Pöördmaat leidm- Ruutmaatriksil A= ||aij|| Rn×nleidub pöördm siis, kui tema detem ei =0 Ruutm nim regulaarseks, kui tema deter ei ole null. Vastasel juhul nim ruutm singulaarseks. Funkt nim eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe väärtuse. Argument-sõltumatu muutuja. Funkt väärtus-argumendi väärt järgi leitud sõltuva muutuja vastavad väärt. Paarisfunk-rahuldab tingimust f(x)=f(-x), sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu-f(-x)=-f(x), 0 punkti suhtes sümmeetr. Ühene f-1le värtusele vastavusse seatud 1 väärtus nt y=2x-3. Mitmene-vastavusse seatud mitu väärtust, nt 1, vahemik 1;-1, x-le vastab y! Tuletis-funkt kasvu ja argumendi kasvu suhte piirväärtus arg muudu lähenemisel 0le. Geogr tõlgendus-f graafikule punktis P tõmmatud puutuja tõus. Füüsikaline-diferentsiaal näitab kui pika vahemaa läbib liikuv objekt selle kiirusega aja jooksul;kiirus on muutuv suurus. Diferentsiaal-korrutist f'(x)x ...
Maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksit, milles on m rida ja n veergu, nimetatakse täpsemalt (m, n)-maatriksiks. Maatriksi mõõtmed Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Ruutmaatriksit mõõtmetega (n, n) nimetatakse ka n-järku maatriksiks. Kui on ruutmaatiks, siis näitab mitu rida ja veergu maatriksil on. Näiteks kolmandat järku ruutmaatriksil on 3 rida ja 3 veergu. Maatriksi elemendid Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c.. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega A, B, . . . , X, Y, Z. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame Mat abil ning kõigi
korrutisega. põhimõte sama: mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga. 6. Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri. ruutmaatriksi A pöördmaatriks selline maatriks A-1 (maatriks B), mille korral AA-1 = A-1A = E (AB = BA = E). E ühikmaatriks (diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1). Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. kui ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks, siis on see üheselt määratud. kehtivad järgmised omadused: Ruutmaatriksil A=(aij) leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. pöördmaatriksi leidmine: 1) veenduda, et antud maatriks on ruutmaatriks ja selle determinant et võrdu nulliga. detA = -45 2) leida kõikide elemendite alamdeterminandid ja esialgsed elemendid nendega asendada
· Determinandi väärtus ei muutu, kui ühele reale (veerule) liita nullist erineva arvuga korrutatud mingi rida (veerg). · Ruutmaatriksi ja tema transponeeritud maatriksi determinantide väärtused on võrdsed. 6. Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist maatriksit A -1, mille korral AA-1 = A-1A = E. Täh A-1. Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. Ruutmaatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. Transponeeritakse alamdeterminante. Nt: detA = -45 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,..
4.Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Def. 1. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E , (1) kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Võrdustes (1) on korrutamine võimalik, kui A on ruutmaatriks. Seega pöördmaatriks võib leiduda ainult ruutmaatriksil. Teoreem 1. Maariksi A pöördmaatriks, juhul, kui ta eksisteerib, on üheselt määratud. Tõestus. Olgu B1 ja B2 maatriksi A pöördmaatriksid. Siis AB1 = B1 A = E , AB2 = B2 A = E ja B1 = B1E = B1 ( AB2 ) = ( B1 A ) B2 = EB2 = B2 , s.t. B1 = B2 ning teoreemi väide kehtib. Maatriksi A pöördmaatriksit tähistatakse A-1
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike
54.regulaarne maatriks- n-järku maatriks A on regulaarne kui | A|≠ 0 55.singulaarne maatriks- n-järku maatriks A on singulaarne kui | A|=0 56.pöördmaatriksi omadused: Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatrik A kui ka tema pöördmaatrik on regulaarsed Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteie pöördarvud st. | A|∙| A−1|=1 Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem ( AB)−1=B−1 A−1 A −1 Maatriksi A pöördmaatriks on maatrik A, s.o. (¿¿−1)−1= A ¿
.., m on lineaarselt sõltumatud parajasti siis, kui maatriksi A Kmxn astak on m 22. Pöördmaatriksi defnitsioon, ühesus, olemasolu ja leidmine (tõestustega). Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatriksit B, mille korral AB = BA = E. A peab olema ruutmaatriks Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis see on üheselt määratud. Tõestus: B1, B2 - A pöördmaatriksid. B2*| AB1 = B1A = E ja AB2 = B2A = E|*B1 => B2AB1 = B2E = B2 ja AB1B2 = EB1 = B1 => B1 = B2 Ruutmaatriksil A = ||aij|| Rnxn leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga. Tõestus: A-1 eksisteerib <=> |A| 0 => 1. A-1 eksisteerib => AA-1 = E => |AA-1| = |E| = 1 => |A| 0; 2. |A| 0; | A-1| = 1/|A| = |A|-1 <= eeldame, et |A| 0; näitame, et leidub pöördmaatriks. Kasutame determinantide teooria põhivalemeid. i = (ai1; ...; aij; ...; ain); Ai = (Ai1; ...; Ain); Aij = (-1)i+jMij (maatriksi A determinandi |A| elemendi aij alamdeterminant).
1 abil saame |AB| = |E| = |A||B| = 1, millest |A| = 0 ja |B| = 0 t~ottu maatriks A ja tema p¨o¨ ordmaatriks on regulaarsed. Omadus 6.2. Maatriksi ja p¨ o¨ordmaatriksi determinandid on teinetei- se p¨o¨ordarvud. T~oestus. See omadus on ilmne, sest |A||B| = 1. Singulaarsetel maatriksitel ei ole p¨o¨ordmaatriksit, sest vastasel juhul oma- duse 1 p~ohjal on singulaarne maatriks hoopis regulaarne. Omadus 6.3. Kui ruutmaatriksil on olemas p¨ oo ¨rdmaatriks, siis ainult u ¨ks. T~oestus. Oletame, et maatriksil A on olemas mitmed p¨o¨ordmaatrik- sid. Hakkame neid paarikaupa v~ordlema. Olgu B ja C u ¨ks maatriksi A p¨o¨ordmaatriksite paar. Valemi (6.1) t~ottu kehtivad AB = E, BA = E; AC = E, CA = E. (6.2) 43 Maatriksite korrutamise assotsiatiivsuse kohaselt (vt
1 abil saame |AB| = |E| =⇒ |A||B| = 1, millest |A| = 0 ja |B| = 0 t˜ottu maatriks A ja tema p¨o¨ ordmaatriks on regulaarsed. ♠ Omadus 6.2. Maatriksi ja p¨ o¨ordmaatriksi determinandid on teinetei- se p¨o¨ordarvud. T˜oestus. See omadus on ilmne, sest |A||B| = 1. ♠ Singulaarsetel maatriksitel ei ole p¨o¨ordmaatriksit, sest vastasel juhul oma- duse 1 p˜ohjal on singulaarne maatriks hoopis regulaarne. Omadus 6.3. Kui ruutmaatriksil on olemas p¨ oo ¨rdmaatriks, siis ainult u ¨ks. T˜oestus. Oletame, et maatriksil A on olemas mitmed p¨o¨ordmaatrik- sid. Hakkame neid paarikaupa v˜ordlema. Olgu B ja C u ¨ks maatriksi A p¨o¨ordmaatriksite paar. Valemi (6.1) t˜ottu kehtivad AB = E, BA = E; AC = E, CA = E. (6.2) 43
A-1 · A · X = A-1 · F. 17 PEATÜKK 2. PÖÖRDMAATRIKS. LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMID Kuna A-1 · A = I ja I · X = X, siis saamegi võrrandisüsteemi lahendi X = A-1 · F. (2.3) 2.3 Pöördmaatriksi leidmine valemi abil Teoreem 2.1 Ruutmaatriksil A = (aij ) leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga. Kui |A| = 0, siis T A11 A12 ··· A1n 1 A21 A22 ··· A2n -1 A = ·
annaabi.ee 
