Siinusteoreem c b a Siinusteoreemi saab kasutada siis, kui on antud 1 külg ja tema vastasnurk ning veel mingi külg või veel mingi nurk. Näide Leia jooniselt b väärtus, kui a=6 ; =41° ; =56° c b 56° 41° 6 =180° - ( + ) =180° - (56°+41°) = 180° - 97° = 83° Siinusteoreem
Siinuse Teoreem ja Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi . R- kolmnurga ümberringjoone raadius Piirdenurk- on kõõlude vaheline nurk, mille tipp on ringjoon. Piirdenurk võrdub poolega samale haarale toetuvast kesknurgast. Kesknurk- on raadiuste vaheline nurk, sest toetub : Sin(a)=a/2R : kaks külge ja ühe külje vastasnurk! a/sin(a)=2R : kaks nurka ja ühe nurga vastas külg! Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega. Siinusteoreemi abil saame lahendada kolmnurki kui on antud: 1. Kaks nurka ja üks külg. 2. Kaks külge ja on antud ühe külje vastasnurk. Kolmnurk Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega: ,-kui on acsin(),-bcsin() Kolmnurga pindalad: S=1/2 ¤ A ¤ H
lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht täisnurksete kolmnurkade jaoks. Siinusteoreem on seos kolmnurga külgede ja nurkade vahel. Selle järgi on kolmnurga suurima külje vastas ka suurim nurk. Täpsemalt öeldes on kolmnurga kõigi külgede suhe vastasnurga siinusesse konstantne ning selle kaudu saab leida kolmnurga ümberringjoone raadiuse R. Siinusteoreemi kasutatakse kolmnurga arvutamiseks, kui on teada üks külg, selle vastasnurk ja veel kas üks külg või üks nurk. Juhul, kui on teada kaks külge ja ühe külje vastasnurk, tuleb eelnevalt veenduda ka selles, kas otsitav nurk on teravnurk või nürinurk (näiteks sin 150° = sin 30° = 0,5). Kolmnurga nurkade summa peab kokku tulema 180 kraadi. Koosinus ehk koosinusfunktsioon (sümbol: cos) on matemaatikas üks trigonomeetrilistest funktsioonidest.
suheldes. Siin ei ole ka mõeldud ainult isiklikke kogemusi, vaid sageli ei olegi tarvis isiklikku kogemust, et midagi teada saada - sageli me tugineme hoopis ühiskondlikule kogemusele. Miks ma aga täielikult ei saa nõustuda ka sellega, et kõik meie teadmised ja ideed tulenevad kogemustest, peitub näiteks selle teema seosest matemaatikaga. Ratsionalistid on välja toonud sellise näite: võib joonistada tuhandeid kolmnurki ning mõõta nende külgi ja nurki, kuid saadud andmed ei tõesta siinusteoreemi kehtivust. See tähendab, et kogemuste abil ei saa matemaatilisi teoreeme tõestada. Ratsionalismi seisukohalt tulenevad näiteks matemaatika aksioomid ja definitsioonid mõistusest enesest. Selline ratsionalistide arusaam tundub tõepoolest loogiline. Järelikult võiks eelnevast tuletada, et minu arvamused ühtivad rohkem ratsionalistide omadega, kuid osalt nõustun ka empiristide väidetega. Usun, et minu filosoofiline
Ratsionalismi eeskujuks on oma matemaatika. Just matemaatika ongi see valdkond, millele ratsionalism on viidanud, kui jutt on tõsikindla teadmise võimalikkusest. Selle seisukohalt tulenevad näiteks matemaatika aksioomid mõistuses enesest. Ratsionalismi seisukohalt ei saa kogemuse põhjal otsustada, mis on paratamatu ja üldkehtiv. Näiteks võib joonistada tuhandeid kolmnurki ning mõõta nende külgi ja nurki, kuid saadud andmed ei tõesta siinusteoreemi kehtivust. 19. sajandil loodi aga mitteeukleidilised geomeetriad ning see röövis ratsionalismilt tugeva pooltargumendi. Nimelt ei saa ju korraga mõistusest tuleneda nii Eukleidese kui ka näiteks Riemanni geomeetria. Empirismis ei ole alati tarvis isiklikku kogemust, et midagi teada saada - sageli me tugineme hoopis ühiskondlikule kogemusele. Empirism rõhutab, et just nimelt lõppkokkuvõttes pärinevad teadmised tegeliku maailma kohta kogemusest.
3.5 KOLMNURGA LAHENDAMINE Kolmnurk on üheselt määratud järgmiste andmetega, mis ühtlasi määravad ära ka sobivaimad lahendusvõtted: · kaks külge ja nendevaheline nurk lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · üks külg ja selle lähisnurgad lahendame siinusteoreemi abil; · kolm külge lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · kaks külge ja pikema külje vastasnurk lahendamist alustame siinusteoreemiabil. Lisaks siinus- ja koosinusteoreemile tuleb arvesse võtta järgnevat: · kolmnurga sisenurkade summa on 180o; · kolmnurga kahe lühema külje summa on suurem kolmnurga kolmandast küljest; · suurema külje vastas asub suurem nurk. Kui ülesanne on lahendatud, tuleb kontrollida, kas need tingimused on täidetud. Näide 1
hõõrdetegur f sõltuub materjalist ja hõõrdepindade töötlemisest nin seisukorrast Ühte punkti rakendatud jõudude liitmise geomeetriline meetod ühte punkti rakendatud kaks jõudu liidetakse jõudude rööpküliku reegli järgi. ui on teada komponentjõudude suurused ning nurk nende jõudude vahel siis resultantjõu suuruse võib leida koosinuteoreemi abil. Resultandi suuna määravad nurga. Nendenurkade siinused võib leida siinusteoreemi abil. Ühe punkti rakendatud koht jõudu võib leida ka jõukolmnurga võttega. kordub Tasapinnalised sõrestikud Sõrestikuks nim. sirgetest varrastest koostatud geomeetrilist muutumatut konsktrukstsiooni milles vardad on omavahel ühendatud liigenditega. Sõrestik koosneb väliskontuuri moodustavatest vöödest ja neid ühendavast võrgust. Praktikas jagatakse võrgu vardad postideks kaldvardaid diagonaalideks. Varraste ühenduskohad on sõrestiku sõlmed. Sõlmi mis kannavad koormust
hõõrdetegur f sõltuub materjalist ja hõõrdepindade töötlemisest nin seisukorrast Ühte punkti rakendatud jõudude liitmise geomeetriline meetod ühte punkti rakendatud kaks jõudu liidetakse jõudude rööpküliku reegli järgi. ui on teada komponentjõudude suurused ning nurk nende jõudude vahel siis resultantjõu suuruse võib leida koosinuteoreemi abil. Resultandi suuna määravad nurga. Nendenurkade siinused võib leida siinusteoreemi abil. Ühe punkti rakendatud koht jõudu võib leida ka jõukolmnurga võttega. kordub Tasapinnalised sõrestikud Sõrestikuks nim. sirgetest varrastest koostatud geomeetrilist muutumatut konsktrukstsiooni milles vardad on omavahel ühendatud liigenditega. Sõrestik koosneb väliskontuuri moodustavatest vöödest ja neid ühendavast võrgust. Praktikas jagatakse võrgu vardad postideks kaldvardaid diagonaalideks. Varraste ühenduskohad on sõrestiku sõlmed. Sõlmi mis kannavad koormust
__________________________________________________________________ Lahendus. Mõõtkava 1: 20 000 s.t 1 cm vastab tegelikkuses 20 000 cm = 200 m = 0,2 km. Kaardil AB = 93 mm s.o tegelikkuses 0,2 9,3 = 1,86 km. · BCA = 180 - (ABC + CAB) ; BCA = 180 - 25 + 53 = 102 ( ) 5 AB BC AC · Siinusteoreemi põhjal: = = ; sin BCA sin CAB sin ABC 1,86 sin 53 1,86 sin 25 BC = 1,519 km; AC = 0,804 km. sin 102 sin 102 2 2 · Koosinusteoreemi põhjal: CD = BC + BD - 2 BC BD cos ABC ja 1 BD = AD = AB ;
3 15 2 5 Näpunäited I, II 1) Teeme joonise, selleks kanname koordinaatteljestikku punkti A ja vektori AD . Leiame punkti D koordinaadid ning peegeldame punkti A ja D x-teljest (y-teljest). 2) Leiame trapetsi aluste ning kõrguse pikkused ja arvutame trapetsi pindala. 3) Leiame trapetsi alusnurga. Selleks saab kasutada täisnurkse kolmnurga trigonomeetrilisi funktsioone, siinusteoreemi, koosinusteoreemi, nurka saab leida ka vektorite abil ning sirge AD tõusu kaudu, sirgete AB ja AD vahelise nurgana. 28 29 4) Koostame sirge võrrandi, selleks saab kasutada sirge võrrandi erinevaid kujusid (sirge võrrand kahe punkti A ja D kaudu, punkti A ja vektori AD kaudu).
võime omavahel siduda nurkasid ja külgi ka mittetäisnurksetes kolmnurkades. Tuntuim selline seos on ilmselt siinusteoreem, mis väidab, et iga nurga vastaskülje ja selle nurga siinuse suhe on võrdse väärtusega. Kuigi intuitiivselt on selge, et nur- gad ja külgede suhted peavad olema omavahel seotud, siis siinusteoreemi täpne sõnastus on siiski üllatavalt leidlik ja lihtne: Enne kui siinusteoreemi tõestama asume, räägime mõnest tema matemaatilisest rakendusest. Mõned siinusteoreemi rakendused Esimese rakendusena aitab siinusteoreem leida puuduvaid elemente kolmnurgas –
t – aeg, mis on möödunud hetkest, kui vurri telg oli punktis C1 võtame valemist (15) tuletise aja järgi, arvestades, et φ ja Δ on püsisuurused d cos cos sin sin t dt (16). Varem tuletatud seosest ωM cosφ = ω1, kus ω1 on Maa pöörlemise rõhtkomponent. Avaldame valemist (16) β tuletise. d 1 sin sin t dt cos (17). Polaarkolmnurgast ZPx siinusteoreemi järgi saame: sin cos sin sin t sin sin sin t cos . Avaldame valemist sinα. . Teeme d d 1sin dt dt
annaabi.ee 
