Kui see polünoom on reaalsete
kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka . Kui on Pn(x)=0
m kordne kompleksne lahend, siis ka on selle sama Pn(x)=0 m kordne lahend.
Järeldus: Kui meil on reaalsete kordajatega Pn(x), siis on see kirja pandav nii:
Kui võrrandil Pn(x)=0 on reaalne lahend kordusega x1 jne x, siis k1...k+2(l1+l2+...+l)=n
Pn(x)=0 P3(x)=x3-8 P3(x)=0 x3-8=0 (x-2)(x2+2x+4)=0 x1=2 x2+2x+4=0 V: 3 lahendit. Üks
reaalne ja kaks kompleksset
2.6 Ratsionaalfunktsioonide lahutamine osamurdudeks
Olgu Qm(x)/Pn(x) ratsionaalfunktsioon, kus Qm(x) on m-astme ja Pn(x) n-astme polünoom ning
m
25. Ositi integreerimine ja muutuja vahetus Kuna eksisteerivad piirväärtused Võtame piirväärtuse, kui n ja , siis (tõestusega). 26. Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. max xi0 ; max xi0 27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. Siis vastavalt "kahe politseiniku" teoreemile 28. Määratud integraal ja selle omadused.
korrutan mõlemad pooled läbi ja saan: Kui , siis ehk Kui , siis ehk Seega Kontroll mathcadiga: Mathcadis võib kasutada ka Symbolics---Variable---Convert to Partial Fraction 13. Mis on ratsionaalfunktsioon? Tooge 2 näidet! Ratsionaalf-niks nim. f-ni , kus p(x) ja q(x) on polünoomid. Näited: , 14. Mis on liigmurd, lihtmurd ratsionaalfunktsioonide puhul? Esitage 2 näidet! Kui murru lugeja aste on nimetaja astmest madalam, siis nimetatakse murdu lihtmurruks, vastasel juhul liigmurruks. Näited: lihtmurd: , liigmurd: , 15. Mis on osamurrud? Toode 2 näidet! Osamurd on murd kujul , kus A, B, p, q on reaalarvulised konstandid ja nimetaja nullkohad ei ole reaalarvud ning k on positiivne täisarv. Näited: v.t. punkti 12 16. Mis on funktsiooni graafiku asümptoot? Tooge 2 näidet!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 Tehetega seotud integreerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.6 Muutuja vahetamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.7 Ositi integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.8 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 iv 0.0. Sisukord 8 Diferentsiaalvõrrandid 77 8.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a f (ax + b)dx = F (ax + b) + C 1 (3.3) f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C Korrutise tuletise reegel annab (uv)' = u ' v + uv' Siit uv' = (uv)'-u ' v Integreerime võrduse mõlemad pooled uv' dx = [(uv)'-u' v]dx = (uv)' dx - u ' vdx = uv - u ' vdx (3.4) uv' dx = uv - u ' vdx © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 41 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Me vaatleme integraale P ( x) (26.1) R ( x)dx = m dx Qn ( x) Pm (x) - m astme polünoom Qn (x) - n astme polünoom Kui lugeja aste on suurem või võrdne nimetaja astmest (m 2) Siis avaldise täisosa ja murdosa P ( x) S ( x) (26.2) m = Tm - n ( x ) + k Qn ( x) Qn ( x) Murdosa lahutame osamurdudeks. Selleks tegurdame nimetaja Qn (x) (26
a f (ax + b)dx = F (ax + b) + C 1 (3.3) f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C Korrutise tuletise reegel annab (uv)' = u ' v + uv' Siit uv' = (uv)'-u ' v Integreerime võrduse mõlemad pooled uv' dx = [(uv)'-u' v]dx = (uv)' dx - u ' vdx = uv - u ' vdx (3.4) uv' dx = uv - u ' vdx © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 41 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Me vaatleme integraale P ( x) (26.1) R ( x)dx = m dx Qn ( x) Pm (x) - m astme polünoom Qn (x) - n astme polünoom Kui lugeja aste on suurem või võrdne nimetaja astmest (m 2) Siis avaldise täisosa ja murdosa P ( x) S ( x) (26.2) m = Tm - n ( x ) + k Qn ( x) Qn ( x) Murdosa lahutame osamurdudeks. Selleks tegurdame nimetaja Qn (x) (26
. . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨ aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨ aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . .
. . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . .
annaabi.ee 
