Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et: dx= - ydxdy 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} (a x b) ( (x) (x))}. Rajajoont läbime positiivses suunas. Saame: dx = dx + dx + dx + dx = = (x, (x))dx + 0 + (x,(x))dx + 0 = = - X(x,(x)) X(x, (x)))dx. Siis dx = - ydxdy. 2
Mis ei sõltu joone Г osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont Г ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Г on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx – Xy)dxdy, kusjuures rajajoont Г läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et: dx= - ydxdy 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} ( ׀a x b) ˄ ( (x) (x))}. Rajajoont Г läbime positiivses suunas. Saame: dx = dx + dx + dx + dx = = (x, (x))dx + 0 + (x, (x))dx + 0 =
D läbib piirkonna D sisepunkti ja on paralleelne y-teljega, lõikab piirkonna Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z=f 2(x,y) ja alt pinnaga 3. Kahekordse integraali omadusi i j j i D rajajoont maksimaalselt kahes punktis. z=f1(x,y), kusjuures Q projektsioon xy-tasandile on hulk D. Juhul kui ( f ( P) + g ( P))dS = f ( P)dS + g ( P)dS j =1 c Piirkonda D nimetatakse regulaarseks x-telje suhtes, kui iga sirge, mis 0f1(x,y)f2(x,y), siis
Teisendust (u,v) (x,y) nimetatakse regulaarseks, kui Greeni valem: Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Ta on üksühene. on tükiti sile, siis Xdx + Ydy = D(Yx Xy)dxdy kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Osatuletised xu,xv,yu ja yv on pidevad piirkonnas . Teisenduse jakobiaan : J(u,v) := |xu xv| <> 0, (u,v) c Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldlahend. Erilahend.
C=2z/y2Po; B=2z/xyPo. Teoreem: (1) Kui AC-B2>0 ja A<0 siis on 2 muutuja f-nil stats punktis Po lok max. (2) Kui AC- B2>0 ja A>0 siis on 2 muutuja f-nil stats punktis Po lok min. (3) Kui AC-B2<0 siis z=(x; y) punktis Po ekstreemumit e ole. (4) Kui A-C-B2=0 siis pole millegi põhjal järeldusi teha. Kahe muutuja f-ni suurim ja vähim väärtus antud piirk-s z=(x; y) on pidev piirkonnas D mis peab olema kinnine (sisaldab rajajoont) ja tõkestatud (ümber on tõmmatud lõpliku raadiusega ringjoon mille keskpunktiks on koord alguspunktid). Tõkestatud, kinnises piirk omab pidev 2 muutuja f-n alati suurimat ja vähimat väärtust ning omandab ka suurima ja vähima väärtuse kas kriitilises punktis või piirkonna rajajoonel.
ekstreemumit ei ole. Aga see tingimus ei ole piisav ekstreemumi olemasoluks. Näites 2 vaadeldud funktsiooni 𝜕𝑧 𝜕𝑧 jaotusjooneks valida piirkondade D1 ja D2 ühise rajajoone. Jaotades piirkonda D edasi suvalisel viisil, tekivad rajajoont Г läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P 0 ja P vahel ei sõltu z = x2 – y2 osatuletised 𝜕𝑥 = 2x ja 𝜕𝑦 = 2y võrduvad mõlemad 0-ga punktis P0(0;0), aga nagu veendusime, selles piirkondade D1 ja D2 suvalised jaotused osapiirkondadeks. Integraalsumma ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑃𝑘 ) ∆𝑠𝑘 jaotame kaheks
kõversilindriks.
Kui jaotame piirkonna D n osaks ja mõõdame pindala Si ning valime punkti Pi ja arvutame fun.
väärtuse selles punktis Pi, siis Vi=f(Pi)Si
Vk = lim Vi = lim f ( Pi )S i = f ( x, y )dxdy
n n
D
Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
Def: olgu tasandilise piirkonna D jaoks teada, et D x = [a,b]. Öeldakse, et D on regulaarne y-telje
sihis, kui iga sirge x=x0, a
F ( x, y )dx + G ( x, y )dy = [ F ((t ),(t )) ' (t ) + G ((t ),(t )) ' (t )]dt L a 27. Kahekordse- ja joonintegraali vaheline seos. Greeni valem Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greeni valem lXdx+Ydy=ll(Yx-Xy)dxdy=ll(dY/dX-dX/dY)dxdy D D kusjuures piirkonna D rajajoont läbitakse positiivses suunas, st liikudes mööda rajajoont jääb piirkond D vasakule. Joonintegraal tuleb võtta positiivses suunas. Olgu xy-tasandil antud regulaarne piirkond D, mis on piiratud kinnise kontuuriga L. Olgu piirkonnas D antud funktsioonid F ja G. Leiduvad arvud ab, ja funktsioonid f1(x)f2(x), nii et piirkond D on antud võrratustega axb ja f1(x)yf2(x). b f 2 ( x) b
4. Kahekordse integraali teisendamine kaksikintegraaliks ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletada vastav valem. (lk 4-7) 5. Telgede suhtes regulaarsed piirkonnad. Piirkond D on koordinaattelje suhtes regulaarne kui ta on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje suhtes. (NB! kirjutan ainult y- telje suhtes sest, x-telje suhtes on regulaarsus analoogne) Piirkonda D nim. regulaarseks y-telje suhtes, kui iga sirge, mis on paraleelne y-teljega, lõikab piirkonna D rajajoont maksimaalselt kahes punktis. Kui D on kinnine y-telje suhtes regulaarne piirkond , siis leiduvad arvud a ja b ning funktsioonid 1(x) ja 2(x) nii, et kehtivad seosed ab ja 1(x) 2(x) ning piirkond D on antud võrratusega D: a x b, 1(x) y 2(x) 6. Kahekordse integraali teisendamine kaksikintegraaliks koordinaattelje suhtes regulaarse piirkonna korral. Tuletada vastav valem. (lk 8-9) 7. Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil. Olgu antud funktsioon (x,y) 0
2. Kahekordse integraali arvutamine: regulaarse piirkonna definitsioon (+joonis); kaksikintegraali definitsioon; omadus 19.2. (kaksikintegraa1i tõkked) ja omadus 19.3. (keskväärtuse teoreem) tõestustega. Olgu xy-tasandil asetsev piirkond D selline, et iga sirge, mis on paralleelne ühe koordinaatteljega, näiteks y-teljega, ja läbib piirkonna sisepunkti, lõikab piirkonna rajajoont kahes punktis N 1 ja N2. Eeldame, et vaadeldav piirkond D on piiratud joontega y=1(x), y=2(x), x=a ja x=b, kusjuures 1 (x)2(x) ja a
Siledal pinnal on igas punktis puutujatasand ja normaal. 15 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) Kolmekordse integraali arvutamiseks on valem, kui E on kõversilinder. Olgu E kõversilinder, mis on piiratud ülalt sileda pinnaga = ( x, y ) , alt sileda pinnaga = ( x, y ) ja külgedelt püstsilindrilise pinnaga, mis läbib piirkonna D rajajoont. D = pr xy (x, y ) = pr xy ( x, y ) . ( x, y ) Teoreem. Kui eksisteerivad integraalid f (x, y, z )dxdydz , ( f) (x, y, z )dz E x, y iga ( x, y ) D korral, siis
on tasandi niisuguste punktide hulk, mis asuvad koorinaatide alguspunk- tist mitte kaugemal kui u ¨ks u¨hik ehk u¨hikulise raadiusega ring koos seda u ¨ mbritseva ringjoonega. Piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks ja rajajoone punkte piirkonna rajapunktideks. Rajajoonel mitte asuvaid punkte nimeta- takse piirkonna sisepuntideks. Piirkonsa nimetatakse kinniseks, kui see sisaldab k~oiki oma rajapunkte, st sisaldab rajajoont. Piirkonda nimetatakse lahtiseks, kui see ei sisalda u ¨htegi rajapunkti. Edaspidi kujutame joonistel kinnise piirkonna rajajoont pideva joonega ja lahtise piirkonna rajajoont katkendliku joonega. Joonis 6.1. Kinnine ja lahtine ring Punkti u ¨mbruseks tasandil nimetatakse suvalise raadiusega lahtist ringi, mille keskpunktiks on punkt ise. Kui > 0 on suvaline reaalarv, siis punkti (x0 , y0 ) -¨
annaabi.ee 
