Y - TELJE SUHTES 10 Nullkoht on punktis ( 0 ; 0 ) 5 Haripunkt on punktis ( 0 ; 0 ) 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 Ruutfunktsioon y = ax² Ruutliikme kordaja on a 10 y Graafikut nimetatakse 8 PARABOOLIKS 6 Graafik avaneb ÜLES, kui a > 0 Graafik avaneb ALLA, kui a < 0 4 Graafik on põhiparaboolist 2 x KITSAM, kui a > 1 -6 -4 -2 0 0 2 4 6
Ruutfunktsioon Across 4. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse Parabooliks 6. c on ? Vabaliige 7. bx on Lineaarliige 8. Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse Haripunktiks Down 1. funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega nimetatakse Ruutfunktsiooniks 1. Parabool avaneb üles, kui kordaja a on Positiivne 2. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks 3. Parabool avaneb alla, kui kordaja a on Negatiivne MARI LIIS LEPPOJA
võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks. Nendes punktides on funktsiooni väärtus 0. Sirge võrrand Sirge võrrandi üldkuju on y=ax+b Võrrandi lahendi leidmiseks on antud kaks punkti A(a;b) ja B(c;d), mis asuvad ühel sirgel. =
· Lõikab x-telge A1(-a,0) ja A2(a,0) · Ei lõiku y-teljega. · Assümtootideks nim sirgeid, millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Assümtoote on 2. . x=a, x=-a; y=-b, y=b. Hüperbooli ekstsentrilisus Risthüperbooliks nim hüperbooli, mille reaal-ja imaginaartelg on võrdsed a=b. 2a- reaaltelg (a-reaalpooltelg) 2b- imaginaartelg (b-imaginaarne pooltelg) Parabool Parabooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus antud punktist ja antud sirgest on võrdne. Mainitud punkti nim parabooli fookuseks ja sirget parabooli juhtsirgeks. Fookuste kaugus juhtsirgest tähistatakse p ja nim parabooli parameetriks. F(0; p/2) fookuse koordinaadid y= -p/2 juhtsirge võrrand 2p- fokaallaius Paraboolil, mille sümmetriatelg on x-telg, mille haripunkt on punktis (0,0), mille juhtjooneks on x=-p/2 ja fookus punktis (p/2;0) on võrrandiks y2=2px.
Teljed Lõigu AB pikkust nimetatakse hüperbooli reaalteljeks. Nimetame telge CD imaginaarteljeks Poolteljed Nelja lõiku AO, OB ja CO, OD ning nende pikkusi a ja b nimetame hüperbooli pooltelgedeks 13 Asümptoodid Sirgeid s1, s2, mis on määratud võrranditega nimetatakse hüperbooli asümptootideks Reaaltelg Lõigu AB pikkust nimetatakse hüperbooli reaalteljeks. Parabool Parabooliks nimetatakse tasandilist joon, mille iga punkt P asub võrdsel kaugusel sirgest l ja punktist F, st parabooli iga punkt P rahuldab tingimust r = d, kus r on kaugus punktide P ja F vahel, d on punkti P kaugus sirgest l. Parabooli kanooniline võrrand Parabooli fookus Punkti F nimetatakse parabooli fookuseks Sümmeetriateljed Sirge, mis läbib punkti F ja on risti sirgega l, on parabooli sümmeetriatelg Tipud Parabooli lõikepunkti sümmetriateljega nimetatakse parabooli tippuks.
Hüperbooli omadused: 1. hüperbool on sümmetriline x-telje, y-telje ja nullpunkti suhtes. 2. hüperbool lõikab x-telge punktides A1(-a;0) ja A2(a;0) y-telge hüperbool ei lõika. Hüperbooli asümptoodiks nim sirget millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Risthüperbooliks ehk võrdhaarseks hüperbooliks nim hüperbooli mille reaal- ja imaginaartelg on võrdsed, (a=b). Siit järeldub, et risthüperbooli asümptoodid ristuvad. Parabool Parabooliks nim tasandi niisuguste punktide hulka mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks. x²=2py so parabooli kanooniline võrrand. Selle võrrandiga antud parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja tema tipp ehk haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes.
Mida suurem on e, seda aeglasemalt eemalduvad hüperbooli vasak- ja parempoolne haru teineteisest. 6. Hüperbooli parameetrilised võrrandid on x=+-acosht ja y=+-sinht, t[0,2 ]. 7. Kui hüperbooli sümmeetriakeskpunkt on punktis P0(x0,y0) on hüperbooli võrrandiks (x-x0) 2/a2 (y-y0) 2/b2=1, üldvõrrandiks Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, kus A ja C on eri märgiga ja parameetrilisteks võrranditeks x=x0+- acosht ja y=y0+-bsinht, t[0,2 ]. II järku jooned. Parabool Def. Parabooliks nimetatakse tasapinna R2 niisuguste punktide geomeetrilist kohta, mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist F, mida nimetatakse fookuseks ja antud sirgest L, mida nimetatakse juhtjooneks. Parabooli fookuse F kaugust juhtjoonest L tähistatakse 2r. Kanooniline võrrand y=ax2.Parabooli omadused: 1. Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes, s.t. kui f(x) =ax2, siis f(-x) = f(x). 2. Parabooli tipp ehk haripunkt asub koordinaatide alguses. 3
Hüperbooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kauguste vahe kahest etteantud punktist F1 ja F2 on jääv suurus 2a, st | |F1P| - |F2P| |= 2a. Punkte F1 ja F2 nim hüperbooli fookusteks. Hüperbool on teist järku joon, mille iga punkti kauguste vahe fookustest on absoluutväärtuselt konstantne. Koordinaatkuju: Kanooniline võrrand: 27. Parabool (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused) Parabooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kaugused etteantud sirgest s ja sellel mittekuuluvast punktist F on võrdsed. Sirget s nim selle parabooli juhtjooneks, punkti F aga fookuseks. Teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud juhtjoonest võrdsel kaugusel. Kanooniline võrrand: 28. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid.
Selleks rimisekssobivadjoonistel5.16ja 5.18esitatud asendatakse antud k6verpind niisuguse niited. Neljandatjdrku ruumik6verad projektee- tahukaga,milletahkudearv on kUllaltsuurja ruvadneiljuhtudelpindadeUhises0mmeetria- tahudkullaltkitsad.Nii saadudtahukalaotus tasandiga paralleelseleekraanile vastavalt osutub antud k6verpinna ligikaudseks parabooliks ja hUperbooliks. laotuseks. 31 Xui kaks teist jfirku pinda puudutavad uhte ja sama kolmandatteist jiirku pinda joonim66da,siisneedkakspindal6ikuvad kahte teist j:irku joont m66da, mille tasandid l*ibivad puutejoonte tasandite (Monge'iteoreem). l6ikesirget Selle teoreemiolemustselgitabjoonis 5.19. Unise puutesfddriga (v6rdse lribim66duga) silindrite l6ikejoonlagubkaheksellipsiks.
kust Siit saamegi vaadeldava hüperbooli võrrandi Iga hüperbooli jaoks saab määrata tema kaashüperbool, kus sümmeetria teljed on ära vahetatud ja kaldasümptoodid on samad. Kaashüperbooli võrrand on Kaasahüperbooli fookusteks on punktid (0;c), (0,-c), kus . Seega mõlema hüperbooli fookused asuvad ringjoonel . 33. Parabool Definitsioon. Olgu tasandil fikseeritud sirge u ja väljaspool seda sirget punkt F. Parabooliks nimetatakse kõigi selliste punktide P hulka tasandil, mille kaugus sirgest u võrdub tema kaugusega punktist F: (1) Punkti F nimetatakse vaadeldava parabooli fookuseks, sirget u aga tema juhtjooneks. Seega parabooli korral Olgu p juhtjoone ja fookuse vaheline kaugus. Valime juhtjooneks u sirge võrrandiga x = -p/2 2 ja fookuseks punkti F(p/2; 0). Kirjutame ümber juhtjoone võrrandi sirge üldvõrrandina:
annaabi.ee 
