1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2
.................................................... 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust
.................................................... 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust
vastupidiseks, s.t. 2. Kui C on suvaline joonel AB asuv punkt, siis 10. Rida. Rea summa: vastavate mõistete definitsioonid; rida koondumine ja hajumine; teoreemid 33.1 33.3 tõestustega; rea koonduvuse tarvilik tingimus tõestusega. Avaldist u1+u2+...+un+...= nim. arvreaks (33.1.). Arve u1+u2+...+un+... nim. seejuures realiikmeteks. Rea esimese n liikme summat nim. rea n-ndaks osasummaks: sn= u1+u2+...+un. Kui eksisteerib piirväärtus , siis seda nim. rea (33.1.) summaks ja öeldakse, et rida koondub. Kui piirväärtus ei eksisteeri (näiteks sn, kui n), siis öeldakse, et rida (33.1.) hajub ja tal puudub summa. Teoreem 33.1. Lõpliku arvu rea (33.1.) liikmete ärajätmine ei mõjuta rea koonduvust. Teoreemi 33.1. tõestus: (1) u1+u2+u3+... jätame ära mõned liikmed (k tükki), nende summa olgu Ck (1) rea summaks oleks oleks Sn
Arvridade teooria põhimõisteid Vaateleme reaalarvudest mood lõpmatut jada u1+ u2+ ... +un+... = u n nim lõpmatuks n =1 reaalarvuks, liidetavaid aga nim rea liikmeteks, liidetavat un nim rea üldliikmeks. Rea esimese n n liikme summat nim selle rea n-ndaks osasummaks: S n = u1 + u 2 + ... + u n = u k . Kui k =1 osasummade jadal S1, S2,..., Sn, ...eksisteerib protsessis n lõplik piirväärtus, siis nim rida koonduvaks ja vastavat piirväärtust selle rea summaks: lim S n = S . Kui S = või lim S n ei n n eksisteeri, siis nim rida hajuvaks.
2. Arvread 2.1. Arvrea koonduvus ja hajuvus. Olgu antud arvjada (un). Avaldist u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks). Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all. Definitsioon 14. Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat n S n = u1 + u 2 + ... + u n = u k . k =1 Definitsioon 15. Arvrida (1) nimetatakse koonduvaks, kui tema osasummade jada koondub, st kui eksisteerib lõplik piirväärtus nlim S n = S . Arvu S nimetatakse rea (1) summaks
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑥 koondub punktis x0, siis see astmerida koondub absoluutselt iga x korral, kui |x|<|x0 | ja koondub nimetatakse selle rea 𝒏-ndaks osasummaks, st. 𝑺𝒏 = ∑∞ 𝒌=𝟏 𝒂𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +. . . +𝒂𝒏 ühtlaselt hulgal {q<0). Xq={X : |X|≤q<|x0|} Fourier' teisendust kasutatakse diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks
.. + u (x ) + ... , n =0 n 0 1 n mille liikmed u n (x ) n = 0,1,... on mingil hulgal X määratud funktsioonid u n = u n (x ) . Fikseerides argumendi väärtuse kujutab funktsionaalrida endast arvrida. n Funktsionaalrea u n (x ) osasummaks nimetatakse summat S n (x ) = u k (x ) . n =0 k =0 Funktsionaalrea osasumma on samuti argumendi x funktsioon. Def. Kui punktis x X leidub lõplik piirväärtus lim S n ( x ) = S ( x ) , siis öeldakse, et n funktsionaalrida u (x ) koondub punktis
ja harmooniline rida 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... = (8.3) 2 3 k k=1 k Rea n-ndaks osasummaks Sn nimetatakse esimese n liikme summat, st n Sn = uk k=1 Osasummadest S 1 = u1 S 2 = u1 + u2 ..................... Sn = u1 + u2 + . . . + un ....................................
annaabi.ee 
