Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed CRAMERI peajuhtum m= n ja D 0 Xn = Dn / D Lugejas olev det Dn tuletatakse det D kindla rea kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga. Kompleksarvud X2 + 1 = 0 X2 = -1 x=i i2 = -1 i = sqrt(-1) = =a+b*i kui b 0, siis on imaginaararv (kompleksarv) kui a = 0, siis on puhtimaginaararv kui b = 0, siis on reaalarv DEF 1: Kui hulga H korral on määratud teatav tehe või arvutusop f ning kui siis selle hulga H
determinandi väärtus tema peadiagonaali elementide korrutisega ehk pealiikmega. Om10 Determinandi väärtus võrdub nulliga parajasti siis ( siis ja ainult siis), kui selle determinandi ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv. Ridade ja veergude lineaarne sõltuvus on tarvilik ja piisav tingimus selleks, et determinandi väärtus oleks samane nulliga. Crameri peajuhtum Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju. · Moodustame tundmatute ees olevatest kordajatest n- järku determinandi. · D 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist. · Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend, mis avaldub valemiga xn = Dn/D Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele
8. x1'=x2'=x3'=0' (nõuab, et baasivektorid sõltuv. oleksid lineaarselt sõltumatud.) Crameri peajuhtum: Determinantide abiga saab lahendada a*=e Punktide hulga, vektorite hulga ja reaalarvude hulga ühendit, lvs, kus tundmatuid ja võrrandeid on ühe ja samapalju. kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralist süsteemi nimetatakse mille korral on rahuldatud aksioomide 1-4 ja 1-6 nõudeid nim.
Pn(x)/Qm(x), n
DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, siis öeldakse, et tegemist on CRAMERI PEAJUHTUMIGA, st m = n ; |A | 0. TEOREEM (1750). Kui on tegemist Crameri peajuhtumiga, siis lahendub lineaarne võrrandisüsteem alati. See lahend on üheselt määratud ja tundmatud xi avalduvad selliste determinantide suhetena, kus nimetajaks
DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, siis öeldakse, et tegemist on CRAMERI PEAJUHTUMIGA, st m = n ; |A | 0. TEOREEM (1750). Kui on tegemist Crameri peajuhtumiga, siis lahendub lineaarne võrrandisüsteem alati. See lahend on üheselt määratud ja tundmatud xi avalduvad selliste determinantide suhetena, kus nimetajaks
Siis X = A B. = - 1 14 - 4 2 9 14 - 4 + 18 14 14 1 x1 2 = X = x 1 , siis x = 2, x = 1 . Kuna 2 1 2 Kontroll: Asendame leitud muutujad algsüsteemi: 2 2 3 1 = 1 4 2 + 1 = 9 43=1 8+1=9 1=1 9=9 Vastus: x1 = 2, x2 = 1. II. Crameri peajuhtum ja Crameri valemid. Crameri peajuhtumi korral süsteemil (6.1) on võrrandeid sama palju kui tundmatuid ( m = n ). Olgu süsteemi (6.1) kordajate maatriksi determinant det A 0. Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend. a11 a12 a1 i -1 b1 a1 i +1 a1 n det xi = , an 1 a n 2 a n i -1 bn a n i +1 a n n Tähistame kus i kohal on vaba liikme veerg. LVS (1) saab lahendada Crameri valemitega:
14 - 4 2 9 14 - 4 + 18 14 14 1 x1 2 Kuna = X = , siis x1 = 2, x2 = 1 . x2 1 Kontroll: Asendame leitud muutujad algsüsteemi: 2 2 3 1 = 1 4 2 + 1 = 9 43=1 8+1=9 1=1 9=9 Vastus: x1 = 2, x2 = 1. II. Crameri peajuhtum ja Crameri valemid. Crameri peajuhtumi korral süsteemil (6.1) on võrrandeid sama palju kui tundmatuid ( m = n ). Olgu süsteemi (6.1) kordajate maatriksi determinant det A 0. Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend. a11 a12 a1 i -1 b1 a1 i +1 a1 n Tähistame det x i = ,
annaabi.ee 
