t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ x, x 0 mx m k
Kaugus ja selle omadused. Polaarkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. 2. Parameetrilised jooned mitmemõõtmelises ruumis. Vektori parameetrilised võrrandid. Vektori pikkus ja koordinaadid. Mitmemõõtmeline ruum kui afiinne ruum. Samasuunalised ja vastassuunalised vektorid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy- Schwartzi võrratus. 3. Lahtised ja kinnised kerad. Punkti ümbrus. Sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidus hulk. Tõkestatud hulk. 4. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Suuruse muutumispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja ja määramispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline sisu ja omadused. 5. Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Mitmemuutuja liitfunktsiooni mõiste. Parameetrilised pinnad
o Funktsiooni z f x, y globaalsete ekstreemumite määramine: Tuleb leida kõik funktsiooni f kriitilised punktid ja funktsiooni väärtused neis punktides; Tuleb leida funktsiooni f raja; Tuleb asendada raja esialgsesse funktsiooni f; Tuleb leida saadud funktsiooni kriitilised punktid ja väärtused neis punktides; Tuleb leida saadud funktsiooni rajapunktid ja väärtused neis punktides; Tuleb leida funktsiooni kõigist leitud väärtustest vähim ja suurim; Tuleb koos vähima ja suurima väärtusega välja kirjutada kõik punktid, kus need väärtused realiseerusid. Kui funktsiooni f raja koosneb mitmest funktsioonist, siis tuleb läbi viia sammud 3) 5) iga raja osa jaoks eraldi Tinglikud ekstreemumid
funktsioon z = f (x , y ). 38. n-muutuja funktsioon- kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, ..., xn ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud n muutuja funktsioon z = f (x1, x2, ..., xn ) 39. lahtine piirkond- ainult seesmistest punktidest koosnev piirkond. Sisemised punktid on määramispiirkonna need punktid, mis ei asetse rajajoonel. 40. kinnine piirkond- piirkond kuhu kuulvad seesmised punktid ja ka kõik rajapunktid. 41. tõkestatud piirkond- kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C, nimetatakse piirkonda tõkestatuks. 42. kahe muutuja funktsiooni osamuut- kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) osamuut x järgi : x z = f ( x + x, y ) f ( x, y) osamuut y järgi : y z = f ( x, y + y ) f ( x, y) 43. kahe muutuja funktsiooni täismuut- kahe muutuja funktsiooni z = f( x, y ) täismuut : z = f ( x + x, y + y ) f (x, y) 44
Seejärel istuvad mängijad ringis ja tutvustavad lühidalt teistele oma taldrikul olevaid toite, põhjendades oma valikuid. 6. Rõõmsa lapse terviserada. Mängu eesmärk: kinnistada oskust teha valikuid söödavatest ja mittesöödavatest metsaandidest; arendada kuulamis- ja tähelepanuoskust, osavust ja põhiliikumisi. Mäng: Lapsed liiguvad mööda terviserada vastavalt rajapunktidele. Viimases punktis tuleb kaasa võtta tervisliku vahepala pilt. Kes on rajapunktid korralikult läbinud, tuleb vestlusringi ("piknikule"). Ringi keskele asetatakse tervislikud vahepalad. Koos vaadatakse üle, kas on valitud tervislikud või vähem tervislikud vahepalad. Vähem tervislik vahepala asetatakse kõrvale. Seejärel vestlevad lapsed raja läbimisest: mida nad rada läbides tundsid, nägid ja kuulsid. Iga laps saab vastata. Lõpuks võib veel kord koosüle vaadata raja kõrval olevad metsaandide pildid ja kuulata loodushääli.
. . + um um = (u21 + u22 + . . . + u2m ) = |u|2 = |u| |u| = (6.8) = |u| |u| = |u| |v|. Vektori ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) suunalist nullpunkti l¨abivat sirget nimetatakse k-1 × xk - teljeks ruumis Rm ja vektorit ek xk - telje suunaliseks u ¨hikvektoriks. 3) Lahtised ja kinnised kerad. Hulga sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidusa hulga mõiste. Tõkestatud hulga mõiste. Mitmem~ o~otmelised kerad. Lahtiseks m-m~ o~ otmeliseks keraks keskpunktiga A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja raadiusega r > 0 nimetatakse hulka U (A, r) = {B || B Rm , |BA| < r} . Kinniseks m-m~o~ otmeliseks keraks keskpunktiga A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja raa- diusega r 0 nimetatakse hulka
· Eukleideliseks ruumiks nim anfiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis. (anfiinne ruum on ruum, mille punktidel defineeritud vektorite hulk moodustab vektorruumi) · Cauchy-Schwartzi võrratus |u * v| | u || v | · Teljeks mitmemõõtmelises ruumis Rm nim. antud ruumis oleva vektori e =(0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) suunalist nullpunkti läbivat sirget 3) Lahtised ja kinnised kerad. Hulga sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidusa hulga mõiste. Tõkestatud hulga mõiste. · Lahtiseks m-mõõtmelsieks keraks keskpunktiga A=(a1,a2,...,am) ja raadiusega r > 0 nim. hulka U ( A,r ) = {B|| B Rm , |BA| < r } · Kinniseks m-mõõtmelsieks keraks keskpunktiga A = (a1,a2,...,am) ja raadiusega r 0 nim. hulka U ( A,r ) = {B|| B Rm , |BA| r } · Hulga G sisekpunktiks nim. punkti A, kui hulk G kuulub ruumi Rm.
· Eukleideliseks ruumiks nim anfiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis. (anfiinne ruum on ruum, mille punktidel defineeritud vektorite hulk moodustab vektorruumi) · Cauchy-Schwartzi võrratus |u * v| | u || v | · Teljeks mitmemõõtmelises ruumis Rm nim. antud ruumis oleva vektori e =(0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) suunalist nullpunkti läbivat sirget 3) Lahtised ja kinnised kerad. Hulga sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidusa hulga mõiste. Tõkestatud hulga mõiste. · Lahtiseks m-mõõtmelsieks keraks keskpunktiga A=(a1,a2,...,am) ja raadiusega r > 0 nim. hulka U ( A,r ) = {B|| B Rm , |BA| < r } · Kinniseks m-mõõtmelsieks keraks keskpunktiga A = (a1,a2,...,am) ja raadiusega r 0 nim. hulka U ( A,r ) = {B|| B Rm , |BA| r } · Hulga G sisekpunktiks nim. punkti A, kui hulk G kuulub ruumi Rm.
Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D nimetatakse selle osa, mis on piiratud mingi pinnaga rajapinnaga. Def 1.3. Punkt P on piirkonna sisemine punkt, kui leidub selline P ümbrus U ( P ) D , mis sisaldub täielikult D-s. Punkt Q on piirkonnaväline punkt, kui leidub selline ümbrus U ( Q ) D , mis ei sisaldu D-s. Punkt R on piirkonna D rajapunkt, kui selle mis tahes ümbrus U ( R ) sisaldab nii piirkonna D punkte, kui ka punkte väljaspool D-d. Piirkonna D kõik rajapunktid moodustavad selle rajajoone (rajapinna). Def. 1.4. Piirkonda, mille kõik punktid on selle piirkonna sisemised punktid nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui piirkond sisaldab kõiki oma rajapunkte, siis nimetatakse seda kinniseks piirkonnaks ja tähistatakse D . Def. 1.5. Piirkond D on tõkestatud, kui leidub selline kera K R raadiusega R, et D K R . K R = U R ( 0 ) 0 = ( 0,0,...,0 ) - koordinaatide alguspunkt. Def. 1.6.
38. n-muutuja funktsioon - kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, ..., xn ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud n muutuja funktsioon z = f (x1, x2, ..., xn ) 39. lahtine piirkond - ainult seesmistest punktidest koosnev piirkond. Sisemised punktid on määramispiirkonna need punktid, mis ei asetse rajajoonel. 40. kinnine piirkond - piirkond kuhu kuulvad seesmised punktid ja ka kõik rajapunktid. 41. tõkestatud piirkond - kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C, nimetatakse piirkonda tõkestatuks. 42. kahe muutuja funktsiooni osamuut - kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) osamuut x järgi : x z = f ( x + x, y ) f ( x, y) osamuut y järgi : y z = f ( x, y + y ) f ( x, y) 43. kahe muutuja funktsiooni täismuut - kahe muutuja funktsiooni z = f( x, y ) täismuut : z = f ( x + x, y + y ) f (x, y) 44
tõkestamata, siis ütleme, et hulga X alumine raja on - . Hulga X ülemist raja märgitakse sümboliga sup X ja alumist raja sümboliga inf X . Juhul X = {x} kasutatakse ka lihtsustatud sümboleid sup x ja inf x . Pidevuse aksioom Teoreem: Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja. (fakt) Järeldus: Igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Kuhjumispunktid, rajapunktid ja sisepunktid Definitsioon: Punkti (koha, arvu) a ümbruseks ehk -ümbruseks nimetatakse iga vahemikku (a - , a + ) , kus > 0 on mingi arv. Mida väiksem on , seda lühem on vahemik (a - , a + ) , s.t. seda väiksem on punkti a ümbrus. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X
annaabi.ee 
