kujul y'+p(x)y=q(x), kus p ja q on teadaolevad argumendi x funktsioonid. Olgu funktsioonid p(x) ja q(x) määratud vahemikus(a, b), siis diferentsiaalvõrrandit: y'+p(x)y=q(x) nimetame lineaarseks mittehomogeenseks diferentsiaalvõrrandiks. Kui q(x)0, siis nimetame vastavat võrrandit lineaarseks homogeenseks diferentsiaalvõrrandiks 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku diferentsiaalvõrrand on esitatav kuju y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ ... + pn-1y'+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi
Kui q(x)≡0, siis nimetame vastavat võrrandit lineaarseks homogeenseks diferentsiaalvõrrandiks.) kus Yk on vastava homogeense võrrandi üldlahend (2) ja Yo on võrrandi (4) mingi erilahend. Erilahendi leidmiseks võib kasutada konstantide varieerimise meetodit või määramata kordajate meetodit. 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku diferentsiaalvõrrand on esitatav kuju y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ … + pn-1y’+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi
Saadav võrrand ei pruugi olla lineaarne ning pole alati lahendatav. Kui on teada teist järku homogense DV p0(x)y’’+p1(x)y’+p2(x)y=0 üks lahend y1≠0 saab leida veel teise laendi y2(x), nii et y1 ja y2 moodustavad võrrandi lahendite fundamentaalsüsteemi. y2 saab võrrandist y’y1-yy1’ = C1e∫p1(x)/p0(x)dx. Vaatame võrrandit kujul Ly=0 ehk p0yn + p1y(n-1) + ... + pny = 0, kus suurused pi on konstandid. Võrrandil võiks leiduda lahend kujul y = eλx. Asendame y ning selle tuletised y’ = λeλx ... y(n) = λ(n)eλx võrrandisse saame p0λ(n)eλx + p1λ(n-1)eλx0 + ... + pneλx = 0 eλx(p0λ(n) + p1λ(n-1) + ... + pn) = 0 Korrutis saab olla 0 kui üks teguritest on 0. Et eλx ≠ 0, siis peab sulgavaldis olema 0. Võrrandit kujul
ks. Asendusega z = y-(n-1) saame lineaarse DV. xi (). Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid. Olgu funktsioon q(x) määratud vahemikus (a,b) ning p = (p0,p1,...,pn) c Rn+1, siis diferentsiaalvõrrandit pny(n) + ... + p1y' + ... p0y = Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. q(x) nimetame n-järku lineaarseks konstantsete kordajatega mittehomogeenseks DV-ks. Kui q(x) = 0, siis nimetame vastavat Definitsioon. Funktsioon u = f(x,y,z) suunatuletiseks punktis P(x,y,z) vektor l = (,,) suunas nimetatakse suurust lim võrrandit n-järku lineaarseks konstantsete kordajatega homogeenseks DV-ks
Teist liiki joonitegraali ja kahekordse integraali seos. Tuletada Greeni valem. Kui funktsioonid X ja Y ning diferentsiaalvõrrand on esitatav kuju nende osatuletised Xyja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Γ on tükiti sile, siis kehtib Rühmitame selle avaldise liikmed y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=0. Mittehomogeense
järgu alandamisega. Kasutatakse asendust y’=yz, siis y’’=y(z’+z 2) jne. Saadav võrrand ei pruugi olla lineaarne ning pole alati lahendatav. Kui on teada 2. Järku hom DV p 0(x)y’’+p1(x)y’+p2(x)y=0 üks lahend y1≠0 saab leida veel teise laendi y 2(x), nii et y1 ja y2 moodustavad võrrandi lahendite fs. y 2 saab võrrandist y’y1- yy1’=C1e∫p1(x)/p0(x)dx. Vaatame võrrandit kujul Ly=0 ehk p0yn+p1y(n-1)+...+pny=0, kus suurused fi on konstandid. Võrrandil võiks leiduda lahend kujul y=e λx. Asendame y ning selle tuletised y’=λ e λx...y(n)=λ(n)eλx võrrandisse saame p0λ(n)eλx+p1 λ(n-1)eλx0+...pneλx=0. eλx(p0λ(n)+p1 λ(n-1)+...pn)=0. Korrutis saab olla 0 kui üks teguriteks on 0. Et eλx≠0, siis peab sulgavaldis=0. Võrrandit kujul p 0λn+p1λn-1+...pn=0 nim kar võrrandiks. Kui kar väärtused λ 1... λn
4. -d on erinevate märkidega ja q 0 hüperboolne silindriline pind 5. -d on erinevate märkidega ja q = 0 lõikuvad tasandid B p 0 ja q ükskõik milline 1. -d on sama märgiga elliptiline paraboloid 2. -d on erinevate märkidega hüperboolne paraboloid (sadulpind) III kaks on nullid (2 = 0 3 = 0 ) võrrandi kuju 1 X 2 + 2 p1Y + 2 p 2 Z + q = 0 A p1 = 0 ja p2 = 0 1. ja q on erinevate märkidega paralleelsed tasandid 2. ja q on sama märgiga imaginaarsed tasandid 3. q=0 ühtivad tasandid B kas p1 või p2 võrdub nulliga (p=0) paraboolne silindriline pind 10
4. -d on erinevate märkidega ja q 0 hüperboolne silindriline pind 5. -d on erinevate märkidega ja q = 0 lõikuvad tasandid B p 0 ja q ükskõik milline 1. -d on sama märgiga elliptiline paraboloid 2. -d on erinevate märkidega hüperboolne paraboloid (sadulpind) III kaks on nullid (2 = 0 3 = 0 ) võrrandi kuju 1 X 2 + 2 p1Y + 2 p 2 Z + q = 0 A p1 = 0 ja p2 = 0 1. ja q on erinevate märkidega paralleelsed tasandid 2. ja q on sama märgiga imaginaarsed tasandid 3. q=0 ühtivad tasandid B kas p1 või p2 võrdub nulliga (p=0) paraboolne silindriline pind 10
C1 y1 + C 2 y 2 = 0 y1 y 2 määramiseks-> Crameri peajuhtum=> | ' ' | =W(y1,y2) (Wronski); W(y1,y2) y1 y 2 0, y1/y2 const: C1'(x)=> C1(x)= C 1 ; C2'(x)=> C2(x)= C 2 ( x)dx ; ( x ) dx NB täielik analoog n-järku lin konst kord DV-le: y(n)+p1y(n-1)+..+pny=f(x): *tuleb leida karakteristlik võrr. yHÜ saadakse kätte *yMHÜ=yMHE+yHÜ
23 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com © Indrek Saar 2010 Nõudluse ristelastsuse koefitsient arvutatakse järgmise valemiga: Qx PY E RE = ÷ (3) (Q1 X + Q2 X ) / 2 ( P1Y + P2 Y ) / 2 Valemis (3) tähistatakse Q-ga hüvise x koguseid ja P-ga hüvise Y hindasid. Ehk siis koefitsient näitab, kuidas pärast hüvise Y hinna muutust muutub hüvise x nõutav kogus. Selliseid hüviseid, mille korral ühe hüvise hinnatõus mõjutab teise hüvise nõutavat kogust, nimetatakse asendus- ja täiendhüvisteks. Kui ERE väärtus on positiivne, siis on tegemist asendushüvistega, kui ERE väärtus on negatiivne, on
annaabi.ee 
