ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv. Ridade ja veergude lineaarne sõltuvus on tarvilik ja piisav tingimus selleks, et determinandi väärtus oleks samane nulliga. Crameri peajuhtum Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju. · Moodustame tundmatute ees olevatest kordajatest n- järku determinandi. · D 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist. · Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend, mis avaldub valemiga xn = Dn/D Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele. D = 0, siis selleks, et l.v.s oleks lahend ka sellisel juhul, peavad kehtima tingimused D 1 = D2 = ...=Dn, sellisel juhul on l.v.s rohkem kui üks lahend. Determinanti on võimalik arendada tema suvalise rea/veeru järgi. Kompleks arvutus
abil. Dk Xk = , k = 1,2 ....n, DA kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ; 2) tundmatute kordajatest moodustatud determinant on nullist erinev. Carmeni peajuhul on vorrandisusteemil uksainus lahend ja tundmatud avalduvad determinantide jagatisena: Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem: 2 x1 - 4 x 2 + 3 x3 = 1 x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 4 . 3x - 5x + 4 x = 1 1 2 3 2 - 4 3 1 3 2 3 -5 4 DA = = -6; 1 - 4 3 D1 = 4 3 2 = 9; 1 -5 4 2 1 3 D2 = 1 4 2 = -3; 3 1 4 2 - 4 1 D3 = 1 3 4 = -12, 3 -5 1
Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tundmatute arv võrdub võrrandite arvuga 2)võrrsüs kordajate maatriksi determinant erineb nullist. Crameri peajuhul {a11x1+.. +a1nxn=b1 ..;.. an1x1+.. +annxn=bn kusjuures süsteemi maatriksi determinant D=/0. Crameri peajuhul on lvs-il üks lahend, mille saab valemiga Xi=Di/D, i=1...n kus Di on det, mis on saadud det-s D i-nda veeru asendamisel lvs-i vabaliikmete veeruga. LVS lahendamiseks kasutatakse põhiliselt meetodit, kus olemasolev lvs asendatakse uue lihtsama lvsiga, millel on sama lahendihulk. Def. Öeldakse, et kaks lvs-i on ekvivalentsed, kui neil on samad lahendihulgad
Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu. See omadus lubab kõiki ridadele saadud omadusi kanda üle ka veergudele. Omadus 2. Kui determinandis kaks rida (või veergu) ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. Omadus 3
. . + a2nxn = a2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai , ................................. an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = an, ja tema maatriks a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= ........... an1 an2 . . . ann on regulaarne, s.t. |A| 0. Crameri valemid lahendi avaldamiseks Crameri peajuhul- Tähistame D := |A| ning Di := a11 . . . a1,i-1 a1 a1,i+1 . . . a1n a21 . . . a2,i-1 a2 a2,i+1 . . . a2n ..................... an1 . . . an,i-1 an a1,i+1 . . . ann , iga i Nn. Viimases valemis on determinandi arvutamisel i -s veerg maatriksis A asendatud vabaliikmete veeruga. Crameri valemid: xi =Di/D iga i Nn. |A|=D 0 ,m=n SUUNATUD LÕIKUDE VEKTORRUUM: Kidunud lõik juhtum, kus lõigu algus ja lõpp punkt langevad kokku
orran- di Ax = 0 parajasti u¨ks lahend, selleks on x = A-1 0 = 0. 4 Crameri peajuht ja valemid 4.1 Crameri peajuht ¨ Oeldakse, et LVS-i korral on tegemist Crameri 1 peajuhuga, kui 1) tundmatute arv v~ordub v~ orrandite arvuga, 2) s¨ usteemi maatriksi determinant erineb nullist. 4.2 T¨ ahistusi Crameri peajuhul on LVS j¨ argmise kujuga: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a x + a x + · · · + a x = y 21 1 22 2 2n n 2 ................................. a x + a x + · · · + a x = y n1 1 n2 2 nn n n 1 Gabriel Cramer (1704 - 1752), sveitsi matemaatik IV. Lineaarv~ orrandisu
Kuna 2 1 2 Kontroll: Asendame leitud muutujad algsüsteemi: 2 2 3 1 = 1 4 2 + 1 = 9 43=1 8+1=9 1=1 9=9 Vastus: x1 = 2, x2 = 1. II. Crameri peajuhtum ja Crameri valemid. Crameri peajuhtumi korral süsteemil (6.1) on võrrandeid sama palju kui tundmatuid ( m = n ). Olgu süsteemi (6.1) kordajate maatriksi determinant det A 0. Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend. a11 a12 a1 i -1 b1 a1 i +1 a1 n det xi = , an 1 a n 2 a n i -1 bn a n i +1 a n n Tähistame kus i kohal on vaba liikme veerg. LVS (1) saab lahendada Crameri valemitega: det xi xi = det A , (6.5)
2 2 3 1 = 1 4 2 + 1 = 9 43=1 8+1=9 1=1 9=9 Vastus: x1 = 2, x2 = 1. II. Crameri peajuhtum ja Crameri valemid. Crameri peajuhtumi korral süsteemil (6.1) on võrrandeid sama palju kui tundmatuid ( m = n ). Olgu süsteemi (6.1) kordajate maatriksi determinant det A 0. Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend. a11 a12 a1 i -1 b1 a1 i +1 a1 n Tähistame det x i = , an 1 an 2 a n i -1 bn a n i +1 an n kus i kohal on vaba liikme veerg. LVS (1) saab lahendada Crameri valemitega: det xi
annaabi.ee 
