Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga 1, saame võrratuse x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi x2 x 6 0 lahendid, milleks on x1 = -2 ja x2 = 3. Näide 1 Kanname need lahendid x-teljele ning tõmbame läbi punktide 2 ja 3 parabooli, mis avaneb ülespoole. -2 3 x Viirutame teisendusega saadud abivõrratuse positiivsuspiirkonna (x teljest ülalpool oleva piirkonna). Jooniselt leitud abivõrratuse positiivsuspiirkond ongi lähtevõrratuse lahend. Antud võrratuse lahendihulk on X (;2) (3; ) Intervallimeetod Võrratusi kujul ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0 kus x1 x2 x3 on võrratuse nullkohad, saab lahendada intervallimeetodil. Praktiliselt kujuneb võrratuse lahendamine intervallmeetodil järgmiseks: kanname võrratuse nullkohad (antud juhul x1, x2, x3 ) x teljele,
Funktsiooni määramispiirkond (X) on sõltumatu muutuja e. argumendi x väärtuste e. funktsiooni väärtuste hulk. Funktsiooni muutumispiirkond (Y) on sõltuva muutuja y väärtuste hulk. Funktsiooni esitusviisideks on valem e. analüütiline esitus, graafik, tabel, arvupaarid ning nooldiagramm. Argumendi väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on 0 nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks (X0). Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata punktid, kus f(x) = 0. Funktsiooni positiivsuspiirkonna (X+) moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata punktid x, kus f(x) > 0. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna (X-) moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata punktid x, kus f(x) < 0.
Funktsiooni muutumispiirkond Y sõltumatu muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) = x(2) muutumispiirkond on kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk. 11. Funktsiooni nullkohad argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on 0, nimetatakse nullkohtadeks. Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) = 0. Funktsiooni positiivsuspiirkond funktsiooni positiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) > 0. Funktsiooni negatiivsuspiirkond funktsiooni negatiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) < 0. 12
Kasvavaks nimetatakse funktsiooni y=f(x) vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi
väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x1
2 Lahendame vastava ruutvõrrandi: u 2 + 20u -125 = 0, u = -10 ± 10 2 +125 = -10 ±15 u1 = -10 -15 = -25, u 2 = -10 +15 = 5. Ülesanne 3 (III) Ruutvõrratuse lahendi leidmiseks skitseerime funktsiooni v = u 2 - 20u +125 graafiku: v -25 5 u Ruutvõrratuse lahendiks loeme graafikult ruutfunktsiooni positiivsuspiirkonna: u < -25 või u > 5, kuna aga u = 5x > 0, siis vasakpoolne piirkond ( u < -25) on võõrlahendite hulk. Ülesanne 3 (IV) Parempoolsest piirkonnast saame lahendihulga, minnes tagasi esialgsele muutujale: u = 5 x > 5 = 51 Ühest suurema alusega eksponentfunktsioon on kasvav, seetõttu on viimane võrratus samaväärne võrratusega x > 1, mis ongi lahendatava võrratuse lahendihulgaks.
X = (- ; + ) 2) katkevuspunktid Funktsioon on kõikjal pidev, katkevuspunktid puuduvad. 3) nullkohad Nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi f (x) = 0 3 x3 - 6x 2 = 0 x3 - 6 x 2 = 0 x 2 ( x - 6) = 0 x1, 2 = 0 ; x3 = 6 X 0 = {0;6} 4) paaris, paaritu või perioodiline Ei paaris, paaritu, ega perioodiline. 22 Funktsiooni uurimine 5) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse f (x) > 0 3 x3 - 6x 2 > 0 x 2 ( x - 6) > 0 Kasutame intervallimeetodit 0 6 Jooniselt näeme, et X + = (6; ) X - = {(- ;0 ); (0;6 )} 23 Funktsiooni uurimine 6) monotoonsuse piirkonnad, ekstreemumid Leiame funktsiooni f (x) kriitilised punktid x-4
Kui a = 0 , siis saadakse arvvõrratus (see ei ole lineaarvõrratus). Tõese arvvõrratuse lahenditeks on kõik reaalarvud. Mittetõese arvvõrratuse puhul lahendid puuduvad. 2.11 Ruutvõrratus Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust ax 2 + bx + c > 0 või ax 2 + bx + c < 0 ( ka 0 või 0 ). Näiteks ruutvõrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I. D>0 (D=b 2 - 4ac ) . Ruutvõrrandil on kaks erinevat lahendit x1 ja x 2 . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on võrratusel ax 2 + bx + c > 0 järgmised lahendid: 12 a >0 a <0
Kui a 0 , siis saadakse arvvõrratus (see ei ole lineaarvõrratus). Tõese arvvõrratuse lahenditeks on kõik reaalarvud. Mittetõese arvvõrratuse puhul lahendid puuduvad. 2.11 Ruutvõrratus Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust ax 2 bx c 0 või ax 2 bx c 0 ( ka 0 või 0 ). Näiteks ruutvõrratuse ax 2 bx c 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y ax 2 bx c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I. D0 Db 2 4ac . Ruutvõrrandil on kaks erinevat lahendit x1 ja x 2 . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on võrratusel ax 2 bx c 0 järgmised lahendid: 12
x b a Lahendid puuduvad. 3.17 Ruutvõrratus Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust ax 2 + bx + c > 0 või ax 2 + bx + c < 0 ( ka ≥ 0 või ≤ 0 ). Näiteks ruutvõrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I. Kui b 2 − 4ac > 0 , siis on ruutvõrrandil kaks erinevat lahendit x1 ja x 2 . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkond ehk võrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendid järgmised: a>0 a<0
annaabi.ee 
