De Morgani seadused (A ∩ B)’ = A’∪ B’, (A ∪ B)’ = A’∩ B’ o 4. Vahe ja sümmeetriline vahe avalduvad ühisosa, ühendi ja täiendi kaudu: AB = A∩ B’, AΔB = A∩ B’ ∪ B∩ A’ o 5. Vahe seosed teiste tehetega: AB = A (A∩ B), A∪ B = A∪ (B A), (AB)C = A(B∪ C). o 6. Sümmeetriline vahe avaldub sümmeetriliselt A ja B suhtes: AΔ B = (A∪ B) (A∩ B] 16. Hulkade otsekorrutis. Otseaste. Otsekorrutise omadused [3, 4, 5] Hulkade otsekorrutis 13 o DEF: Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes’i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a∈A ja b∈B: A × B = { (a, b) | a∈A & b∈B } Otseaste o DEF: Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A × … × A, kus A esineb n korda. Otsekorrutise omadused
https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=78718 lk 5 12 16) a. Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes'i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a A ja b B: A × B = {(a, b) | a A & b B }. b. Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A×...× A, kus A esineb n korda. c. Otsekorrutise omadused. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php? id=78718 lk 13 15. Funktsioonid ja relatsioonid 17) a. Def. Binaarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X ja Y elementide vahel nimetatakse nende hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka X × Y b. Def. n-aarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X1, X2,..., Xn elementide vahel nimetatakse nende hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka X1 × X2 × ... × Xn c
Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ..
AB={x: (xA ja xB) või (xA ja xB)} Kahe hulga A ja B otsekorrutiseks nimetatakse hulka AxB, mis koosneb kõigist järjestatud paaridest (x,y), kus xA ja yB. AxB={(x,y) : xA ja yB}. Paarides on elementide järjekord oluline. Otsekorrutist AxA nimetatakse hulga A otseruuduks ja tähistatakse A2. Üldiselt, otsekorrutist Ax...xA, kus hulk A esineb n korda, nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks ja tähistatakse An. Otsekorrutise omadused: 1. Otsekorrutis tühja hulgaga a. Ax= xA= 2. Distributiivsus a. Ax(BC)=(AxB)(AxC) Ax(BC)=(AxB)(AxC) Ax(BC)=(AxB) (AxC) Funktsioon: Eeskirja f, mis seab hulga A igale elemendile vastavusse hulga B elemendi, nimetatakse funktsiooniks hulgast A hulka B. f:AB Kui funktsioon f seab elemendile xA vastavusse elemendi yB, siis kirjutatakse y=f(x) või y=fx või f: xy
alamruum. Sf¨a¨aril Sn defineerime ekvivalentsiseose σf reeg- liga: punktid y ja z ruumist Sn on ekvivalentsed parajasti siis, kui f (y) = f (z). Siis Sn /σf ≈ B(θ; 1), kusjuures vas- tavaks hom¨oomorfismiks on kujutus g : Sn /σf −→ B(θ; 1), kus g([(x0 ; x1 ; . . . ; xn )]) = (x1 ; . . . ; xn ). 50 5 KONSTRUKTSIOONID ... 5.5 Otsekorrutis Olgu antud topoloogilised ruumid (Xi , Ti ), i ∈ I. Moodus- tame otsekorrutise X = i∈I Xi . Hulga X elementideks on parajasti funktsioonid x : I −→ ∪i∈I Xi , mille korral x(i) ∈ Xi , i ∈ I. T¨ahistame xi = x(i) ja x = (xi )i∈I . Kui in- deksite hulk I on l˜oplik ja I = { 1, 2, . . . , n }, siis t¨ahistatakse n X = Xi = Xi = X1 × . . . × Xn , i∈I i=1 x = (xi )i∈I = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ).
Seosed Seoseks (ehk vastavuseks, sageli ka relatsiooniks või suhteks) hulkade ja vahel nimetatakse otsekorrutise × mistahes osahulka. Seega, seos hulkade ja vahel on järjestatud paaride (,) hulk, kus ja . Teisiti öeldes, seos on mingi osahulk ×. Paari (,)× korral öeldakse, et elemendid ja on seoses ning tähistatakse ka . Mõnikord öeldakse osahulga kohta, et see on seose graafik. Kui =, ehk kui ×, siis räägitakse seosest hulgal . Näide 1. Olgu ={2,3} ja ={1,2,3,4,5,6}. Siis 1={(2,2),(2,3),(3,1), (3,5)} on binaarne seos hulkade ja vahel. Samade hulkade ja korral
K oos tada relats ioonid e es itamis eks s uunatud graaf ja H as s e diagramm. 4. Tehted relatsioonidega (R.Palm järgi) O lgu R j a S kaks relats iooni hulkade A ja B vahel. Relatsiooni R ja S ühend: R S = { (a,b) | (a,b) R või (a,b) S } Relatsiooni R ja S ühisosa: R S = { (a,b) | (a,b) R ja (a,b) S } Relatsiooni R ja S vahe: relatsiooni R paarid, mis ei kuulu relatsiooni S RS = { (a,b) | (a,b) R ja (a,b) S } Relatsiooni R täiend R on need otsekorrutise A × B paarid mis ei kuulu relatsiooni R. R = { (a,b) |(a,b) R } Pöördrelatsioon R -1 R -1 ={ (b,a) |(a,b) R } N äide 1: R eaalarvude hulgal on antud 2 relats iooni R = { (a,b) | a=b } R -1 ={ (b,a) | b
K oos tada relats ioonid e es itamis eks s uunatud graaf ja H as s e diagramm. 4. Tehted relatsioonidega (R.Palm järgi) O lgu R j a S kaks relats iooni hulkade A ja B vahel. Relatsiooni R ja S ühend: R S = { (a,b) | (a,b) R või (a,b) S } Relatsiooni R ja S ühisosa: R S = { (a,b) | (a,b) R ja (a,b) S } Relatsiooni R ja S vahe: relatsiooni R paarid, mis ei kuulu relatsiooni S RS = { (a,b) | (a,b) R ja (a,b) S } Relatsiooni R täiend R on need otsekorrutise A × B paarid mis ei kuulu relatsiooni R. R = { (a,b) |(a,b) R } Pöördrelatsioon R -1 R -1 ={ (b,a) |(a,b) R } N äide 1: R eaalarvude hulgal on antud 2 relats iooni R = { (a,b) | a=b } R -1 ={ (b,a) | b
B × A = {(2, 0),(2, 1),(1, 0),(1, 1)}, seega A × B B × A. Näide: Ristkülikut R = {(x, y): a x b, c y d} võime esitada lõikude [a, b] ja [c, d] otsekorrutisena R = [a, b] × [c, d]. Teoreem Hulkade A, B, C ja D jaoks kehtivad järgmised võrdused: 1. A × = , × A = ; 2. A × (B C) = (A × B) (A × C); 3. A × (B C) = (A × B) (A × C); 4. (A × B) (C × D) = (A C) × (B D); 5. A × (B C) = (A × B) (A × C) TÕESTUS 2. Kahe hulga otsekorrutise mõiste on lihtsalt üldistatav mis tahes lõplikule arvule hulkadele. Olgu n , siis A 1 × ... × A n={(a1 , ... , an):a1 A 1 , ... , an A n }. A ×... × A n Otsekorrutist tähistatakse An ja nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks. 3 Näide: × × = . . 6. LOENG Arvuteooria elemente
. . ∧ n∈ ∈N } VASTAVUSED Kuna kahe hulga otsekorrutis A × B koosneb nende elementide kõikvõimalikest järjestatud paaridest < a, b > , siis defineeritaksegi Vastavus seab ühe hulga elementidele vastavaks teise hulga mingeid vastavust lähtehulga ja sihthulga otsekorrutise osahulgana: elemente. Vastavus ϕ: A→B on hulk ϕ ⊂ A×B Olgu õpilaste hulk: A = { Jüri Mari Jaan Juhan Kati Mati } Eelnev näitevastavus ϕ esitub seega järjestatud paaride hulgana : ja võimalike hinnete hulk: B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
ε ε ε ε ε x0 y 0 < a + · b+ = ab + + + ε · < ab + ε. 4b 4a 4 4 4ab 1.2 Täieliku järjestatud korpuse eksisteerimine Selles alapeatükis konstrueerime ühe konkreetse täieliku järjestatud korpuse. Lähtekohaks on hulgateooria konstruktsioonid: tühja hulga olemasolu, uute hulkade moodustamine, kujutuse ja otsekorrutise mõiste. 1.2.1 Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud Alustame naturaalarvude hulga moodustamisest. Tähistame 1 = ∅, olgu 1 naturaalarv. Kui n on naturaalarv, siis S(n) := n ∪ {n} olgu naturaalarvule n järgnev naturaalarv. Me tähistame 2 := S(1) = {∅}, 3 := S(2) = {∅, {∅}}, 4 := S(3) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} jne. Kõigi ülaltoodud konstruktsiooni põhjal saadud hulkade hulka tähistame sümboliga N ning tema elemente nimetame naturaalarvudeks (natural
annaabi.ee 
