1 3 2 = AT = 1 3 2 = A -1 2 1 -1 2 1 0 -1 2 0 1 -2 B= 1 0 -4 = B T = -1 0 4 = -B -2 4 0 2 -4 0 Teoreem 10 (transponeerimise omadusi). Maatriksid A ja B olgu sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud ning R. Siis 1) (AT )T = A 2) (A)T = AT 3) (A ± B)T = AT ± B T 4) (AB)T = B T AT 5) det AT = det A Paneme t¨ahele tegurite j¨arjekorra muutumist omaduses 4). Lause 11. Iga ruutmaatriksi A korral on maatriks A+AT s¨ ummeetriline ja maatriks A - AT antis¨
Transponeerimisel maatriksi dimensioon muutub. Näiteks 2 × 3 maatriksist saadakse 3 × 2 maatriks, 1 × 3 maatriksist saadakse 3 × 1 maatriks. Üldiselt, kui dim A = m × n, siis dim AT = n × m. 7 B ' (7 4 5) B ' 4 T 5 Transponeerimise omadusi: 1. (A%B) 'A %B T T T 2. T ( k A) ' k A T 3. (A ) 'A T T Maatriksit, mis transponeerimisel ei muutu ( A T ' A ), nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks. Sümmeetrilised maatriksid on näiteks 4 3 1 2 7 3 8 5
Ajas minevikku või tulevikku on võimalik liikuda nii nagu liikumine toimuks kõrvaltänavasse või nagu filmi kerimine kas siis edasi või tagasi. Seal eksisteerivad ammu hävinud hooned või sündimata lapsed. Ka filmi kerimine lõpust algusesse võib näha seal vahepeal ära surnud inimesi. Mitte miski Universumis tegelikult ei kao ega hävine. Mitte kunagi. Näiteks energia ise. 16 aastat tagasi surnud ( mitte loomulikku surma ) inimese võiks praegusesse aega elama tuua just ajas transponeerimise teel. Liikumise illusioon tekib filmis siis kui iga pilt filmirullist ekraniseerub teatud aja. Iga pilt eksisteerib eksraanil lühikese aja jooksul tavaliselt 1/24 sekundit. Niimoodi kõik pildid filmirullist järgemööda algusest kuni lõpuni. Niimoodi tekibki liikumise illusioon pildiekraanil. Liikumist ise tegelikult ei ole olemas. See on illusioon, mis on tingitud sellest, et pildid ekraanil on ajas veidi erinevad. Universumi endaga on tegelikult täpselt samasugused lood
Ajas minevikku või tulevikku on võimalik liikuda nii nagu liikumine toimuks kõrvaltänavasse või nagu filmi kerimine kas siis edasi või tagasi. Seal eksisteerivad ammu hävinud hooned või sündimata lapsed. Ka filmi kerimine lõpust algusesse võib näha seal vahepeal ära surnud inimesi. Mitte miski Universumis tegelikult ei kao ega hävine. Mitte kunagi. Näiteks energia ise. 16 aastat tagasi surnud ( mitte loomulikku surma ) inimese võiks praegusesse aega elama tuua just ajas transponeerimise teel. Liikumise illusioon tekib filmis siis kui iga pilt filmirullist ekraniseerub teatud aja. Iga pilt eksisteerib eksraanil lühikese aja jooksul tavaliselt 1/24 sekundit. Niimoodi kõik pildid filmirullist järgemööda algusest kuni lõpuni. Niimoodi tekibki liikumise illusioon pildiekraanil. Liikumist ise tegelikult ei ole olemas. See on illusioon, mis on tingitud sellest, et pildid ekraanil on ajas veidi erinevad. Universumi endaga on tegelikult täpselt samasugused lood
Ajas minevikku või tulevikku on võimalik liikuda nii nagu liikumine toimuks kõrvaltänavasse või nagu filmi kerimine kas siis edasi või tagasi. Seal eksisteerivad ammu hävinud hooned või sündimata lapsed. Ka filmi kerimine lõpust algusesse võib näha seal vahepeal ära surnud inimesi. Mitte miski Universumis tegelikult ei kao ega hävine. Mitte kunagi. Näiteks energia ise. 16 aastat tagasi surnud ( mitte loomulikku surma ) inimese võiks praegusesse aega elama tuua just ajas transponeerimise teel. Liikumise illusioon tekib filmis siis kui iga pilt filmirullist ekraniseerub teatud aja. Iga pilt eksisteerib eksraanil lühikese aja jooksul – tavaliselt 1/24 sekundit. Niimoodi kõik pildid filmirullist järgemööda algusest kuni lõpuni. Niimoodi tekibki liikumise illusioon pildiekraanil. Liikumist ise tegelikult ei ole olemas. See on illusioon, mis on tingitud sellest, et pildid ekraanil on ajas veidi erinevad. Universumi endaga on tegelikult täpselt samasugused lood
annaabi.ee 
