. . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. · Kui tasand on antud võrrandiga C1x+C2y+C3z+C4=0, siis temaga ristuva vektori koordinaadid on C1, C2, C3 ning temaga ristuva ja punkti (x1, y1, z1) läbiva sirge kanoonilised võrrandid on ((x-x1)/C1=((y-y1)/C2)=((z-z1)/C3).
. . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. · Kui tasand on antud võrrandiga C1x+C2y+C3z+C4=0, siis temaga ristuva vektori koordinaadid on C1, C2, C3 ning temaga ristuva ja punkti (x1, y1, z1) läbiva sirge kanoonilised võrrandid on ((x-x1)/C1=((y-y1)/C2)=((z-z1)/C3).
puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P. Kui P(a; b; c) on võrrandiga F(x; y; z) = 0 esitatud pinna punkt ja funktsiooni F(x; y; z) kõik esimest järku osatuletised on pidevad punktis P(a; b; c) ning Puutujatasandi normaalvektor n on risti joone X puutuja sihivektoriga (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) kui skalaarkorrutis (n, (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) = n1x'(t0) + n2y'(t0) + n3z'(t0) = 0: Seega puutujatasandi normaalvektoriks sobib n = (Fx (P); Fy (P); Fz (P)) 12
19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. Tasandit, mille v~orrandiks on (6.32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu- jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)). z = f (a, b) + fx (a, b)(x - a) + fy (a, b)(y - b) . (6.32) Pinna z = f (x, y) normaalvektoriks punktis B nimetatakse vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. Pinna z = f (x, y) normaalsirgeks punk- tis B nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. Puutujatasandi T v~orrand on (6.32). Viies selles v~orrandis muutuja z paremale poole ja avades sulud saame fx (a, b)x + fy (a, b)y - z + f (a, b) - fx (a, b)a - fy (a, b)b = 0 . Siit n¨aeme, et puutujatasandi v~orrand on esitatav kujul C1 x+C2 y +C3 z +C4 = 0, kus C1 = fx (a, b) , C2 = fy (a, b) , C3 = -1 ,
ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus
|s| 2. Tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui vektor s on gradiendisuunaline 3. Gradient gradf(A) on skalaarvälja f nivoopinna normaalvektor punktis A. Teiste sõnadega: vektor grad f(A) ristub punkti A läbiva nivoopinna f(x,y,z)=C puutujatasandiga punktis A 12. Pinna puutujatasand ja normaalsirge Pinna puutujatasand ja tema võrrand Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y) puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b)) Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis 13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
referentsellipsoidi tsenter ei asu Maa raskuskeskmes nagu maaellipsoidil. Neid kasutatakse ..... Mis on nullnivoopind, loodjoon, normaal? Loodjoon maapinnaga risti olev joon Nullnivoopind - Punkti absoluutne kõrgus H määratakse mere või ookeani keskmisest pinnast, mida nimetatakse nullnivoopinnaks. Nivoopindu on palju. Need on Maa raskusjõuvälja ekvipotentsiaalsed pinnad, mis on igas punktis risti loodjoonega. Normaal - Pinna normaal mingis selle pinna punktis on pinna puutujatasandiga selles punktis ristuv sirge. 4. Mis on punkti geograafilised koordinaadid, nende määramine Geograafilised koordinaadid on maapealse punkti nurkkoordinaadid: geograafiline pikkus ? ja geograafiline laius ?. Geograafilisi koordinaate määratakse ellipsoidil või geoidil kraadides. Geograafiline pikkus ? on algmeridiaani (Greenwichi meridiaani) ja punkti läbiva meridiaani tasandite vaheline nurk. Kuna Eesti ala jääb Greenwichi
Nullnivoopind- on merede ja ookeanide keskmine veepinna tase, mis on mõtteliselt laiendatud maismaa alla. Nivoopindu on palju. Nivoopind on täpsemalt Maa raskusjõuvälja ekvipotentsiaalpind ja nivoopind on igas punktis risti läbi selle punkti tõmmatud loodjoonega. Loodjoon Gravitatsioonijõud ja tsentrifugaaljõud ning nende liitumisel tekkiv uus jõuvektor, mis asetseb risti kujuneva Maa pinnaga. Normaal- Pinna normaal mingis selle pinna punktis on pinna puutujatasandiga selles punktis ristuv sirge. 4. Mis on punkti geograafilised koordinaadid; nende määramine? Geograafilised koordinaadid on maapealse punkti nurkkoordinaadid: geograafiline pikkus ja geograafiline laius. Geograafilised koordinaadid ei ole absoluutsed, sest ühel punktil võib olla mitu geograafilist koordinaati. See tuleneb sellest, et maakera mõõtmeid pole võimalik täpselt välja arvutada. Geograafilisi koordinaate määratakse ellipsoidil või geoidil kraadides.
u u u ? Et grad u = , , ja r? = { x?, y?, z?} x y z Siis me saime tulemuseks, et ? ? grad u r? = 0 grad u r? Järelikult on gradient risti joone L puutujaga punktis P( x 0 , y 0 , z 0 ) . Et joon L oli suvaline joon nivoopinnal, mis läbis punkti P, siis on gradient risti kõigi selliste joonte puutujatega. Järelikult on gradient risti ka puutujatasandiga ning nivoopinnaga. M.O.T.T. Nüüd saame kirjutada pinna puutujatasandi ning normaali võrrandid. Olgu pind esitatud ilmutamata funktsiooni kujul F ( x, y , z ) = 0 Teoreemi 12.1 kohaselt võima puutetasandi normaalvektoriks võtta F F F n = grad F = , , x P y P z P Seega puutetasandi võrrand on F F F ( x - x0 ) + ( y - y0 ) + ( z - z 0 ) = 0 (12.1)
Pinna puutujatasand ja normaal. Vaatleme pinda z f x, y , kus x, y D. Punktile P 0 x 0 , y 0 D vastav punkt pinnal olgu Q 0 x 0 , y 0 , z 0 . Siis pinnal z f x, y on olemas punktis Q 0 z-teljega mitteparalleelne puutujatasand parajasti siis, kui funktsioon on diferentseeruv punktis P 0 ja puutujatasandi võrrand on f x x 0 , y 0 x f y x 0 , y 0 y z d 0. Arvu d leiame tingimusest, et punkt Q 0 x 0 , y 0 , z 0 kuulub puutujatasandile. Punktis Q 0 x 0 , y 0 , z 0 puutujatasandiga ristiolevat vektorit n nimetatakse pinna normaaliks punktis Q 0 . Näide 10. Leida puutujatasand ja normaal pinnale z xy x y punktis Q 0 1, 1, 3 . Leiame osatuletised z x y 1, z y x 1; z x 1, 1 2, z y 1, 1 2 Seega puutujatasand punktis Q 0 2x 2y z d 0 2 1 2 1 3 d 0 d 1 2x 2y z 1 0 Normaal on siis n 2, 2, 1 . 1.2 Määratud integraal ja selle rakendusi
annaabi.ee 
