Ringjoone võrrand Ringjooneks nimetatakse tasandi niisugust punktihulka, mis asuvad ühest punktist (keskpunktist) võrdsel kaugusel(raadiuse kaugusel). Kui keskpunkti koordinaadid on (0;0), siis joonevõrrand on : x2+y2=r2 Kui keskpunkt on antud koordinaatidega (a;b) , siis joonevõrrand on: (x-a)2+(y-b)2=r2 Need kaks olid kanoonilised ehk tavapärased võrrandid. Ringjoone võrrandi üldkuju: x2+y2+ax+by+c=0 Näiteks: K(-2;3) r=3 (x+2)2+(y-3)2=(3)2 (x+2)2+(y-3)2=3 kanooniline võrrand X2+4x+4-y2-6y+9=3
Näeme, et muutuja suurenemisel teatud arvu korda teine muutuja väheneb sama arvu korda ja vastupidi. Sellisel juhul ütleme, et need suurused on pöördvõrdelises seoses... KAKS MUUTUJAT ON PÖÖRDVÕRDELISES SEOSES, KUI NENDE KORRUTIS ON MUUTUMATU ! Xy= a kus a on on mingi nullist erinev arv ehk siis a0 pöördvõrdelise seose põhikuju on y= a : x pöördvõrdelise seose graafikuks on hüperbool. Hüperbooliks nimetatakse niisugust punktihulka tasandil, kus iga punkti kaugused kahest kindlast punktist (hüperbooli fookused) annavad jääva suurusega vahe. X=0 on nn katkevuspunkt mida nimetatakse samuti hüperbooliks . Pöörvõrdelise seose tabel ja graafik: Y = 4:x x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y -1 - 4/3 -2 -4 4 2 4/3 1
stereomeetriaks.Elementaargeomeetria lähtub kolmest põhikujundist: punktist, sirgest ja tasandist. Punkte tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega (A, B, C jne), sirgeid väikeste ladina tähtedega (a, b, c jne), tasandeid väikeste kreeka tähtedega (α, β, γ jne). Topoloogia on matemaatika haru, mis uurib kujundite omadusi, mis on invariantsed topoloogiliste teisenduste suhtes. Kujundi all mõeldakse topoloogias punktihulka, mille alamhulgad rahuldavad teatud aksioome. Neid kujundeid nimetatakse topoloogilisteks ruumideks. Topoloogia on nn kõige üldisem geomeetria. Topoloogia peamine ülesanne on tuua välja ja uurida ruumide selliseid topoloogilisi omadusi, mis ei muutu topoloogilistel teisendustel - topoloogilisi invariante. Tähtsaimate topoloogiliste invariantide hulka kuuluvad näiteks sidusus, kompaktsus, mõõde, kaal, fundamentaalrühm, homoloogiarühmad jne.Samuti selgitab ja uurib topoloogia pidevuse
x M väärtusest, täidavad tingimust - M x M , s.t. . FUNKTSIOON:. . Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Esitusviisid: Tabel, Analüütilisel kujul esitatud funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi väärtuste hulka, mille korral see valem on määratud.; F.gaafikuks nim punktihulka Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühe muutuja funktsoon, kui aga hulga X igale elemendile on vastavusse seotud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis hulgal X on määratud mitmene funktsioon Argumendi x muutumispiirkonda X nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks.
..,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Paaris- ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. Definitsioon 4
Järjestustunnus on tunnus, mille väärtusi saab sisu põhjal järjestada. Järjestustunnused kuuluvad mittearvuliste tunnuste hulka. Järjestustunnuseid saab ka esitada sõnadega, mitte ainult numbritega. Näiteks hindeid saab peale arvude ka väljendada sõnadega: väga hea, hea, keskpärane ja puudlik. 6 8. Kahe tunnuse analüüs 8.1. Hajuvusdiagramm ehk korrelatsiooniväli Korrelatsiooniväljaks nimetatakse koordinaattasandile kantud punktihulka, kus iga punkti x- koordinaadiks on mingi objekti esimese tunnuse väärtus ja y-koordinaadiks sama objekti teise tunnuse väärtus. Korrelatasioonivälja kuju järgi saab iseloomustada sõltuvust. Kahe juhusliku suuruse vahel on positiivne korrelatsioon, kui esimese suuruse kasvades kasvab ka teine suurus. Kahe juhusliku suure vahel on negatiivne korrelatsioon, kui esimese suuruse kasvades teine suurus kahaneb. Kui punktid paiknevad mingi joone ümber, siis on tegu korrelatiivse seosega
kõrgused on võrdsed. (S=0,5mn, S=ah ja P=4a) TRAPETS Nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge on mitteparalleelsed, nimetatakse trapetsiks. Trapetsi haara lähisnurkade summa on sirgnurk. Trapetsi liigid, teoreem trapetsi kesklõigust (kesklöik on paralleelne alustega ja võrdub a +b poolega nende summast), pindala ( S = h; S=kh) 2 KORRAPÄRANE HULKNURK Punktihulka, mille elementideks on tasandi osa koos seda piirava kinnise murdjoonega, nimetatakse hulknurgaks. Hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks. n( n - 3) Hulknurga diagonaalide arv on 2 Ühest tipust lähtuvad diagonaalid jaotavad hulknurga n-2 kolmnurgaks. Hulknurga sisenurkade summ on (n-2)180o. Välisnurkade summa on 360o nar
kõrgused on võrdsed. (S=0,5mn, S=ah ja P=4a) TRAPETS Nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge on mitteparalleelsed, nimetatakse trapetsiks. Trapetsi haara lähisnurkade summa on sirgnurk. Trapetsi liigid, teoreem trapetsi kesklõigust (kesklöik on paralleelne alustega ja võrdub ab poolega nende summast), pindala ( S h; S=kh) 2 KORRAPÄRANE HULKNURK Punktihulka, mille elementideks on tasandi osa koos seda piirava kinnise murdjoonega, nimetatakse hulknurgaks. Hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks. n( n 3) Hulknurga diagonaalide arv on 2 Ühest tipust lähtuvad diagonaalid jaotavad hulknurga n-2 kolmnurgaks. Hulknurga sisenurkade summ on (n-2)180o. Välisnurkade summa on 360o nar
kahe või enama tunnuse järgi. Korrelatsioon. Korrelatsioonikordaja. · Statistiline sõltuvus - muutuvad suurused on juhuslikud, igale ühe muutja võimalikule väärtusele ei vasta üksainus kindel teise muutuja väärtus. · Statistilise sõltuvuse korral saab ühe muutuja iga väärtusega seada vastavusse teise muutuja sagedusjaotuse. · Tulemuste esitamiseks kasutatakse korrelatsioonivälja: korrelatsiooniväljaks nimetatakse koordinaattasandile kantud punktihulka, kus iga punkti x- koordinaadiks on uuritava objekti esimese tunnuse väärtus ja y-koordinaadiks sama objekti teise tunnuse väärtus. Kui punktid paiknevad mingi joone ümber, siis on tegu korrelatiivse seosega. Mida lähemal on punktid joonele, seda tugevam on tunnuste vaheline seos. Lineaarse korrelatsiooni tugevust näitab Pearsoni korrelatsioonikordaja, mis on määratud järgmise valemiga: ( )( )
kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima muutumise suunda selles punktis. 29. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? Funktsiooni z = f(x;y) nivoojooneks nimetatakse punktihulka, mis rahuldab (nivoojoone) võrrandit z = C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver on nivoojoonte rakendused majanduses. Isokost annab meile kõik mahtude paarid (x, y), mille korral kulu on ühesugune. Kui lugeda Q konstantseks C (nivoojoone mõiste), siis saame võrrandi, mis esitab kõikvõimalikke (x,y) punkte, mis annavad toodangu suuruseks C
VAHEL Nurk kahe sirge vahel: Sirgete s1 ja s2 vaheliseks nurgaks nimetatakse vähimat sirgete s1 ja s2 vahelistest nurkadest 1, 2, 3 ja 4. Sirgete s1 ja s2 vahelist nurka tähistame (s1, s2) abil. Nurk kahe tasandi vahel: n1 , n 2 cos(1,2) = n1 n 2 s, n Nurk sirge ja tasandi vahel: sin(s,) = s n Sirge s ja tasandi vaheliseks nurgaks (s, ) nimetatakse sirgete s ja s vahelist nurka, s.t. (s, ) := (s, s). ' ELLIPS: Ellips Punktihulka {X} nim ellipsiks tasandil E2, kui selle hulga iga punkt X rahuldab võrrandit |F1X| + |F2X|=2a Ellipsi kanooniline reeper ristreeper {O;e1 ,e2} Ellipsi kanooniline võrrand: Punkte F1 ja F2 nimetame ellipsi fookusteks. Meie esimeseks ülesandeks on kirjeldada ära kõik ellipsi punktid. Selleks tuletame võrrandi, mida peavad rahuldama suvalise ellipsi punkti koordinaadid. Fikseerime ühe ellipsiga tihedalt seotud ristreeperi {O;e1 ,e2} järgmisel viisil:
Teised võimalused on: A (All) kogu määratud ala toomine joonestusväljale C (Center) suurendamine etteantud keskpunkti järgi D (Dynamic) käsitsi/hiirega juhitav sujuv suurendamine E (Extens) kõik, mis on joonisel, tuuakse joonestusväljale P (Previous) tagasiminek eelmisele suurendusele S (Scale) suurendatakse etteantud kordi W (Window) suurendus etteantud piirkonnast 2 GRID mõõduvõrgustiku kuvamine See käsk võimaldab luua punktihulka, mis meenutab võrgusõlmi. On ilmselge, et ruudulisele paberile on eskiisi kergem joonistada kui valgele paberile. Käsuga GRID kaetakse joonestusväli kogu esialgses ulatuses täppidest koosnevate rõht- ja püstjoontega ehk koordinaatvõrgustikuga. Kui kirjutada käsuribale: GRID Kuvatakse tekst Specify grid spacing or [ON/OFF/Snap/ Aspect] Valikuvõimalused on: Spacing(x) võresamm kasutatud ühikutes, vaikimisi senikasutatud samm ON taastab eelmise võresammu väärtuse
f ( x ) f ( 0) + x+ x ++ x 1! 2! n! Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond- Argumentide väärtuspaaride hulk, mille korral funktsioon on määratud. Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas (arvutatav), siis öeldakse, et z = f(x;y) on määratud punktis (x0;y0). Nivoojoon (nivoopind)- Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetame punktihulka, mis rahuldab nivoojoone võrrandit z=C. Enamikel funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Kui meil on kahe muutuja funktsioon, siis saame nivoojoone, kui muutujaid on 3 või enam , siis on tegemist nivoopinnaga. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni z=f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi f ( x + x; y ) - f ( x; y ) ' z nimetatakse piirväärtust lim
2! n! . Seda valemit nimetatakse Mclaurini valemiks. Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Nivoojoon(Nivoopind) Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju nivoojooni.3 muutuja funktsiooni puhul muutub nivoojoon nivoopinnaks. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus Def: Funktsiooni z = f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi nimetatakse piirväärtust f ( x + x; y ) - f ( x; y ) lim x 0 x z '
¨ Definitsioon 14. Oeldakse, et funktsioon y = f (x) (x X) on esitatud v~orrandi F (x, y) = 0 abil ilmutamata kujul, kui x X : F (x, f (x)) = 0. Ilmutamata kujul esitatud funktsiooni y = f (x) korral k~oneldakse ka v~orrandi F (x, y) = 0 lahendina hulgal X defineeritud ilmutamata funktsioonist. Ilmutamata funktsioon v~oib olla kas u ¨hene v~oi mitmene. Punktihulka {(x, y) | F (x, y) = 0 } nimetatakse v~orrandiga F (x, y) = 0 antud ilmutamata funktsiooni graafikuks. 16 V~orrandiga F (x, y) = 0 esitatud ilmutamata funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku skitseerimisel tuleb esiteks iga xi = a + ih (i = 0; 1; . . . ; n h = (b - a) /n) korral la- hendada v~ orrand F (xi , y) = 0. def
annaabi.ee 
