∀x p = ¬∃x ¬p Kõik x on p. = Pole x-i, mis on ¬p. või Pole x-i, mis ei ole p. ∃x p = ¬∀x ¬p Mõni x on p. = Pole nii, et kõik x on ¬p. 20. KATEGOORILISTE VÄIDETE ESITAMINE ÜHEKOHALISTE PREDIKAATIDE ABIL. Traditsioonilise loogika kategoorilised väited (vt. p 8 jj) on predikaatarvutuses esitatavad ühekohaliste predikaatidele rakendatud üldisus või olemasolukvantoreid või nende eitusi (vt ka eelmist punkti). Üldjaatavad laused saadakse rakendades predikaadile üldisuskvantorit või olemasolukvantori eitust predikaadi eitusele. ∀x (Sx → Px); ¬∃x (Sx & ¬Px). Üldeitavad laused saadakse rakendades üldisuskvantorit predikaadi eitusele või olemasolukvantori eitust predikaadile. ∀x(Sx→¬Px); ¬∃x (Sx & Px). Osajaatavad laused saadakse rakendades predikaadile olemasolukvantorit või üldisuskvantori eitust predikaadi eitusele. ∃x (Sx & Px); ¬∀x(Sx→¬Px).
= Iga x on ¬p. x p = ¬x ¬p Kõik x on p. = Pole x-i, mis on ¬p. või Pole x-i, mis ei ole p. x p = ¬x ¬p Mõni x on p. = Pole nii, et kõik x on ¬p. 20. KATEGOORILISTE VÄIDETE ESITAMINE ÜHEKOHALISTE PREDIKAATIDE ABIL. Traditsioonilise loogika kategoorilised väited (vt. p 8 jj) on predikaatarvutuses esitatavad ühekohaliste predikaatidele rakendatud üldisus või olemasolukvantoreid või nende eitusi (vt ka eelmist punkti). Üldjaatavad laused saadakse rakendades predikaadile üldisuskvantorit või olemasolukvantori eitust predikaadi eitusele. x (Sx Px); ¬x (Sx & ¬Px). Üldeitavad laused saadakse rakendades üldisuskvantorit predikaadi eitusele või olemasolukvantori eitust predikaadile. x(Sx¬Px); ¬x (Sx & Px). Osajaatavad laused saadakse rakendades predikaadile olemasolukvantorit või üldisuskvantori eitust predikaadi eitusele. x (Sx & Px); ¬x(Sx¬Px). Osaeitavad laused saadakse rakendades predikaadi eitusele olemasolukvantorit või
või lisandeid, mida mina pean sünteetilisteks otsusteks. Kant ütleb, et kõigi analüütiliste otsustuste ühisprintsiibiks on vasturääkivuse seadus. Samuti on need otsustused oma loomult kõik aprioorsed. Ta seletab oma veendumust sellega, et kui jaatava analüütilise otsustuse predikaati mõeldakse juba eelnevalt subjekti mõistes, siis ei saa teda eitada, ilma et ei satutaks vasturääkivusse Samuti tuleb sellele predikaadile vastupidist eitada subjekti suhtes. Näitena toob ta selle, et kui iga keha on ulatuvuslik, siis ükski keha pole mitteulatuvuslik. Mina saan sellest näitest aru nii, et hetkel on ta lause teist poolt käänanud sedasi, et ei tekiks vasturääkivust. Kui ta ütleb, et ükski keha pole mitteulatuvuslik, siis see tähendabki, et iga keha on ulatuvuslik. Ükski keha pole = iga keha on, pole mitteulatuvuslik = on ulatuvuslik. Selles lauses mängib öeldis suurt rolli
lauseks ja predikaat Qx vääraks lauseks. Predikaatide Px ja Qx ekvivalents on predikaat Px Qx, mis muutub tõeseks lauseks nende ja ainult nende indiviidide korral, mille korral predikaadid Px ja Qx omandavad samu tõeväärtusi. Predikaadist Px järeldub predikaat Qx, kui predikaat Qx muutub tõeseks vähemalt kõigi nende indiviidide xX korral, mille korral muutub tõeseks predikaat Px. Üldisuskvantori rakendamine ühekohalisele predikaadile Px, kus xX, muudab selle predikaadi lauseks: Igal x-il on omadus Px ehk Iga x korral P. Näiteks võtame predikaadi A(x), kus xN (,,x on algarv", x kuulub naturaalarvude hulka). Üldisuskvantori rakendamisel saame lause: x(xN)Ax ehk x(xN)A(x) ehk x Ax, mida võiks antud juhul lugeda: Iga naturaalarv on algarv ehk Kõik naturaalarvud on algarvud. See üldjaatav lause on väär. Olemasolukvantori rakendamine ühekohalisele predikaadile Px, kus xX, muudab
olemasolevaid teadmisi. Kõik analüütilised otsustused on oma olemuselt aprioorsed tunnetused. Sellised otsustused ongi näiteks: „Kõik ruudud on nelinurksed ning kõikidel kehadel on ulatuvus“. Mõiste ruut sisaldab juba endas nelinurksust ja seega ei saanud me mitte midagi uut teada. Sünteetiline otsustus on aga selline, mis avardab meie teadmisi. Subjekti mõistes mõeldav tunnetuslik sisu pole kunagi täielik ehk mõeldakse ainult osa tunnetuslikku sisu. Tänu predikaadile toimub subjekti mõistes mõeldud sisu pidev täpsustamine uute määratluste lisamise teel. Sünteetiliste otsustuste moodustamiseks tuleb väljuda subjekti mõistest ja pöörduda kinnituse saamiseks kogemuse poole. Selliseks näiteks võib olla 7+5=12. Meile võib algselt tunduda, et see summa on kahe arvu ühendamine üheks arvuks, kuid algselt me ei mõtle missugune see tulemus on. Võttes appi abivahendi kaemuse ja liidame järk-järgult ühele ühikule teise, jõuame tulemuseni.
Milline on väär? Olemasolukvantor tõstetakse üldisus-kvantori ette või vastupidi 41.Terminit (mõisteväljendit), mida võib kasutada viitamaks erinevatele tähendustele nimetatakse Ekvivookseks 42.Üldjaatav ja üldeitav väide erinevad alati teineteisest …. Väite kvaliteedi tõttu. 43.Suurtermin on termin (mõisteväljend), mis esineb kategoorilise süllogismi … Suuremas eelduses ja lõppjärelduses 44.Ilma eituseta olemasolukvantori rakendamine lunaarsele predikaadile tekitab … Osajaatav või osaeitav lause. 45.Väidetesüsteem on kooskõlaline parajasti siis, kui … See pole vastuoluline 46.Üldeitavast väitest saab pärast ümber pööramist … väide. Üldeitav 47.Kehtivas tingiv-kategoorilises süllogismis: Väljendab teine eeldus alternatiivi. 48.Eroteetilises loogikas peetakse vastuseks … Ainult asjakohast (küsija seisukohalt lähtudes) verbaalset vastukaja. 49.Materiaalne implikatsioon on alati tõene siis, kui:
funktsioonidena, iga lausearvutuse tehe on Boole'i funktsioon Venni diagrammide leidmine tähendab, et viime vaadeldavad avaldised TDNK-le, et neid saaks võrrelda 3. PREDIKAADID JA KVANTORID Hulgal M määratud n-kohaliseks predikaadiks nimetatakse kujtust P: Mn -> {1,0} o Hulka, millel predikaat on määratud, nimetatakse selle predikaadi indiviidide piirkonnaks o Vastavalt predikaadi definitsioonile saame igale predikaadile seada vastavusse tema tõesuspiirkonna = { (1, ... , ) |P(1, ... , ) = } Olgu P(1, ... , ) hulgal defineeritud -kohaline predikaat. Siis iga korral tähistavad P(1, ... , ) ja P(1, ... , ) järgmisi ( - 1)-kohalisi predikaate: o P(1, ... , ) = {t, kui x1, ..., xi-1, xi+1, ..., xn on hulga M sellised elemendid, et iga xiM korral P(1, ... , )=t o P(1, ... , ) = {t, kui x1, ..., xi-1, xi+1, ..., xn on hulga M sellised
Kuna üksiktermin rakendub vaid ühele objektile, siis see objekt moodustab ühest elemendist koosneva termini mahu. Üksikväite subjekt haarab paratamatult kogu oma mahu ja sarnaneb selle poolest üldväitega. Selline käsitlusviis õigustab ennast nt süllogistikas, kuid ei sobi hästi loogilise ruudu jaoks. Terminite mahtude reeglite mõistmiseks võib appi võtta Euleri diagrammid (ringid). Euleri ringid tähistavad järgnevalt loogilistele lauseliikmetele subjektile (S) ja predikaadile (P) vastavate mõisteväljendite mahtusid. Üldjaatav väide (Kõik S on P) on tõene kahel juhul: Joonis 4.2. Euleri diagramm üldjaatava väite subjekti ja predikaadi mahtude kohta. On vaid kaks võimalust: kas subjekti ja predikaadi mahud on kokkulangevad (subjekti ja predikaadi mahud on identsed) või moodustab subjekti maht vaid osa predikaadi mahust (subjekt on predikaadi suhtes alluv termin). Kõiki olukordi haarab valem S+aP–. S on mõlemal juhul piiritletud (täies mahus)
Kvantorid ∀ ja ∃ sobivad seega predikaadi P (x) kehtestatavuse Eksistentsikvantorit saab ka "eitada": ∃x "ei leidu . . ." täpsustamiseks nii lõpliku määramispiirkonna kui ka lõpmatult suure Hüüumärgiga eksistentsikvantor ∃! x väidab seotud muutuja kohta: määramispiirkonna korral. "leidub täpselt üks . . ." Kui predikaadile P (x) on rakendatud kvantorit, siis ta omandab kohe tõeväärtuse (tõene või vale) ja ta tõeväärtus ei olene enam Kvantorid ∀ ja ∃ on omavahel seotud järgneva samaväärsusega: predikaatmuutujale x omistatud konkreetsest väärtusest. __ __ ∀ x P ( x) ≡ ∃ x P ( x)
Kuna üksiktermin rakendub vaid ühele objektile, siis see objekt moodustab ühest elemendist koosneva termini mahu. Üksikväite subjekt haarab paratamatult kogu oma mahu ja sarnaneb selle poolest üldväitega. Selline käsitlusviis õigustab ennast nt süllogistikas, kuid ei sobi hästi loogilise ruudu jaoks. Terminite mahtude reeglite mõistmiseks võib appi võtta Euleri diagrammid (ringid). Euleri ringid tähistavad järgnevalt loogilistele lauseliikmetele subjektile (S) ja predikaadile (P) vastavate mõisteväljendite mahtusid. Üldjaatav väide (Kõik S on P) on tõene kahel juhul: Joonis 4.2. Euleri diagramm üldjaatava väite subjekti ja predikaadi mahtude kohta. On vaid kaks võimalust: kas subjekti ja predikaadi mahud on kokkulangevad (subjekti ja predikaadi mahud on identsed) või moodustab subjekti maht vaid osa predikaadi mahust (subjekt on predikaadi suhtes alluv termin). Kõiki olukordi haarab valem S+aP. S on mõlemal juhul piiritletud (täies mahus)
Keel ise välistab metafüüsika. Filosoofia ülesanne: luua selline keel, kus metafüüsika tekkimine on võimatu. Filosoofia identiteedi koht siin. Metafüüsilised pseudolaused (alates 1865): Mille poolest antimetafüüsika vorm erineb varasemast. Kogu metafüüsika mõttetus (1866): Eksistentsimärk – saab rakendada ainult predikaatidele. Tavakeel on ebatäiuslik – seal kus me ütleme „on“, seal ei tule välja, kas tegemist on eksistentsilausega või omistamine predikaadile. Loogiliselt täiuslik keel suudab eristada seda, mida tavakeel ei suuda – kas on predikaadi omistamine või eksistentsilause. Descartesi näide (1867). Ma mõtlen tähendab, et eksisteerib miski, mis mõtleb. Traditsiooniline kuulus filosoofia lause – kui rakendada loogika vahendeid ja teha eristusi, siis asi muutub selgemaks. Teine sage eksimus loogilise süntaksi vastu on mõistete tüübieksitus (1868). Grammatika ei kategoriseeri üksikasjalikult algarve vms
annaabi.ee 
