2) , kus k > 1 ja ( x - a) k Ax + B 3) , kus nimetajas oleval ruutkolmliikmel reaalseid nullkohti ei ax + bx + c 2 eksisteeri. Ax + B On olemas veel neljandatki liiki osamurrud , kus k > 1 , mida me (ax + bx + c) k 2 siinkohal ei käsitle. Esimest liiki osamurru integreerimise näitena vaatleme näites 1 tekkinud murdosa 1 1 1 1 = 1 1 4 2x -1 8 1 integreerimist. Siin A = ja a = . Saame, et x- 8 2 2 1 dx 1 1 8 1 = 8
Vastavalt Lagrange'i valemile
Kui x
x2 A B C 1 3 1 = + + = + + ( x +1)( x -1) 2 x + 1 x - 1 ( x -1) 2 4 ( x + 1) 4( x - 1) 2( x -1) 2 NIMETAJAS ON TEGURITEKS MITTELAHUTUV RUUTTEGUR Ruuttegurile vastava osamurru lugeja on x suhtes lineaarne 8( x + 3) A Bx + C = + 2 x( x - 4 x + 8) x x - 4 x + 8 2 8( x + 3) = A( x 2 - 4 x + 8) + ( Bx + C ) x x=0 8( 0 + 3) = A( 02 - 4 0 + 8) + ( B 0 + C ) 0 24 = 8 A A=3 x =1 8(1 + 3) = A(12 - 4 1 + 8) + ( B 1 + C ) 1 32 = 5 A + B + C B = 32 - 5 3 - C B = 17 - C x = 2 8( 2 + 3) = A( 2 - 4 2 + 8) + ( B 2 + C ) 2 2
2 Lineaarsele tegurile vastab üks osamurd, kKõrgemaastmelisele niimitu murdu, kui on tema aste, kusjuures teguri aste kasvab alates 1 kuni kordse teguri astmeni x2 A B C 1 3 1 = + + = + + ( x +1)( x -1) x +1 x -1 ( x -1) 4( x +1) 4( x -1) 2( x -1) 2 2 2 NIMETAJAS ON ESIMEST JÄRKU TEGURITEKS MITTELAHUTUV RUUTTEGUR Ruuttegurile vastava osamurru lugeja on x suhtes lineaarne 8( x + 3) A Bx + C = + 2 ( x x - 4x + 8 2 ) x x - 4x + 8 6 8( x + 3) = A( x 2 - 4 x + 8) + ( Bx + C ) x x=0 8( 0 + 3) = A( 02 - 4 0 + 8) + ( B 0 + C ) 0 24 = 8 A A=3 x =1 8(1 + 3) = A(12 - 4 1 + 8) + ( B 1 + C ) 1 32 = 5 A + B + C B = 32 - 5 3 - C B = 17 - C
ls 1 Viies osamurdude summa ühisele nimetajale ja võrdsustades saadud lugeja S ( x) -ga. Saame q0 leida tundmatud kordajad A, B, C I liiki osamurru integraal A ln x - , kui k = 1 A (26.5) dx = ( x - ) 1- k (x - ) k A , kui k > 1 1- k II liiki osamurru integreerimine Bx + C x 2 + px + cdx (x 2 + px + q )' = 2 x + p x+ p 2
ls 1 Viies osamurdude summa ühisele nimetajale ja võrdsustades saadud lugeja S ( x) -ga. Saame q0 leida tundmatud kordajad A, B, C I liiki osamurru integraal A ln x - , kui k = 1 A (26.5) dx = ( x - ) 1- k (x - ) k A , kui k > 1 1- k II liiki osamurru integreerimine Bx + C x 2 + px + cdx (x 2 + px + q )' = 2 x + p x+ p 2
· kolmandat liiki osamurd , kus nimetajas oleval ruutkolmliikmel reaalsed null- ax2 + bx + c kohad puuduvad; Ax + B · neljandat liiki osamurd , kus k N ja k > 1 ja nimetajas oleval ruutkolm- (ax2 + bx + c)k liikmel reaalsed nullkohad puuduvad. Tabeliintegraalist 2.2 saame j¨arelduse 4.6 abil esimest liiki osamurru integraali A dx = A ln |x - a| + C. (6.2) x-a Teist liiki osamurru integreerimise kohta esitame n¨aite. N¨ aide 6.3. Kasutades j¨alle j¨areldust 4.6, leiame 5dx -3 (x + 2)-2 5 =5 (x + 2) dx = 4 +C =- + C.
Kuna A = 3 ja N = 1, siis M = 13 · 3 - 1 - 37 = 1. Kokkuv~ottes: m¨a¨aramata kordajatel on j¨argmised v¨a¨ artused: A = 3, M = N = 1. Seega on osamurrud j¨argmised: 4x2 + 11x + 22 3 x+1 = + 2 . x3 + 2x2 - 16 x-2 x + 4x + 8 Kasutades seda seost saame integraali I2 kirjutada kahe osamurru integraali summana: 3 x+1 I2 = I3 + I4 , kus I3 = dx , I4 = dx. x-2 x2 + 4x + 8 115 Integraali I3 arvutamine on lihtne: dx I3 = 3 = 3 ln |x - 2| + C.
x = 1, Siis A(1 + 4 + 8) + (M + N )(-1) = 4 + 11 + 22 M = 13A - N - 37. Kuna A = 3 ja N = 1, siis M = 13 · 3 - 1 - 37 = 1. Kokkuv~ottes: m¨a¨aramata kordajatel on j¨argmised v¨a¨artused: A = 3, M = N = 1. Seega on osamurrud j¨argmised: 4x2 + 11x + 22 3 x+1 = + 2 . x3 + 2x2 - 16 x-2 x + 4x + 8 Kasutades seda seost saame integraali I2 kirjutada kahe osamurru integraali summana: 3 x+1 I2 = I3 + I4 , kus I3 = dx , I4 = dx. x-2 x2 + 4x + 8 115 Integraali I3 arvutamine on lihtne: dx I3 = 3 = 3 ln |x - 2| + C. x-2
annaabi.ee 
